คือ

ฉันคิดว่าฉันจะแบ่งปันคำถามนี้เนื่องจากผู้ใช้รายอื่นอาจสนใจที่นี่

สมมติว่าฟังก์ชั่นที่อยู่ในคลาสที่เหมือนกัน (เช่น $NP$ ) นั้นยังอยู่ในคลาส nonuniform ขนาดเล็ก (เช่น $AC^0/poly$ , เช่น nonuniform $AC^0$ ) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้มีอยู่ใน a ชั้นเรียนขนาดเล็กกว่า (เช่น $P$ )? ถ้าคำตอบสำหรับคำถามนี้เป็นบวกคลาสความซับซ้อนที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วย $NP \cap AC^0/poly$ คืออะไร? หากลบเราสามารถหาตัวอย่างธรรมชาติที่น่าสนใจได้หรือไม่

คือที่มีอยู่ใน ? $AC^0/poly \cap NP$ $P$

หมายเหตุ: เพื่อนคนหนึ่งได้ตอบคำถามของฉันไปแล้วบางส่วนออฟไลน์ฉันจะเพิ่มคำตอบของเขาหากเขาไม่ได้เพิ่มด้วยตนเอง

คำถามคือความพยายามครั้งที่สองของฉันในการทำให้เป็นทางการคำถามต่อไปนี้เป็นทางการ:

ความไม่สม่ำเสมอสามารถช่วยเราในการคำนวณปัญหาที่เหมือนกันตามธรรมชาติได้หรือไม่?

ที่เกี่ยวข้อง:

มีผู้สมัครสำหรับปัญหาธรรมชาติใน $P/poly−P$ หรือไม่?

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— Kaveh
แหล่งที่มา

@Kaveh: บางทีคำถามที่น่าสนใจที่จะขอเป็นปัญหาธรรมชาติ P / โพลีและ NP แต่ไม่ได้อยู่ในพี (หรืออาจจะเป็นง่ายเกินไป?)

— โรบิน Kothari

@Robin: ที่ดูเหมือนว่าน่าสนใจ แต่ผมไม่แน่ใจว่ามันจะง่ายต่อการค้นหาปัญหาธรรมชาติใน

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Kaveh

@ ทั้งหมด: ฉันต้องคิดอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับคำถามนี้และคำตอบ ดูเหมือนคำถามที่เป็นธรรมชาติมาก แต่ฉันรู้สึกไม่สบายใจเกี่ยวกับคำตอบ: อันดับแรกเราสามารถทำให้สมมติฐานอ่อนแอลงโดยแทนที่

ด้วย

โดยที่

เติบโตเร็วมาก ฟังก์ชั่น; วินาทีตัวอย่างของตัวอย่างไม่เพียง แต่อยู่ใน

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$ แต่มีวงจรขนาด 1 เป็นฟังก์ชั่นคงที่ในทุกอินพุตของขนาด

สำหรับทุก

! สองเหตุผลนี้อาจจะบอกว่านี่ไม่ใช่คำถามที่ถูกต้องที่จะถาม

n

$n$

n

$n$

— Kaveh

@Kaveh: บางทีคุณอาจต้องการดูคลาส YP ซึ่งกำหนดโดย Scott Aaronson มันเหมือน P / poly แต่ "คำแนะนำ" ไม่น่าเชื่อถือ กล่าวอีกนัยหนึ่งก็เหมือนกับ NP intersect coNP แต่พยานสามารถขึ้นอยู่กับความยาวของอินพุตเท่านั้น YP อยู่ใน P / poly และเป็นคลาสที่เหมือนกัน อาจเป็นปัญหาใน YP แต่ไม่ใช่ใน P เป็นตัวอย่างของปัญหาที่คุณกำลังมองหา มันจะเป็นไปตามธรรมชาติเหมือนกันไม่ใช่ใน P ใน P / poly และอาจไม่ใช่เรื่องไร้สาระเนื่องจากคำแนะนำจะต้องถูกตรวจสอบโดยวงจร

— Robin Kothari

@Kaveh: คลาส YP ("Yoda Polynomial-Time") ถูกกำหนดอย่างเป็นทางการมากขึ้นในกระดาษของ Scott "The Learnability of Quantum States" [quant-ph / 0608142]

— Alessandro Cosentino

คำตอบ:

นี่คือคำตอบของ Ryan ที่ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น สมมติว่า Eกำหนดภาษา }สมมติฐานแปลว่า Pนอกจากนี้นิด Y $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี Yuval!

— Dai Le

โดยพื้นฐานแล้วการแปลงแบบเดียวกันนี้ถูกใช้ในBook 1974เพื่อแสดงว่า E ≠ NE ถ้าหากว่า NP ∖ P มีภาษาที่นับรวม

— Tsuyoshi Ito

เพียงเพื่อให้แน่ใจว่า: ฉันเข้าใจถูกต้องว่า

ความยาวของ

เขียนเป็นเอกคืออะไร?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Vincent

@Vincent Here

เป็นสตริงแทนที่จะเป็นจำนวนเต็มและ

คือความยาว

x

$x$

| x |

$|x|$

— Yuval Filmus

ใช่นั่นคือสิ่งที่ทำให้ฉันสับสน ถ้า

คือความยาวของสตริงบางตัวแล้ว

เป็นจำนวนเต็มดังนั้นมันจะเป็นองค์ประกอบของ

อย่างไร

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Vincent

ตอบคำถามแรกของคุณ: ดูเหมือนไม่น่าเป็นไปได้

ทฤษฎีบท:ถ้าแล้ว P $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

กำหนดวงจรที่ให้ผลบิตกำหนดการบีบอัดของ Cให้เป็นสตริงบิตที่ได้จากการประเมินในอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด นั่นคือการบีบอัดคือ $C$ $C$ ) $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

กำหนดปัญหา 3SAT โดยสังเขปเป็น: เมื่อกำหนดวงจรมีขนาดการบีบอัดจะเข้ารหัสสูตรบูลีนที่น่าพอใจหรือไม่? $C$ $n$ รวบรัด 3SAT เป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นที่สมบูรณ์ $NEXP$

ตอนนี้พิจารณาภาษา

{จำนวนเต็มเขียนในไบนารี่เป็นตัวอย่างของ Succinct 3SAT $L =$ $1^n |$ $n$

คืออย่างชัดเจนในเนื่องจากคุณสามารถเพียง hardcode ว่าอยู่ในสำหรับแต่ละn $L$ $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

ยังอยู่ใน : จำนวนเต็มเขียนในไบนารีมีความยาวเกี่ยวกับ $L$ $NP$ $n$ $\log n$ เพื่อให้การบีบอัดของวงจรนี้มีความยาวไม่เกิน )ดังนั้นการกำหนดความพึงพอใจมีความยาวมากที่สุด ) $O(n)$ $O(n)$

แต่จากการสังเกตเดียวกันถ้าดังนั้นเพราะนั่นหมายความว่าคุณมี $L \in P$ $NEXP=EXP$ อัลกอริทึมเวลาสำหรับการตัดสินใจตัวอย่างของกะทัดรัด 3SAT ของความยาวทุก n $O(n^c)$ $\log n$

คำถามที่สองของคุณเปิดกว้าง (และแบบเปิด)

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

ทำไมคุณถึงต้องใช้ปัญหาบางอย่าง?

— Yuval Filmus

คิดว่ามันทำให้การโต้แย้งง่ายขึ้น

— Ryan Williams

ขอบคุณ Ryan สำหรับคำตอบที่ดีและคำอธิบาย ฉันเดาว่าคุณคงไม่รังเกียจถ้าฉันยอมรับคำตอบของ Yuval แม้ว่าคุณจะเป็นคนแรกที่โพสต์

— Kaveh

สำหรับคำถามของ Kaveh "ความไม่สม่ำเสมอสามารถช่วยเราในการคำนวณปัญหาที่เหมือนกันหรือไม่?"

ฉันคิดว่าคำตอบคือ "ใช่" บางครั้ง พิจารณาตัวอย่างเช่นปัญหาระบบย่อย-ผลรวม: กำหนดลำดับของตัวเลขจริงบวกตัดสินใจว่าชุดย่อยบางส่วนของพวกเขาจำนวนมากถึง1นี่เป็นปัญหา NP-hard แม้ว่าถูก จำกัด ให้เป็นจำนวนเต็มบวก (เป้) แต่ Friedhelm เมเยอร์ auf der Heide (1984) ได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับการใด ๆปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยต้นไม้ตัดสินใจเชิงเส้นของความลึกขนาดเล็กกว่า 5ในการทดสอบแบบต้นไม้นั้นมีรูปแบบ: เป็นการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรอินพุตที่มีขนาดใหญ่กว่าเกณฑ์บางอย่าง ความไม่สม่ำเสมอที่นี่มีความสำคัญสำหรับทุก ๆเราอาจมีอัลกอริทึมที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง (แผนผังการตัดสินใจ) $n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

อ้างอิง:

Friedhelm Meyer auf der Heide " อัลกอริธึมการค้นหาเชิงเส้นแบบพหุนามสำหรับปัญหาเป้หลังมิติ ", 1984

— Stasys
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณ. ผลลัพธ์ที่น่าสนใจ แต่เมื่อดูที่A Polynomial Linear Search Algorithm สำหรับปัญหาเครื่องหลังแบบสามมิติดูเหมือนว่าฉันจะโกงนิดหน่อย ขนาดของโปรแกรมไม่สม่ำเสมอคือการชี้แจงเพียงความลึกเป็นพหุนามที่มันเป็นเหมือนการพิจารณาคำนวณต้นไม้ทั้งหมดของอัลกอริทึม NP ในปัจจัยการผลิตที่มีขนาด

(มันเป็นเช่นพหุนามลึกวงจรขนาดชี้แจง)

n

$n$

— Kaveh

โดยการโต้แย้งที่คล้ายกันเราสามารถพูดได้ว่าปัญหาใด ๆ ที่แก้ไขได้ในเวลาคงที่

เพราะตารางคำตอบสามารถแสดงโดย CNF ฉันชอบโครงสร้างของ Ryan และ Yuval มากขึ้นเพราะมันแสดงให้เห็นว่าถึงแม้ปัญหาจะซับซ้อนในการตั้งค่าที่เหมือนกันสำหรับแต่ละขนาดอินพุตมันง่ายมากที่จะแก้ไข

2

$2$

— Kaveh

ใช่คุณพูดถูก: ที่นี่เราสนใจเวลา (= ความลึก) ไม่ใช่ในอวกาศ (= บันทึกขนาดเครือข่าย) แต่โปรดทราบว่าอัลกอริธึมเล็กน้อยสำหรับเซต - ซัมจะต้องใช้เวลา (ความลึก)

เพื่อทดสอบเซ็ตย่อยทั้งหมดของสตริงอินพุตที่กำหนด นอกจากนี้ฉันคิดว่าคุณถามเกี่ยวกับผู้สมัครที่เป็นธรรมชาติไม่เพียง แต่สำหรับการแยก :-)

2^{n}

$2^n$

— Stasys

แน่นอนว่าปัญหาระบบย่อย-Sum มีขั้นตอนวิธีการที่ไม่ได้กำหนดขึ้นเล็กน้อย: เพียงแค่เดาเซตข้อสรุปถึง1

แต่เราพูดถึงอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นมา และนั่นก็คือ Mayer auf der Heide ที่เป็นคนกำหนดขึ้นมา Btw ฉันไม่ตื่นเต้นกับผลลัพธ์ของเขาเช่นกัน เขาได้แสดงให้เห็นว่านี้เป็นขนาด (ไม่เพียงสำหรับความลึก = เวลา), เรามีอยู่แล้วจะมี

ถึงกระนั้นนี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์

1

$1$

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

— Stasys

@Kaveh: แต่ NP เองเป็นใหญ่หรือของ P. "รุ่นเวลา" ของ P vs. NP คือ: เราสามารถแทนที่ใหญ่นี้โดยต้นไม้ตัดสินใจพีชคณิตเชิงกำหนดความลึกพหุนาม (กับ P บนใบ)? จำได้ว่าความลึกเล็กน้อยสำหรับชุดย่อยรวมเป็น 2 ^ n (ไม่ใช่ n) Dopkin และ Lipton (1978) แสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องมีความลึก n ^ 2/2 และเป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าสิ่งนี้สามารถปรับปรุงเป็น n ^ k สำหรับ k ใด ๆ เมเยอร์ auf der Heide ข้องแวะความเชื่อนี้: k = 5 ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นความไม่สม่ำเสมอสามารถช่วยได้หากเราสนใจในเชิงลึก (เวลา)

— Stasys