NP-hard เกือบ 2-SAT หรือไม่

10

ปัญหา CNF SAT เป็นเรื่องยากหรือไม่เมื่อจำนวนรวม (แต่ไม่ใช่ความกว้าง) ของข้อ 3 หรือมากกว่านั้นถูกล้อมรอบด้วยค่าคงที่หรือไม่? ถ้าอย่างนั้นมีเพียงประโยคเดียวเท่านั้น?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
แหล่งที่มา

8

ถ้ามีเพียงหนึ่งประโยคเช่นที่มีมากกว่า 2 แง่แก้สูตรดังกล่าวเป็นนิด ๆ ในPหากมีคำศัพท์ลองใช้การมอบหมายบางส่วนที่สอดคล้องกับแล้วแก้สูตร 2-SAT ที่เหลือโดยใช้วิธีการเชิงเส้นเวลาที่รู้จัก ในที่สุดคุณจะพบทางออกสำหรับสูตรทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่น่าพอใจในเวลาโดยที่ไม่สามารถเกินจำนวนตัวแปรในสูตรทั้งหมด

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Kyle Jones

@KyleJones แต่ประโยคเดียวกับตัวอักษรมีความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายไม่เพียงkเนื่องจากไม่มีขอบเขตในคำถามวิธีนี้จึงให้อัลกอริธึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล - เวลา

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby

2

@DavidRicherby เพื่อตอบสนองข้อคุณจะต้องทำให้หนึ่งในตัวอักษรประเมินความจริง หลังจากนั้นสามารถเพิกเฉยได้และคุณจะมีสูตร 2-SAT ที่เหลืออยู่เท่านั้น อักษรหมายความว่าคุณจะต้องพยายามที่ได้รับมอบหมาย

k

$k$

k

$k$

— Kyle Jones

14

มันเป็นที่น่าสังเกตว่าปัญหาจะกลายเป็นปัญหายากเมื่อข้อ จำกัด ผ่อนคลายเล็กน้อย

ด้วยจำนวนคงที่ของข้อที่มีขนาดขอบเขตจำนวนตัวอักษรเฉลี่ยในข้อจะใกล้เคียงกับ 2 ตามที่ต้องการโดยพิจารณาตัวอย่างที่มีตัวแปรเพียงพอ ในขณะที่คุณชี้ให้เห็นว่ามีขอบเขตบนอย่างง่ายซึ่งเป็นพหุนามหากขนาดของประโยคถูก จำกัด ขอบเขต

ในทางตรงกันข้ามถ้าจำนวนตัวอักษรเฉลี่ยต่อประโยคอย่างน้อยสำหรับบางคงที่ (แต่เล็กโดยพลการ)แล้วปัญหาคือ NP-hard $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดยการลด 3SAT ให้กับปัญหานี้โดยการแนะนำอนุประโยคใหม่ที่มี 2 ตัวอักษรที่น่าพอใจเล็กน้อย สมมติว่ามีคำสั่งในอินสแตนซ์ 3SAT; เพื่อลดขนาดคำสั่งเฉลี่ยเป็นก็พอที่จะเพิ่มคำใหม่ที่มีสองตัวอักษร เนื่องจากได้รับการแก้ไขและบวกอินสแตนซ์ใหม่มีขนาดพหุนาม $m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

การลดลงนี้ยังแสดงให้เห็นว่าแม้แต่รุ่นที่ส่วนคำสั่ง "ใหญ่" ถูก จำกัด ไว้ที่ 3 ตัวอักษรคือ NP-hard

กรณีที่เหลือคือเมื่อส่วนคำสั่งขนาดใหญ่ไม่กี่ข้อมีขนาดไม่ จำกัด ขอบเขต ประโยคขนาดใหญ่แต่ละข้อดูเหมือนจะทำให้ปัญหายากขึ้น ดูบทความ SODA 2010 โดยPǎtraşcuและ Williams สำหรับกรณีของสองอนุประโยค: พวกเขายืนยันว่าถ้าสิ่งนี้สามารถทำได้ในเวลาที่มีกำลังสองย่อยเราจะมีอัลกอริธึมที่ดีกว่าสำหรับ SAT อาจมีส่วนขยายของข้อโต้แย้งของพวกเขาให้มากขึ้นซึ่งจะเป็นหลักฐานว่าขอบเขตบนของคุณไม่สามารถปรับปรุงได้ (โมดูโลบางรูปแบบของสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล)

— András Salamon
แหล่งที่มา

มีความเกี่ยวข้องกันทางสัมผัส แต่มีรายงาน ECCC เมื่อเร็ว ๆ นี้ที่กำหนด "เกือบ 2-SAT" ในวิธีที่แตกต่างกันและพิสูจน์ความแข็งที่แข็งแกร่ง: eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Sasho Nikolov

8

โอเคเข้าใจแล้ว. คำตอบคือไม่ สามารถแก้ไขได้ในเวลาโพลี สำหรับแต่ละประโยค 3 หรือมากกว่าคำให้เลือกตัวอักษรและตั้งค่าให้เป็นจริง จากนั้นแก้ปัญหา 2-sat ที่เหลือ หากมีผู้ใดมีวิธีแก้ปัญหาแสดงว่าเป็นวิธีแก้ไขปัญหาโดยรวม เนื่องจากมีการแก้ไขจำนวนคำสั่ง 3 หรือมากกว่าระยะเวลา (พูด c) ดังนั้นหากคำสั่งดังกล่าวทั้งหมดมีขนาด <= m ดังนั้นสิ่งนี้จะทำงานใน O (m ^ (c) * n) O (m ^ c) สำหรับการเลือกแต่ละครั้งที่เป็นไปได้เวลา O (n) สำหรับการแก้ปัญหา 2 sat ที่เหลือ

— dspyz
แหล่งที่มา

m

$m$

มันเป็นเพราะ m ถูก จำกัด โดยปริยายโดยจำนวนอะตอม เห็นได้ชัดว่าประโยคไม่สามารถมีตัวอักษรได้มากกว่าอะตอมในปัญหา บางทีฉันควรจะชี้แจง m <= n

— dspyz