แปล SAT เป็น HornSAT

26

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแปลสูตรบูลีน B ให้เป็นฮอร์นของอนุประโยคที่เทียบเท่ากัน? บทความ Wikipedia เกี่ยวกับHornSATดูเหมือนจะบอกเป็นนัย แต่ฉันไม่สามารถไล่ตามการอ้างอิงใด ๆ

โปรดทราบว่าฉันไม่ได้หมายถึง "ในเวลาพหุนาม" แต่ "ค่อนข้าง"

reference-request lo.logic sat

— Evgenij Thorstensen
แหล่งที่มา

1

คุณแปลว่าอะไร เห็นได้ชัดว่ามีอินสแตนซ์ SAT ที่ไม่สามารถเขียนเป็นสูตร HornSAT ได้ ตัวอย่างเช่นข้อ (p หรือ q) แต่บางทีคุณหมายถึงว่าคุณต้องการลดเช่นสูตรป้อนข้อมูล SAT เป็นที่น่าพอใจถ้าสูตร HornSAT ให้ผลลัพธ์เป็นที่น่าพอใจ ในกรณีของหลักสูตรที่มีการลดลงเล็กน้อยเนื่องจากคุณไม่ดูแลให้มีประสิทธิภาพ ...

— Arnab

ฉันไม่ได้หมายถึงความพอใจ แต่อย่างใดเพราะมันเป็นเรื่องเล็กน้อยโดยไม่มีข้อ จำกัด ด้านประสิทธิภาพ ฉันหมายถึงการเทียบเท่าใน "มีการมอบหมายที่น่าพอใจเหมือนกัน" เมื่อเราพิจารณาตัวแปรทั่วไปสำหรับทั้งอินสแตนซ์ SAT และอินสแตนซ์ HornSAT ที่สอดคล้องกัน (ถ้าเราต้องเพิ่มตัวแปรเสริมบางตัว ฉันเห็นด้วยว่าไม่ควรทำอย่างนั้นสำหรับตัวอย่าง (P v Q) แต่ฉันไม่รู้วิธีพิสูจน์ คุณมีภาพร่างที่พิสูจน์ได้ในใจหรือไม่?

— Evgenij Thorstensen

3

คำถามยังไม่ชัดเจน คุณสามารถอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "ฉายพวกเขาออก"? คุณหมายถึง "assignment A ตอบสนองความต้องการของอินสแตนซ์ SAT ถ้ามีการกำหนด B ให้กับตัวแปรเสริมเช่น (A, B) ตรงตามตัวอย่างของ HornSAT F '" หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันคิดว่าคุณสามารถทำได้โดยใช้ความสมบูรณ์แบบ P ของ HornSAT

— Ryan Williams

24

ไม่การเชื่อมของอนุประโยค Horn ยอมรับรูปแบบ Herbrand อย่างน้อยที่สุด cf เลย ลอยด์ 1987ฐานรากของการเขียนโปรแกรมลอจิก

โมเดลน้อยที่สุด Herbrand มีคุณสมบัติที่อยู่ในจุดตัดของพอใจทั้งหมด แบบจำลอง Herbrand สำหรับคือซึ่งไม่ได้มีจุดตัดของมันดังนั้น arnab กล่าวว่าเป็นตัวอย่างของสูตรที่ไม่สามารถแสดงเป็นคำสั่งผสมของ Horn clauses $(a \lor b)$ $\{\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$ $(a \lor b)$

คำตอบที่ไม่ถูกต้องเขียนทับ

— Charles Stewart
แหล่งที่มา

ฉลาด แต่ข้อ -a_1 & ... & -a_n -> # ไม่ใช่ประโยค Horn

— Evgenij Thorstensen

@Evgenij: มันคือ

— Radu GRIGore

4

Horn clause เป็นการแยกสัญพจน์ด้วยตัวอักษรที่เป็นบวกมากที่สุด การแปลข้างต้นเป็นความแตกต่างของตัวอักษรเราได้ a_1 v ... v a_n โดยที่ตัวอักษรทั้งหมดเป็นค่าบวก ประโยคข้างต้นคือ dual-Horn แต่นั่นไม่ได้ช่วยฉัน

— Evgenij Thorstensen

@rgrig: ไม่ฉันสับสน @Evgenij: แก้ไขคำตอบแล้ว

— Charles Stewart

5

ความสามารถในการได้มาซึ่งความพึงพอใจสามารถทำได้ในลักษณะดังต่อไปนี้ (ลดจาก 2SAT เป็น HornSAT) ดังนั้นสามารถลดลงเป็นสูตรฮอร์นในลักษณะนี้ ขอบคุณ Joshua Gorchow ที่ชี้ให้เห็นการลดลงนี้ $(p \lor q)$

การป้อนข้อมูล: 2-SAT สูตรกับข้อ , ... ,กับตัวแปร , ... , x_n $\phi$ $C_1$ $C_k$ $x_1$ $x_n$

สร้างฮอร์นสูตรดังต่อไปนี้: $Q$

จะมี 4 (เลือก )ตัวแปรใหม่หนึ่งสำหรับเป็นไปได้ทุก ที่เป็นไปได้ข้อ 2-CNF บนตัวแปรที่มีมากที่สุด 2 ตัวอักษร ( ไม่เพียง แต่ข้อใน ) - นี่คือ รวมทั้งข้อต่อหน่วยและประโยคที่ว่างเปล่า .. ตัวแปรใหม่ที่สอดคล้องกับข้อจะถูกระบุด้วยz_D $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$ $x$ $C_i$ $\phi$ $D$ $z_D$

4 ( เลือก ) มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแต่ละคู่ของ ก่อให้เกิดอนุประโยค 2-cnf สี่อัน มาจากความจริงที่ว่าแต่ละสามารถสร้างข้อ 2 หน่วย และในที่สุดก็ "หนึ่ง" มาจากประโยคที่ว่างเปล่า .. ดังนั้นจำนวนที่เป็นไปได้ข้อ 2 คือ CNF 4 (เลือก )1 $\times$ $n$ $2$ $(x_i, ~x_j)$ $2n$ $x_i$ $=$ $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$

ถ้า 2-cnf clauseตามจาก2-cnf clause อื่น ๆและโดยขั้นตอนความละเอียดเดียวเราจะเพิ่ม Horn clause เป็น ... อีกครั้งเราทำเช่นนี้เพื่อ เป็นไปได้ทั้งหมดข้อ 2 CNF - ทั้งหมด 4 ( เลือก )ของพวกเขา - ไม่ได้เป็นเพียง C_i $F$ $D$ $E$ $(z_D \land z_E \to z_F)$ $Q$ $\times$ $n$ $2$ $+2n+1$ $C_i$

จากนั้นเราก็เพิ่มคำสั่งหน่วยเพื่อสำหรับแต่ละประโยค ปรากฏในการป้อนข้อมูล ... สุดท้ายเราเพิ่มข้อหน่วยที่จะถาม $z_{C_i}$ $Q$ $C_i$ $\phi$ $(\neg z_{empty})$ $Q$

สูตรฮอร์นเสร็จสมบูรณ์แล้ว สังเกตว่าตัวแปรที่ใช้ในการจะสมบูรณ์แตกต่างจากที่ใช้ใน\ $Q$ $Q$ $\phi$

— มาร์ตินเซมัวร์
แหล่งที่มา

มีใครรู้ถึงอัลกอริทึมในทิศทางอื่นหรือไม่? เมื่อได้รับสูตร Hornจะมีวิธีการรับนิพจน์ 2SAT (2CNF) ที่เทียบเท่าดังนั้นจึงเป็นที่พอใจหากเป็นจริงหรือไม่? ใช้ชุดของตัวแปรเดียวกันหรือใช้ตัวแปรพิเศษหรือใช้ชุดของตัวแปรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง (ทำในคำตอบข้างต้น)? หรือหลักฐานว่าเป็นไปไม่ได้?

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

— Martin Seymour

2

ฉันไม่คิดว่ามันเป็นไปได้ ยกตัวอย่างเช่นไม่มีทางที่จะเขียนเป็นการรวมกันของฮอร์น clauses เนื่องจากมีเพียงการมอบหมายความจริงเพียงอย่างเดียวคือ 0011 ที่มีน้อยกว่า 4 ตัวอักษรจะผิดกฎหมายมากกว่า 1 การมอบหมายความจริงและอนุประโยคแตรที่มี 4 ตัวอักษรเท่านั้นสามารถประกาศการมอบหมายความจริงได้อย่างมากที่สุด 0 $\phi = (X_1 \vee X_2 \vee \neg X_3 \vee \neg X_4)$ $\phi$

แก้ไข: oops ไม่ได้สังเกตว่าคำตอบนี้ได้ถูกตอบไปแล้ว