ระดับความซับซ้อนของปัญหานี้

ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าปัญหาต่อไปนี้อยู่ในระดับความซับซ้อน

ปัญหารูตแบบพหุนามแบบ Exponentiating (EPRP)

ปล่อยให้เป็นพหุนามกับด้วยสัมประสิทธิ์ที่ดึงมาจากสนาม จำกัดด้วยเป็นจำนวนเฉพาะและดั้งเดิมสำหรับสนามนั้น ตรวจสอบการแก้ปัญหาของ: (หรือค่าเท่าศูนย์ของ ) ที่หมายถึง exponentiating R $p(x)$ $\deg(p) \geq 0$ $GF(q)$ $q$ $r$

p (x) = r^{x}

$p(x) = r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) - r^x$

r^{x}

$r^x$

r

$r$

โปรดสังเกตว่าเมื่อ (พหุนามเป็นค่าคงที่) ปัญหานี้จะเปลี่ยนเป็นปัญหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเชื่อกันว่าเป็นปัญหาระดับกลาง - นั่นคือมันอยู่ใน NP แต่ไม่ใช่ใน P หรือ NP- สมบูรณ์ . $\deg(p)=0$

ด้วยความรู้ที่ดีที่สุดของฉันอัลกอริทึม (พหุนาม) ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหานี้ไม่มีอยู่ (อัลกอริทึม Berlekamp และ Cantor – Zassenhaus ต้องการเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล) การค้นหารากของสมการดังกล่าวสามารถทำได้สองวิธี:

ลองใช้ไอเท็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดในฟิลด์และตรวจสอบว่าพวกเขาเป็นไปตามสมการหรือไม่ เห็นได้ชัดว่านี่ต้องใช้เวลาชี้แจงในการปรับขนาดของสนามโมดูลัส; $x$
เลขชี้กำลังสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบพหุนามโดยใช้การแก้ไข Lagrange เพื่อแก้ไขจุด กำหนดพหุนาม(x) พหุนามนี้เป็นเหมือนการแม่นยำเพราะเรากำลังทำงานในฟิลด์ จำกัด จากนั้นความแตกต่างของสามารถถูกนำมาใช้เพื่อค้นหารากของสมการที่กำหนด (โดยใช้อัลกอริทึม Berlekamp หรือ Cantor – Zassenhaus) และรากอ่านปัจจัย อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ยิ่งแย่กว่าการค้นหาแบบละเอียดถี่ถ้วน: เนื่องจากโดยเฉลี่ยการผ่านพหุนามด้วยจุดที่กำหนดจะมี $r^x$ $\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}$ $f(x)$ $r^{x}$ $p(x) - f(x)$ $n$ $n$ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นโมฆะแม้เพียงอินพุตสำหรับการแก้ไข Lagrange จะต้องใช้พื้นที่ชี้แจงในขนาดบิตฟิลด์

ไม่มีใครรู้ว่าปัญหานี้เชื่อว่าเป็นปัญหาระดับกลางเช่นกันหรือเป็นของชั้นความซับซ้อนอื่น ๆ ? การอ้างอิงจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก ขอบคุณ

— Massimo Cafaro
แหล่งที่มา

ขออภัยฉันหมายถึงเชื่อว่าเป็นปัญหาระดับกลาง ฉันกำลังแก้ไขคำถามเพื่อสะท้อนถึงสิ่งนี้

— Massimo Cafaro

ฉันชอบ "การหาคำตอบของสมการ " แต่แน่นอนว่าการหาค่ารากของ "หรือดีกว่ารากของ "โดยที่คือพหุนามที่พบโดยการแก้ไข Lagrange ตามที่กล่าวในคำถามควรจะเทียบเท่า

p (x) = r^{x}

$p(x)=r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) -r^x$

p (x) - f (x)

$p(x) - f(x)$

f (x)

$f(x)$

— Massimo Cafaro

ลอการิทึมไม่ต่อเนื่องเป็นกรณีพิเศษของเรื่องนี้หรือไม่ อย่างน้อยมันก็ยากพอ ๆ กับรากที่ไม่ต่อเนื่องและเห็นได้ชัดใน NP หากคุณเชื่อว่าบันทึกที่ไม่ต่อเนื่องคือ NPI นี่ก็เป็นบันทึกเช่นกัน คุณอาจต้องการถามว่ามีอัลกอริทึมควอนตัมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหานี้หรือไม่

— Kaveh

@Kaveh: มันถูกกล่าวถึงในคำถามที่บันทึกไม่ต่อเนื่องเป็นกรณีพิเศษ ปัญหานี้อาจจะยากขึ้น (ปัญหา NP-complete) แต่ฉันคิดว่ามันเหมือนกัน แต่คุณคิดถูกว่าการค้นหาอัลกอริธึมแบบพหุนามนั้นค่อนข้างสิ้นหวัง

— domotorp

crossposted: mathoverflow.net/questions/154721/…

— domotorp

-5

จะถูกแทงที่ตอบคำถามนี้ ไม่มีการอ้างถึงในคำถาม แต่ได้รับตัวย่อ "EPRP" ราวกับว่ามีมากกว่าหนึ่งคนได้ทำการศึกษา ไม่มีใครรู้ว่าเป็นกรณีนี้? MC ผู้ถามดูเหมือนจะมี bkg อย่างมีนัยสำคัญในพื้นที่นี้ แต่มันจะช่วยให้มีรายชื่อผู้อ้างอิง "ใกล้เคียง" บางคนที่รู้จัก / ตรวจสอบเพื่อทำความเข้าใจว่าทำไมพวกเขาถึงมีช่องว่างบางอย่างที่ไม่ได้

มันมักจะช่วยในการค้นหา "ผู้อ้างอิงที่ใกล้ที่สุดที่มีอยู่" และกำหนดว่าปัญหาจะแตกต่างหรือคล้ายกันอย่างไร นี่คือการอ้างอิงที่ครอบคลุมที่ดูเหมือนว่าจะพิจารณาปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด คิดว่าผู้ถาม MC ควรพยายามค้นหากรณีที่ใกล้ที่สุดของปัญหาในการอ้างอิงนี้หรืออาจเป็นกรณีอื่นแล้วชี้ให้เห็นว่ากรณีนี้ถามเกี่ยวกับกรณีนี้แตกต่างจากกรณีปัญหาทั่วไปที่ระบุไว้ในการอ้างอิง การอ้างอิงมีรายการอ้างอิงที่เกี่ยวข้องจำนวนมากเพื่อตรวจสอบปัญหาที่เกี่ยวข้อง / ใกล้เคียง เขาพิจารณาความซับซ้อนของปัญหาและให้อัลกอริทึม P-time ที่มีประสิทธิภาพสำหรับกรณีต่างๆ

ในการแก้ไขอุปกรณ์ POLYNOMIAL ที่เป็นเอกเทศผ่านสนาม จำกัด และปัญหาที่เกี่ยวข้องบางอย่าง Tsz Wo Sze, ดุษฎีบัณฑิต, 2550

... เรานำเสนออัลกอริทึมพหุนามเวลาที่กำหนดเพื่อแก้สมการพหุนามในบางครอบครัวของเขตข้อมูล จำกัด โปรดทราบว่าสมการพหุนามเป็นโครงสร้างที่ทรงพลัง ปัญหามากมายสามารถกำหนดเป็นสมการพหุนาม

— vzn
แหล่งที่มา

"คำตอบ" นี้ควรเป็นความคิดเห็นพร้อมลิงค์ไปยังวิทยานิพนธ์

— Sasho Nikolov

@ vzn อัลกอริทึมหลัก (berlekamp, Cantor-Zassenhaus และการแก้ไข Lagrange) ได้ถูกอ้างถึงในคำถามของฉันและคุณสามารถค้นหาเนื้อหาที่เกี่ยวข้องมากมายที่ค้นหาบนเว็บได้อย่างง่ายดาย ฉันสามารถเพิ่มอัลกอริทึม Shoup ได้ที่นี่ แต่ฉันไม่สามารถเพิ่มการอ้างอิงเดียวที่ปัญหานี้ได้รับการสอบสวน ตัวย่อ "EPRP" เป็นเพียงวิธีการอ้างอิงถึงปัญหาคุณจะไม่พบมันในวรรณคดี อย่างไรก็ตามฉันได้ตรวจสอบการอ้างอิงที่คุณให้มา แต่ปัญหาที่ศึกษามานั้นง่ายเกินไปและตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ทำให้เข้าใจได้ง่ายว่าน่าเสียดายที่ไม่ได้ใช้ในกรณีของฉัน

— Massimo Cafaro

นอกจากนี้ปัญหาที่ศึกษาในปริญญาเอก วิทยานิพนธ์ไม่ใช่ "ทั่วไป": เป็นปัญหาเฉพาะด้วยการทำให้สมมติฐานง่ายขึ้นซึ่งทำให้พวกมันง่าย งานที่น่าสนใจและแข็งแกร่งมาก แต่ถ้าดร. Tsz Wo Sze แก้ไข EPRP ด้วยอัลกอริทึมเวลาพหุนามเขาอาจได้รับรางวัลเหรียญฟิลด์โดยตอนนี้ ;-)

— Massimo Cafaro

การอ้างอิงที่คุณระบุไม่ได้ช่วย ฉันตรวจสอบทุกอย่างที่ฉันสามารถเข้าถึงได้ แต่ไม่มีโชค ดูเหมือนว่าปัญหานี้ยังไม่ได้รับการตรวจสอบ นี่คือเหตุผลที่ฉันถามเกี่ยวกับ: ฉันต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีผลลัพธ์ที่มีหรือถ้าผลลัพธ์เดียวได้รับการเผยแพร่ฉันต้องรู้เกี่ยวกับ พหุนามมี univariate ในxสุดท้ายจำนวนรากดั้งเดิมอยู่ตรงพี)

x

$x$

ϕ (ϕ (q))

$\phi(\phi(q))$

— Massimo Cafaro

@VZN: เฮ้เพื่อนทำไมคุณหมุนรอบเว็บไซต์นี้อย่างต่อเนื่อง? มันจะเป็นเรื่องตลก เห็นได้ชัดว่าคุณเป็นวิทยาการคอมพิวเตอร์ (คุณไม่ได้ใช้ตัวตนที่แท้จริงของคุณเหมือนนักวิทยาศาสตร์ตัวจริงอื่น ๆ ที่นี่เช่น Shor and Growchow, ฯลฯ

— William Hird