ปัญหาการตัดสินใจที่ไม่รู้ว่าอยู่ใน PH แต่จะอยู่ใน P ถ้า P = NP

แก้ไข : Ravi Boppana ชี้ให้เห็นอย่างถูกต้องในคำตอบของเขาและ Scott Aaronson ยังเพิ่มอีกตัวอย่างในคำตอบของเขาคำตอบของคำถามนี้กลายเป็น "ใช่" ในแบบที่ฉันไม่เคยคาดคิดเลย ก่อนอื่นฉันคิดว่าพวกเขาไม่ได้ตอบคำถามที่ฉันต้องการถาม แต่หลังจากความคิดบางอย่างสิ่งก่อสร้างเหล่านี้ตอบคำถามอย่างน้อยหนึ่งคำถามที่ฉันต้องการถามนั่นคือ“ มีวิธีใดที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ที่มีเงื่อนไข 'P = NP ⇒ L ∈P 'โดยไม่ต้องพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่มีเงื่อนไขL ∈PH?” ขอบคุณ Ravi และ Scott!

มีการตัดสินใจปัญหาLดังกล่าวว่าเงื่อนไขต่อไปนี้มีทั้งความพึงพอใจ?

• Lไม่รู้ว่าอยู่ในลำดับชั้นพหุนาม
• เป็นที่ทราบกันดีว่า P = NP จะบ่งบอกถึงL ∈P

ตัวอย่างที่ประดิษฐ์ขึ้นนั้นดีพอ ๆ กับตัวอย่างที่เป็นธรรมชาติ นอกจากนี้แม้ว่าฉันจะใช้ตัวอักษร“ L ” มันอาจเป็นปัญหาสัญญาแทนภาษาถ้ามันช่วยได้

พื้นหลัง หากเรารู้ว่าปัญหาการตัดสินใจLอยู่ในลำดับชั้นพหุนามเราก็รู้ว่า "P = NP ⇒ L ∈P" จุดประสงค์ของคำถามคือถามว่าการสนทนาถือหรือไม่ หากมีภาษาL ที่ตรงตามเงื่อนไขสองข้อข้างต้นก็อาจถือว่าเป็นหลักฐานที่แสดงว่าการสนทนาล้มเหลว

คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากความเห็นที่น่าสนใจของ Joe Fitzsimons ต่อคำตอบของฉันต่อคำถามของWalter Bishop“ ผลที่ตามมาของ #P = FP ”

เนื่องจากคุณไม่สนใจภาษาประดิษฐ์วิธีกำหนดให้ว่างถ้า P เท่ากับ NP และเป็นปัญหาการหยุดชะงักถ้า P ไม่เท่ากับ NP โอเคมันเป็นเรื่องโกง แต่ฉันคิดว่าคุณจะต้องใช้ถ้อยคำใหม่เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าว $L$

หากตัวอย่างที่ประดิษฐ์ขึ้นนั้นดีพอ ๆ กับตัวอย่างที่เป็นธรรมชาติฉันสามารถให้ตัวอย่างเช่นนั้นได้!

แก้ไข:นอกจากนี้ตัวอย่างของฉันคือ "ค่อนข้าง" น้อยกว่าสูตรโกงที่แนะนำโดย Ravi Boppana (ที่เราใช้ L เป็นภาษาว่างเปล่าถ้า P = NP และปัญหาการหยุดชะงักเป็นอย่างอื่น) โดยที่ฉันจะกำหนดภาษา L โดยการให้กระบวนการ จำกัด เพื่อตัดสินใจว่า L สำหรับอินพุตใด ๆ x ไม่มีประเด็นใดที่จะตัดสินว่าx∈Lต้องการการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ "ไม่ได้ จำกัด " เช่น P vs. NP$x \in$

โดยไม่ต้องกังวลใจต่อไปขอให้เป็นการนับจำนวนเครื่องจักรทัวริงของ polytime สำหรับทุกnให้เอ็มที( n )เป็นคนแรกที่ lexicographically M ผมว่าถูกต้องตัดสินใจ 3SAT ในปัจจัยการผลิตทั้งหมดของความยาวnหรือน้อยกว่า จากนั้นกำหนดภาษา L ดังนี้: สำหรับอินพุตทั้งหมดxของขนาดn , x ∈ L ถ้าหากเครื่องทัวริงเข้ารหัสโดยxหยุดการทำงานที่nมากที่สุดt ( n $M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ ขั้นตอนเมื่อรันบนเทปเปล่า

อ้างสิทธิ์ 1:ถ้า P = NP ดังนั้น L P$\in$

พิสูจน์:ถ้า P = NP แล้วมีบางส่วนคงที่แก้ 3SAT สำหรับปัจจัยการผลิตทั้งหมด ด้วยเหตุนี้T ( n ) ≤ ฉันสำหรับทุกn QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

อ้างสิทธิ์ 2:ถ้า P NP ดังนั้น L ∉ P$\ne$$\notin$

พิสูจน์:ถ้าเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัดเราสามารถใช้ทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาได้ QED$t(n)$

ตอนนี้ L ไม่เพียง แต่อยู่ใน P โดยสมมติว่า P NP: หนึ่งถือว่ามันไม่ได้อยู่ใน PH (หรือแม้แต่ PSPACE)!$\ne$

บังเอิญฉันสงสัยว่าใครสามารถปรับปรุงการก่อสร้างข้างต้นเพื่อให้ได้ภาษา L ซึ่งอยู่ใน P ถ้า P = NP แต่พิสูจน์ไม่ได้ใน PH หรือ PSPACE ถ้า P NP?$\ne$

การตอบคำถามก็อตต์ Aaronson แต่บิตยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็นที่นี่คือการก่อสร้างของภาษาดังกล่าวว่าP = N PหมายถึงL ∈ Pแต่P ≠ N PหมายถึงL ∉ P H$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

ให้และt ( n )เหมือนในโครงสร้างของ Scott เราทำให้มันเพื่อให้Lไม่ได้ลดการΣ k S Tสำหรับแต่ละkแต่เราเท่านั้นที่ทำเช่นนี้หากT ( n ) →การ∞ (เช่นถ้าP ≠ N P ) การก่อสร้างดำเนินการในขั้นตอน ที่เวทีs = ( i , j $M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$(ใช้บางส่วนได้อย่างง่ายดายคำนวณและกลับด้านได้อย่างง่ายดาย bijection ) เรามั่นใจว่าM ฉันไม่ได้เป็นจำนวนมากหนึ่งลดลงจากLเพื่อΣ J S T ให้n sเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดเช่นt ( n s ) > t ( n s - 1 ) (กรณีฐาน: n 0 = 1 ) ถ้ามีเช่นจำนวนเต็มn sแล้วตั้ง$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$ ) ถ้าไม่มีจำนวนเต็มเช่น n sเราให้ Lจะว่างเปล่าตลอดไปหลังจาก$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

ถ้าแล้วT ( n ) →การ∞เป็นn →การ∞จึงมีอยู่เสมอเช่นn sจึงLไม่ได้อยู่ในP H ถ้าP = N Pแล้วฉันLเป็นเพียงขีดแตกต่างจากสก็อตLและด้วยเหตุนี้อยู่ในP$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$