สิ่งที่สามารถแก้ไขได้ด้วยการเขียนโปรแกรม semidefinite ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น?

9

ฉันคุ้นเคยกับโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่พวกเขาสามารถแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นตรงและข้อ จำกัด เชิงเส้น แต่การเขียนโปรแกรมแบบกึ่งไม่มีขีด จำกัด สามารถแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่ไม่สามารถ? ฉันรู้แล้วว่าโปรแกรม semidefinite นั้นเป็นลักษณะทั่วไปของโปรแกรมเชิงเส้น

นอกจากนี้วิธีการที่จะรับรู้ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้การเขียนโปรแกรม semidefinite? ปัญหาทั่วไปที่การเขียนโปรแกรม semidefinite ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคืออะไร

ขอบคุณมากสำหรับการตอบสนองใด ๆ

linear-programming convex-optimization semidefinite-programming

— user11094
แหล่งที่มา

2

บางทีคุณอาจทำให้คำถามของคุณแม่นยำยิ่งขึ้น? หลังจากทั้งหมดการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือ

P

$\mathsf{P}$ ที่สมบูรณ์

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

5

@KristofferArnsfeltHansen ฉันไม่เคยหยุดสงสัยเลยว่าทำไมผู้คนถึงนำความจริงนี้มาพูดคุยในลักษณะเดียวกัน P-completeeness นั้นไม่เกี่ยวข้องนอกเสียจากว่าเรากำลังพูดถึงการแยก P จาก L หรือ NC - ถ้าเรากำลังพูดถึง polytime ทุกอย่างใน P คือ "P-complete" เพื่อแนะนำคำตอบสำหรับ OP: เมื่อคุณแก้ไขการเข้ารหัสเชิงเส้นของปัญหา (เช่นเขียนเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพการทำงานเชิงเส้นบนโพลีท็อป) ให้เหมาะสมที่สุดที่จะถามว่า polysize LP / SDP สามารถแก้ปัญหาได้หรือไม่

— Sasho Nikolov

18

ปัญหาทั่วไปคือ MaxCut: ส่งการตัดในกราฟที่ (โดยประมาณ) เพิ่มจำนวนการตัดขอบ Goemans และ Williamsonแสดง SDP ที่ประมาณค่า MaxCut ให้อยู่ในค่าอย่างน้อย 0.878 เมื่อเร็ว ๆ นี้Chan, Lee, Raghavendra และ Steurerแสดงให้เห็นว่าสำหรับการเข้ารหัสเชิงเส้นตามธรรมชาติของปัญหา MaxCut LPs ขนาดพหุนามทั้งหมดจะได้ค่าประมาณไม่ดีกว่า 0.5

เป็นการยากที่จะพูดอย่างรัดกุมว่าปัญหาประเภทใดมักจะได้รับประโยชน์จาก SDP วิธีการที่เป็นระบบในการสร้างการพักผ่อน SDP คือผ่านลำดับชั้นซึ่งมีประสิทธิภาพมากที่สุดคือลำดับชั้นของ Lasserre: ดูแบบสำรวจของRothvoßเพื่อการแนะนำที่ดี ในตอนนี้มีตัวอย่างของความสำเร็จของ SDP มากเกินไปในการเพิ่มประสิทธิภาพให้กับรายการ นอกจากนี้Raghavendraยังแสดงให้เห็นว่า SDP หนึ่งที่เฉพาะเจาะจงให้การประมาณที่ดีที่สุดสำหรับปัญหา MaxCSP ทั้งหมดหากการคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำเป็นจริง

ตรวจสอบหนังสือของGaertner และ Matousekบทที่ 6 และ 13 ของWillimson และ Shmoys หนังสือ , การสำรวจ Lovasz ของ

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

12

สำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สุด combinatorial (เช่น Max-Cut) การเขียนโปรแกรม semidefinite ให้ผลการผ่อนคลายที่ดีกว่าการผ่อนคลาย LP ของสูตร IP วิธีนี้ช่วยให้การออกแบบอัลกอริทึมการประมาณและอัลกอริทึมที่แน่นอนซึ่งมีประสิทธิภาพมากกว่าคู่เชิงเส้นของพวกเขาเนื่องจากคุณภาพที่ดีขึ้นของขอบเขต ตัวอย่างสามารถพบได้ในคริสโต Helmberg ของบิลิเทชั่วิทยานิพนธ์ , การสำรวจครั้งนี้และ หน้าหลักสูตรนี้

ลำดับล่าสุดของผลลัพธ์ที่น่าตื่นเต้นที่ใช้ประโยชน์จากการเขียนโปรแกรม semidefinite คือแอปพลิเคชั่นของalgebras ธงของ Razborov เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ของปัญหาประเภท Turan (ดูการสำรวจนี้และโครงการ flagmatic )

— โทมัส Kalinowski
แหล่งที่มา