คำถามติดแท็ก max-cut

Letเป็นกราฟที่มีฟังก์ชั่นน้ำหนัก{R} ปัญหาตัดสูงสุดคือการหา: ถ้า ฟังก์ชั่นน้ำหนักไม่เป็นลบ (เช่นw (e) \ geq 0สำหรับe \ in E ทั้งหมด ) จากนั้นมีการประมาณค่าแบบง่าย ๆ 2 แบบสำหรับการตัดสูงสุด ตัวอย่างเช่นเราสามารถ:G=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)w:E→Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)arg⁡maxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)w(e)≥0w(e)≥0w(e) \geq 0e∈Ee∈Ee \in E เลือกชุดย่อยแบบสุ่มของจุดSSSS เลือกการสั่งซื้อบนจุดยอดและวางแต่ละจุดสุดยอดvvvในSSSหรือS¯S¯\bar{S}เพื่อเพิ่มขอบตัดให้ได้มากที่สุด ทำการปรับปรุงในท้องถิ่น: หากมีจุดสุดยอดใด ๆ ในSSSที่สามารถย้ายไปที่S¯S¯\bar{S}เพื่อเพิ่มการตัด (หรือกลับกัน) ทำการย้าย การวิเคราะห์มาตรฐานของอัลกอริทึมทั้งหมดเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการตัดผลลัพธ์อย่างน้อยที่สุดเท่ากับ12∑e∈Ew(e)12∑e∈Ew(e)\frac{1}{2}\sum_{e …

35 ds.algorithms  graph-theory  approximation-algorithms  max-cut 

ตกลงนี่อาจดูเหมือนคำถามการบ้านและในแง่หนึ่งก็คือ ในฐานะที่เป็นงานบ้านในชั้นเรียนระดับปริญญาตรีฉันได้เรียนคลาสสิกต่อไปนี้: รับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)ให้อัลกอริทึมที่พบการตัด(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})เช่นนั้นδ( S, S¯) ≥ | E| / 2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2 , ที่δ( S, S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})คือจำนวนของขอบที่ตัด ความซับซ้อนจะต้องเป็นO ( V+ E)O(V+E)O(V+E) ) ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันได้โซลูชันต่อไปนี้มากมาย ตอนนี้มันใช้เวลามากเกินไปดังนั้นมันไม่ใช่เรื่องของการให้คะแนน แต่ฉันอยากรู้ มันไม่ "ดูเหมือน" ถูกต้อง แต่ความพยายามทั้งหมดของฉันในการโต้แย้งกลับล้มเหลว นี่มันคือ: ชุดS← ∅S←∅S\leftarrow \emptyset ให้โวลต์vvเป็นจุดยอดสูงสุดในกราฟ เพิ่มโวลต์vvไปยังSSS ลบขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับโวลต์vv ถ้าδ( S, S¯) &lt; | E| / 2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2กลับไปที่ 2 โปรดทราบว่าEEEในขั้นตอนที่ 5 หมายถึงกราฟต้นฉบับ โปรดทราบด้วยว่าหากเราข้ามขั้นตอนที่ 4 …

21 graph-algorithms  max-cut  greedy-algorithms 

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational? ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ?xxxfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

x1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_nR2R2\mathbb{R}^2∥xi−xj∥2‖xi−xj‖2\|x_i - x_j\|^22323\frac 2 32323\frac 2 3 ตัวอย่างที่เลวร้ายที่สุดที่ฉันสามารถที่จะหาคือ 3 จุดบนรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งประสบความสำเร็จใน3 โปรดทราบว่าการแบ่งแบบสุ่มจะสร้างแต่ดูเหมือนชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าในมิติที่ต่ำหนึ่งสามารถจัดกลุ่มได้ดีกว่าการสุ่ม2323\frac 2 31212\frac 1 2 จะเกิดอะไรขึ้นสำหรับ max-k-cut สำหรับ k&gt; 2 ขนาด d&gt; 2 เป็นอย่างไร? มีกรอบในการตอบคำถามเหล่านี้หรือไม่? ฉันรู้เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของ Cheeger แต่สิ่งเหล่านั้นนำไปใช้กับการตัดแบบกระจาย (ไม่ใช่การตัดสูงสุด) และใช้ได้กับกราฟปกติเท่านั้น (คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาการจัดกลุ่มแหล่งกำเนิดแสงในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์เพื่อลดความแปรปรวน)

12 ds.algorithms  graph-algorithms  application-of-theory  max-cut  clustering 

ฉันกำลังมองหาชื่อหรือการอ้างอิงถึงปัญหานี้ เมื่อกำหนดกราฟถ่วงน้ำหนักG=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)หาพาร์ติชันของจุดยอดเข้าสูงสุดn=|V|n=|V|n = |V|ตั้งค่าS1,…,SnS1,…,SnS_1,\ldots,S_nเพื่อเพิ่มมูลค่าของคมตัดสูงสุด: c(S1,…,Sn)=∑i≠j⎛⎝∑(u,v)∈E:u∈Si,v∈Sjw(u,v)⎞⎠c(S1,…,Sn)=∑i≠j(∑(u,v)∈E:u∈Si,v∈Sjw(u,v))c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right) โปรดทราบว่าบางชุดSiSiS_iสามารถว่างได้ ดังนั้นปัญหาคือ max-k-cut ยกเว้นkkkไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ input: อัลกอริธึมสามารถเลือกkkkมันชอบเพื่อเพิ่มค่าของคมตัดให้ได้มากที่สุด เห็นได้ชัดว่าปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องเล็กน้อยหากน้ำหนักขอบไม่เป็นลบเพียงแค่วางจุดยอดทุกจุดไว้ในชุดของตัวเองและคุณตัดขอบทั้งหมด แต่เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ น่าสนใจอนุญาตให้ลบน้ำหนักขอบ นี่เป็นปัญหาที่ศึกษาหรือไม่? การอ้างอิงถึงอัลกอริทึมหรือผลลัพธ์ความแข็งจะชื่นชม!

12 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  max-cut 

ฉันสนใจตัวอย่างที่ชัดเจนของกราฟที่ใช้อัลกอริทึมของ Goemans และ Williamson ในการประมาณค่าการตัดสูงสุดใน 0.878 ... -approximation factor อัลกอริทึมในการสร้างอินสแตนซ์ดังกล่าวน่าจะสมบูรณ์แบบตัวอย่างและการอ้างอิงที่น่าพอใจ

10 ds.algorithms  approximation-algorithms  max-cut  hard-instances 

บรรทัดฐานการตัด||A||C||A||C||A||_Cของจริงเมทริกซ์= ( ฉัน, J ) ∈ R n × nเป็นจำนวนสูงสุดเหนือทุกฉัน⊆ [ n ] , J ⊆ [ n ]ปริมาณ| ∑ i ∈ I , j ∈ J a i , j | .A=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| กำหนดระยะห่างระหว่างสองเมทริกซ์AAAและBBBเป็นdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = …

10 graph-theory  co.combinatorics  metrics  max-cut  epsilon-nets 

ฉันกำลังศึกษาการคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำใครและการลดลงของ Max-Cut ของ Khot et al จากบทความของพวกเขาและที่อื่น ๆ บนอินเทอร์เน็ตผู้เขียนส่วนใหญ่ใช้ (สิ่งที่ฉันเป็น) ความเท่าเทียมกันโดยนัยระหว่างการลด MAX-CUT และการสร้างการทดสอบโดยเฉพาะสำหรับรหัสยาว เนื่องจากขาดความชัดเจนเกี่ยวกับความเท่าเทียมนั้นเองฉันจึงพยายามติดตามความคิดนี้ นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดจากการอธิบายเหล่านี้ว่าเราสามารถอธิบายการลดลงอย่างหมดจดในแง่ของกราฟ แต่โดยความบังเอิญหรือความชอบไม่มีใครเลือกที่จะทำอย่างนั้น ตัวอย่างเช่นในบันทึกการบรรยายเหล่านี้ของ O'Donnell เขาบอกเป็นนัยว่าการทดสอบโค้ดแบบยาวนั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความตามธรรมชาติของขอบในกราฟที่กำลังสร้าง แต่เนื่องจากไม่มีการสะกดคำออกมา เพื่อกำหนดฟังก์ชั่นบูลีนที่กำลังทดสอบและมันทำให้ฉันค่อนข้างสับสน ดังนั้นฉันขอให้ใครบางคนอธิบายการลดลงของ "เพียงแค่" ในทางทฤษฎี ฉันคิดว่าสิ่งนี้จะช่วยให้ฉันเข้าใจความเท่าเทียมกันระหว่างมุมมองทั้งสอง

9 cc.complexity-theory  approximation-hardness  pcp  max-cut  unique-games-conjecture 

ในปัญหาMax-Cutผู้ใช้ค้นหาส่วนย่อย S ของจุดยอดของกราฟที่ไม่ระบุทิศทางอย่างง่ายซึ่งจำนวนของขอบระหว่าง S และส่วนประกอบของ S นั้นมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ Max-Cut คือ APX-complete บนกราฟระดับขอบเขต [PY91] และอันที่จริง APX-complete บนลูกบาศก์กราฟ (เช่นกราฟระดับ 3) [AK00] Max-Cut เป็น NP-complete บนกราฟที่ไม่มีสามเหลี่ยมที่มีระดับสูงสุด 3 [LY80] (ปราศจากสามเหลี่ยมหมายความว่ากราฟอินพุตไม่มี K_3 ซึ่งเป็นกราฟที่สมบูรณ์ใน 3 จุดเป็นกราฟย่อย) คำถาม: Max-Cut APX-complete บนกราฟที่ไม่มีสามเหลี่ยมหรือไม่? (หมายเหตุ: อนุญาตองศาโดยพลการ) ขอบคุณ. UPDATE:พบคำตอบ แต่ฉันยังคงสนใจในการอ้างอิงสำหรับผลลัพธ์นี้หากมี อ้างอิง: [AK00] P. Alimonti และ V. Kann: ผลลัพธ์บางส่วนของ APX ที่สมบูรณ์สำหรับกราฟลูกบาศก์ Theor คอมพิวเต …

9 cc.complexity-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  max-cut