กราฟย่อยที่มีโหนดและขอบทั้งหมดที่เป็นส่วนหนึ่งของเส้นทางเซนต์แบบง่าย ๆ ที่มีความยาว จำกัด ในกราฟที่ไม่มีทิศทาง

ค่อนข้างคล้ายกับของฉันคำถามโพสต์ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามในเวลานี้กราฟจะไม่ถูกนำไปใช้

ป.ร. ให้ไว้

ไม่มีทิศทางกราฟไม่มีหลายขอบหรือลูป $G$
จุดยอดแหล่ง , $s$
จุดยอดเป้าหมาย , $t$
ความยาวเส้นทางสูงสุด , $l$

ฉันกำลังมองหา - เป็น subgraph ของที่มีจุดสุดยอดใด ๆ และขอบใด ๆ ใน (และเฉพาะผู้) ที่เป็นส่วนหนึ่งของเส้นทางที่ง่ายอย่างน้อยหนึ่งจากไปมีความยาวลิตร $G'$ $G$ $G$ $s$ $t$ $\leq l$

หมายเหตุ:

ฉันไม่จำเป็นต้องระบุเส้นทาง
ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ (ทั้งเวลาและหน่วยความจำ) เนื่องจากฉันต้องดำเนินการกับกราฟที่มีขนาดใหญ่มาก (10 ^ 8 จุดยอด, 10 ^ 9 ขอบ)

ds.algorithms graph-algorithms shortest-path

— Lior Kogan
แหล่งที่มา

ลองดู. พบกระดาษนี้ซึ่งดูเหมือนว่าจะลดการไหลของต้นทุนขั้นต่ำที่คล้ายกัน แต่ใช้ลักษณะพิเศษของเครือข่ายเพื่อแก้ปัญหาได้เร็วขึ้นแล้วจากอัลกอริทึม MCF ทั่วไป

— RB

ปัญหาอยู่ที่หลังจากทั้งหมด ฉันจะให้คำตอบก่อนหน้าในขณะที่มันยังสามารถใช้ได้กับกรณีที่ผู้กำกับ (ซึ่งเป็น NPC เป็นคำตอบในคำถามอื่น ๆ ) และแสดงให้เห็นว่ามันเป็นด้วยความเคารพต่อลิตร $P$ $FPT$ $l$

ในกรณีที่ไม่ได้บอกทิศทางมันสามารถแก้ไขได้กำหนดผ่านการไหลของต้นทุนต่ำสุด (สิ่งนี้อาจใช้ไม่ได้กับเครื่องชั่งที่คุณอ้างถึงในคำถาม แต่ดีกว่าอัลกอริธึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ขั้นตอนต่อไปนี้จะตัดสินว่าขอบบางควรเป็นส่วนหนึ่งของกราฟผลลัพธ์หรือไม่ เพื่อที่จะตอบปัญหาเดิมเพียงแค่วนรอบขอบทั้งหมด $e=(u,v)\in E$

ในการสร้างเครือข่ายการไหลให้ทำดังนี้:

ขั้นตอนที่ 1: ขยายเพื่อให้จุดสุดยอดและแทนที่ด้วยขอบ (พวกเขาถูกชี้นำเป็น ส่วนหนึ่งของเครือข่ายการไหล) ตั้งค่าเป็น 0 $e$ $x_e$ $e$ $(u,x_e),$ $(x_e,u),(v,x_e),(x_e,v)$

ขั้นตอนที่ 2: เปลี่ยนทุกจุดสุดยอดยกเว้นสองจุดและและเพิ่มขอบ )กำหนดค่าขอบเหล่านี้เป็น 1 $t$ $x_e$ $t^-$ $t^+$ $(t^-,t^+)$

ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ของทุกขอบกับขอบ )กำหนดค่าขอบเหล่านี้เป็น 0 $\{a,b\}\in E$ $(a^+,b^-),(b^+,a^-)$

ขั้นตอนที่ 4: เพิ่มใหม่ยอดและเพิ่มขอบที่มีค่าใช้จ่าย 0 $y_e$ $(s,y_e),(t,y_e)$

ขั้นตอนที่ 5: ตั้งค่าความจุทั้งหมดเป็น 1

ตอนนี้ใช้อัลกอริทึมนาทีไหลค่าใช้จ่ายในการค้นหาสำหรับการไหลของมูลค่า 2 จากเพื่ออี $x_e$ $y_e$

วิเคราะห์:

ทุก 2 มูลค่าไหลจากเพื่อเป็นสหภาพของเส้นทางและเส้นทางอี $x_e$ $y_e$ $x_e\leadsto s\to y_e$ $x_e\leadsto t\to y_e$
เส้นทางมีเคล็ดเนื่องจากทุกจุดสุดยอดมีเพียง 1 ความจุในโค้ง $t$ $(t^-,t^+)$
เส้นทางที่ส่งคืนเป็นเส้นทางสองเส้นทางที่มีระยะทางรวมน้อยที่สุดและนั่นก็เป็นต้นทุนของการไหลที่พบ สิ่งนี้ทำให้เราสามารถเพิ่มไปยังกราฟผลลัพธ์หรือลบอย่างอื่นได้ $e$

— RB
แหล่งที่มา

มันง่ายกว่าที่จะเข้าใจข้อโต้แย้งในคำตอบข้างต้นโดยดึงการลดลงไปสู่การไหลโดยตรง มีเส้นทางที่เรียบง่ายจากการเป็น

การ

มีโหนด

IFF มีเส้นทาง

จาก

เพื่อ

และเส้นทาง

จาก

เพื่อ

เช่นที่

และ

เป็นโหนดเคล็ดยกเว้นที่วี

สิ่งนี้ใช้ความไม่พึงประสงค์ สามารถตรวจสอบได้ผ่านโฟลว์และรุ่นต้นทุนสามารถทำได้ผ่านโฟลว์ราคาต่ำสุด หนึ่งสามารถตรวจสอบว่ามีเส้นทางที่เรียบง่ายจาก

ถึง

ที่มี

s

$s$

t

$t$

v

$v$

P

$P$

v

$v$

s

$s$

Q

$Q$

v

$v$

t

$t$

P

$P$

Q

$Q$

v

$v$

s

$s$

t

$t$

e

$e$ โดยการแนะนำโหนดในช่วงกลางของอี

e

$e$

— จันทรา Chekuri

@ChandraChekuri - ถูกต้อง แต่พึงระลึกไว้เสมอว่าหากปัญหาไม่มีข้อ จำกัด เรื่องความยาวมีอัลกอริธึมที่ง่ายกว่าสำหรับการตัดสินใจ - ดูที่นี่

— RB

แน่นอนว่าฉันตระหนักถึงวิธีการแก้ปัญหาเช่นกัน - โดยหลักการแล้วมันเป็นเรื่องดีที่จะเข้าใจส่วนประกอบที่เชื่อมต่อผ่านเส้นทางที่แยกจากกันแม้ว่าจะพบจุดตัดและจุดเชื่อมต่อโดยตรงผ่านทาง DFS

— จันทรา Chekuri

@RB: ขอบคุณ algorihm ที่แนะนำอาจมีประสิทธิภาพเมื่อ l มีขนาดค่อนข้างใหญ่ แต่มันอาจไม่ดีสำหรับค่า l ที่ค่อนข้างเล็ก ฉันเดาว่าฉันสามารถตัด G ก่อนด้วยการเอาจุดสุดยอดออกไปไกลกว่าพื้น (l / 2) จาก s และ ceil (l / 2) จาก t

— Lior Kogan

y

$y$

y

$y$

y_{e}

$y_e$

x_{e}

$x_e$

y

$y$

$s$ $t$ $s$ $t$ $\le \ell$

$O(|V|+|E|)$ $\ell$

$s$ $\ell$ $V_s$ $s$ $\ell$ $dist(s,v)$ $v \in V_s$ $t$ $V_t$ $t$ $V_{solution}=\{ v : v \in V_s \cap V_t, dist(s,v)+dist(t,v) \le \ell \}$ $E[V_{solution}]$ $=(v,u) \in E : u,v \in V_{solution}$

$O(|V|+|E|)$ $O(|V_s| + |V_t| + |E[V_s]|+|E[V_t]|)$ $\ell$ $s$ $t$ มีขนาดเล็ก

$s$ $t$ $\ell/2$ $\ell$ $\ell$

— เกี๊ยว
แหล่งที่มา

t - u - s - v - x

$t-u-s-v-x$

l = 4

$l=4$

v

$v$

v

$v$

ขอบคุณสำหรับการแก้ไข @RB ฉันแก้ไขคำตอบเพื่อทราบว่ามันผิด

— mobius dumpling

นี่เป็นความคิดเห็น แต่มีความยาวเกินกว่าจะโพสต์เป็นความคิดเห็นได้

$G = (V, E)$ $H = (V, E')$ $H = (V, E', w)$

$O(n^{4/3})$ $O(n^{4/3})$ $O(n^{4/3})$

หากฟังดูมีประโยชน์ฉันสามารถลองขุดสิ่งปลูกสร้างที่เกี่ยวข้องให้กับคุณได้

— GMB
แหล่งที่มา