อัลกอริธึม Max-Cut ที่ใช้ไม่ได้ไม่ชัดเจนว่าทำไม

ตกลงนี่อาจดูเหมือนคำถามการบ้านและในแง่หนึ่งก็คือ ในฐานะที่เป็นงานบ้านในชั้นเรียนระดับปริญญาตรีฉันได้เรียนคลาสสิกต่อไปนี้:

รับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง $G=(V,E)$ ให้อัลกอริทึมที่พบการตัด $(S,\bar{S})$ เช่นนั้น $\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2$ , ที่ $\delta(S,\bar{S})$ คือจำนวนของขอบที่ตัด ความซับซ้อนจะต้องเป็น $O(V+E)$ )

ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันได้โซลูชันต่อไปนี้มากมาย ตอนนี้มันใช้เวลามากเกินไปดังนั้นมันไม่ใช่เรื่องของการให้คะแนน แต่ฉันอยากรู้ มันไม่ "ดูเหมือน" ถูกต้อง แต่ความพยายามทั้งหมดของฉันในการโต้แย้งกลับล้มเหลว นี่มันคือ:

ชุด $S\leftarrow \emptyset$
ให้ $v$ เป็นจุดยอดสูงสุดในกราฟ
เพิ่ม $v$ ไปยัง $S$
ลบขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับ $v$
ถ้า $\delta(S,\bar{S}) < |E|/2$ กลับไปที่ 2

โปรดทราบว่า $E$ ในขั้นตอนที่ 5 หมายถึงกราฟต้นฉบับ โปรดทราบด้วยว่าหากเราข้ามขั้นตอนที่ 4 สิ่งนี้จะผิดอย่างชัดเจน (เช่นการรวมกันของรูปสามเหลี่ยมที่มีขอบแยกสองอัน)

ตอนนี้หลักฐานที่เรียบง่ายท่านใดที่มีปัญหาดังต่อไปนี้ - มันอาจจะมีว่าเมื่อเราเพิ่มยอดใหม่ $v$ เราจริงลบ $|S|$ ขอบจากการตัดในขณะที่เพิ่ม $d(v)$ ขอบใหม่ (โดยที่ $d(v)$ หมายถึงกราฟที่มีการลบขอบ) ประเด็นก็คือว่าถ้าสิ่งนี้เป็นอันตรายต่อสาเหตุของเราก็หมายความว่าจุดสุดยอดนี้ $v$ "เคย" มีระดับสูงกว่าเคยดังนั้นมันควรจะ "เลือก" ก่อนหน้านี้

นี่เป็นอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีหรือไม่? มีตัวอย่างตัวอย่างง่ายๆสำหรับมันหรือไม่?

graph-algorithms max-cut greedy-algorithms

— Yonatan
แหล่งที่มา

มันดูคล้ายกับการประมาณ 2 แบบสำหรับการครอบจุดสุดยอด อัลกอริทึมโลภที่ถูกต้องผมคิดว่าจะเลือกจุดสุดยอดกับประเทศเพื่อนบ้านมากขึ้นในส่วนที่มันคือการที่ในส่วนอื่น ๆ และย้ายมันจนไม่มีจุดสุดยอดดังกล่าวและมันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าที่จุดนั้นคำตอบคืออย่างน้อย

แต่ความถูกต้องของอัลกอริทึมนั้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่า: เรากำลังดูความแตกต่างระหว่างจำนวนเพื่อนบ้านสำหรับจุดยอดในสองด้านของการตัดไม่ใช่แค่ระดับสูงสุด นอกจากนี้ยังถูกต้องจุดย้ายอัลกอริทึมในทิศทางทั้งสองไม่เพียง แต่จาก

เพื่อS

| E | / 2

$|E|/2$

\bar{S}

$\bar{S}$

S

$S$

— Kaveh

@Kaveh ฉันคิดว่า OP รู้ขั้นตอนวิธีที่คุณอธิบาย (เขามอบหมายให้ทำการบ้าน) คำถามของเขาคือว่าอัลกอริทึมที่เขาอธิบายประสบความสำเร็จหรือไม่

— Sasho Nikolov

@ MohammadAl-Turkistany เห็นความคิดเห็นของ Nikolov

— vb le

นอกจากนี้โปรดทราบว่าการประมาณ 16/17 นั้นเป็น NP-hard ไม่ใช่ 1/2 GW ให้ประมาณ 0.878 โดยใช้ SDP ในเอกสารน้ำเชื้อ

— Yonatan

@Yonatan ดูคำถามนี้cstheory.stackexchange.com/questions/3846/…

— Mohammad Al-Turkistany

คำตอบ:

^{การอ้างสิทธิ์ก่อนหน้าของฉันสำหรับไม่ได้คำนึงถึงการตัดขนาดอยู่แล้วในกราฟ โครงสร้างต่อไปนี้ดูเหมือนว่าจะส่งผล (emperically - ฉันได้สร้างคำถามที่ math.stackexchange.com เพื่อพิสูจน์อย่างเข้มงวด) ใน $\frac{2}{c+6}$ $n^2/4$ เศษส่วน $O\left(\frac{1}{\log c}\right)$}

อัลกอริทึมทำงานได้ไม่ดีกับสหภาพของกราฟที่สมบูรณ์ที่มีขนาดแตกต่างกันหลายเส้น เราแสดงให้เห็นถึงรูปแบบของกราฟที่สมบูรณ์แบบบนจุดเป็น nพิจารณาพฤติกรรมของอัลกอริทึมบน : มันเพิ่มจุดสุดยอดที่ไม่ได้อยู่ในถึงซ้ำ ๆ- จุดยอดทั้งหมดนั้นเหมือนกันและลำดับนั้นไม่สำคัญ การตั้งค่าจำนวนจุดยอดที่ยังไม่ได้เพิ่มลงในโดยอัลกอริทึมขนาดของการตัดในขณะนั้นคือ ) $n$ $K_n$ $K_n$ $S$ $S$ $S$ $|\bar{S}| = k$ $k (n-k)$

พิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเรียกใช้อัลกอริทึมบนกราฟที่ตัดการเชื่อมต่อของมีค่าคงที่ระหว่างระหว่าง 0 และ 1 ถ้าคือจำนวนองค์ประกอบที่ยังไม่อยู่ในในกราฟที่สมบูรณ์ของจุดสุดยอดถึงจากกราฟที่สมบูรณ์ด้วยค่าสูงสุด , ทำลายความสัมพันธ์โดยพลการ สิ่งนี้จะชักนำการเพิ่มจุดยอดตามรอบไปยัง : อัลกอริธึมจะเพิ่มจุดยอดจากกราฟทั้งหมดที่มีค่าสูงสุดจากนั้นจากกราฟทั้งหมดที่มี $K_{x_i n}$ $x_i$ $k_i$ $S$ $i$ $S$ $k_i$ $S$ $k = k_i$ (พร้อมอัปเดตหลังจากรอบก่อนหน้า) และอื่น ๆ เมื่อกราฟที่สมบูรณ์มีจุดสุดยอดเพิ่มไปยังในรอบมันจะทำเช่นนั้นสำหรับทุกรอบจากนั้นเป็นต้นไป $k_i=k-1$ $k_i$ $S$

ให้เป็นจำนวนกราฟที่สมบูรณ์ ให้กับเป็นตัวดัดแปลงขนาดสำหรับกราฟ th ที่สมบูรณ์ เราสั่งปรับเปลี่ยนขนาดเหล่านี้จากใหญ่ไปเล็กชุด 1ขณะนี้เรามีว่าถ้ามีกราฟตรงกับองค์ประกอบยังไม่ได้เพิ่มให้กับแล้วขนาดของการตัดในเวลานั้นคือ $c$ $0 < x_i \leq 1$ $0 \leq i \leq c - 1$ $i$ $x_0 = 1$ $c'$ $k$ $S$ 2จำนวนขอบทั้งหมดคือ $\sum_{i=0}^{c'-1} k (x_i n - k) = k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$ ฉัน $|E| = \sum_{i=0}^{c-1} \frac{x_i n (x_i n - 1)}{2} \approx \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2$

โปรดทราบว่าเป็นฟังก์ชันกำลังสองในและดังนั้นจึงมีค่าสูงสุด ดังนั้นเราจะมีการตัดสูงสุดในท้องถิ่นหลายครั้ง ตัวอย่างเช่นถ้าตัดสูงสุดของเราอยู่ที่ $k n \sum_{i=0}^{c'-1} x_i - c' k^2$ $k$ $c=1$ ของขนาด $k=\frac{n}{2}$ . เรากำลังจะไปรับเพื่อให้ซึ่งหมายความว่ารูปแบบของกราฟสมบูรณ์ที่สองจะไม่เปลี่ยนขนาดของการตัดสูงสุดในประเทศนี้ที่ $\frac{n^2}{4}$ $x_1$ $x_1 = 1/2 - \varepsilon$ . จากนั้นเราจะได้รับการตัดสูงสุดในประเทศใหม่ที่และเพื่อให้เราเลือก(กับคงที่ขนาดเล็ก) เราจะไม่สนใจสำหรับขณะนี้และเพียงสมมติเราสามารถเลือก- เราควรให้แน่ใจ $k=\frac{n}{2}$ $k=3/8 n - \varepsilon'$ $x_2 = 3/8 n - \varepsilon''$ $\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''$ $\varepsilon$ $x_1 = 1/2$ แต่สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้ายหากมีขนาดใหญ่พอ $x_1 n = \frac{n}{2} - 1$ $n$

เราต้องการค้นหาจำนวนสูงสุดของการตัดของเรา ความแตกต่างของเราเพื่อยอม kเท่ากับจะให้ $k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$ $k$ $n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - 2 c' k$ $0$ ซึ่งให้การตัดขนาด $k = \frac{n}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$ 2 $\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$

อนุญาตเป็นกำหนดในวรรคก่อนถ้าฉันเราจะให้แน่ใจว่าสูตรถือโดยเรียกร้องให้ - ทั้งหมดกราฟบริบูรณ์กับแล้วมีขนาดเล็กกว่าของการตัดสูงสุดในประเทศนี้และด้วยเหตุนี้ไม่เพิ่มขนาดของการตัด ซึ่งหมายความว่าเรามีตัดที่เหล่าที่มีขนาดใหญ่กว่าการตัดอื่น ๆ ทั้งหมดที่พบโดยอัลกอริทึม $k_i$ $k$ $c'=i$ $x_i n < k_i$ $i'$ $i'>i$ $k_i$ $c$ $k_i$

เมื่อเติมเราจะได้ค่าการเกิดซ้ำ $x_i n < k_i$ (บวกบางขนาดเล็ก) กับ1การแก้ปัญหานี้ให้ผลตอบแทน $x_i = \frac{1}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$ $\varepsilon$ $x_0 = 1$ :ดูคำถามของฉันใน math.stackexchange.comสำหรับการสืบทอดโดย@DanielFisher เสียบสิ่งนี้เข้ากับ $x_i = \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$ และการใช้ข้อมูลเชิงลึกของเราในการเกิดซ้ำทำให้เราลดขนาด $\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$ $\frac{n^2}{4c'} \left(2c' \frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = n^2 c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2$ $\lim_{c' \to \infty} c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = \frac{1}{\pi}$

จำนวนขอบมีค่าประมาณ 2 โดยคุณสมบัติที่รู้จักกันเรามีi} ยื่นอย่างน้อยซึ่งเป็น asymptoticallyเมื่อไปที่ ความไม่มีที่สิ้นสุด $\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2 = \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{\binom{2i}{i}}{4^i}\right)^2$ $\frac{1}{\sqrt{4i}} \leq \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$ $\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{1}{\sqrt{4i}}\right)^2 = \frac{n^2}{8} \sum_{i=0}^{c-1} \frac{1}{i}$ $\frac{n^2}{8} \log c$ $c$

ดังนั้นเราจึงมีเท่ากับ asymptoticallyขณะที่ไปอนันต์แสดงว่าอัลกอริธึมสามารถ ส่งคืนการตัดที่เป็นเศษส่วนต่ำโดยพลการของ. $\frac{\delta(S, \bar{S})}{|E|}$ $\frac{8}{\pi \log c}$ $c$ $|E|$

— อเล็กซ์สิบบริงค์
แหล่งที่มา

ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย, การก่อสร้างของคุณให้1/4แก้ไขและเลือกที่มีขนาดใหญ่พอNLet\} เชื่อมต่อทุก ๆ สองจุดในด้วยขอบ; แล้วนอกจากนี้ยังเชื่อมต่อทุกสองจุดใน WP 2 จำนวนรวมของขอบประมาณ 2 อัลกอริทึมค้นหาการตัดที่ตัดประมาณ 2/4 ขอบ (สูงสุดถึงเงื่อนไขการสั่งซื้อลดลงใน )

1 / 4

$1/4$

ε

$\varepsilon$

N

$N$

V = {1, \dots, N}

$V=\{1,\dots, N\}$

{1, \dots, ε N}

$\{1,\dots, \varepsilon N\}$

V

$V$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

(ε n)^{2} / 2 + ε^{2} \cdot (n^{2} / 2) = ε^{2} n^{2}

$(\varepsilon n)^2 /2 + \varepsilon^2 \cdot (n^2/2) = \varepsilon^2 n^2$

ε^{2} n^{2} / 4

$\varepsilon^2 n^2/4$

ε

$\varepsilon$

— Yury

ฉันคิดว่าฉันจะเขียนคำตอบของฉันใหม่เพื่อรวมผลลัพธ์สุดท้าย (พร้อมรายละเอียดเพิ่มเติม) ในไม่ช้าเนื่องจากมันยุ่งเหยิงในตอนนี้

— Alex สิบ Brink

เกี่ยวกับการรวมเนื่องจากแต่ละเทอมคือผลรวมคืออนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งรวมกับและโดยรวมเราจะได้ .

\frac{n^{2}}{2} \sum_{i = 0}^{c - 1} {(\frac{(\binom{2 i}{i})}{4^{i}})}^{2}

$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{\binom{2i}{i}}{4^i}\right)^2$

Θ (1 / (i + 1))

$\Theta(1/(i+1))$

Θ (\log c)

$\Theta(\log c)$

Θ (n^{2} \log c)

$\Theta(n^2\log c)$

— Yuval Filmus

หลังจากคิดและถามไปสักพักนี่เป็นตัวอย่างการตอบโต้ของAmi Paz :

ให้เป็นคู่และเป็นกราฟซึ่งเป็นสหภาพของโดยมีการจับคู่ของจุดยอด (นั่นคือการจับคู่กับขอบ ) $n$ $G$ $K_n$ $n+2$ $n/2+1$

อัลกอริทึมทำงานบนกราฟนี้อย่างไร มันใช้เวลาเพียงจุดยอดจากส่วนก๊กตามลำดับโดยพลการ หลังจากที่มีการถ่ายจุดจากก๊กตัดเป็นขนาด(NK) นี่คือสูงสุดสำหรับซึ่งจะช่วยให้การตัดขนาดในขณะที่จำนวนของขอบในกราฟเป็น\ $k$ $k\cdot (n-k)$ $k=n/2$ $\frac{n^2}{4}$ $\frac{n^2}{2}+1$

อัลกอริทึมตามที่กำหนดจะยังคงเพิ่มจุดยอดจากกลุ่มลดจำนวนของขอบข้ามตัดจนกว่าสิ่งที่เหลือจากกลุ่มเป็นเพียงขอบเดียว ณ จุดนี้มันไม่สามารถได้รับสิ่งที่ดีกว่า\ $\frac{n}{2}+2$

— Yonatan
แหล่งที่มา

ตัวอย่างที่ดี

— Kaveh

สิ่งนี้ยังคงใกล้เคียงกับมาก มันจะเป็นการดีที่ได้เห็นตัวอย่างที่อัลกอริทึมแย่ลง

| E | / 2

$|E|/2$

— Sasho Nikolov