มีภาษาต้นไม้ทั่วไปหรือไม่ที่ความสูงเฉลี่ยของต้นไม้ที่มีขนาด

เรากำหนดภาษาต้นไม้ตามปกติในหนังสือTATA : เป็นชุดของต้นไม้ที่ได้รับการยอมรับจากหุ่นยนต์ต้นไม้ จำกัด (บทที่ 1) หรือชุดของต้นไม้ที่สร้างโดยไวยากรณ์ต้นไม้ปกติ (บทที่ 2) พิธีการทั้งสองมีความคล้ายคลึงกันอย่างใกล้ชิดกับ analogues สตริงที่รู้จักกันดี

มีภาษาต้นไม้ทั่วไปหรือไม่ที่ความสูงเฉลี่ยของต้นไม้ที่มีขนาด $n$ ไม่ใช่ $\Theta(n)$ หรือ $\Theta(\sqrt{n})$ ?

เห็นได้ชัดว่ามีภาษาต้นไม้ที่ความสูงของต้นไม้นั้นเป็นเส้นตรงตามขนาดของมัน และในหนังสือAnalytic Combinatoricsนั้นแสดงว่าต้นไม้ไบนารีขนาดมีความสูงเฉลี่ย $n$ nหากฉันเข้าใจข้อเสนอ VII.16 (หน้า. 537) ของหนังสือที่กล่าวถึงอย่างถูกต้องแสดงว่ามีภาษาย่อยของภาษาต้นไม้ทั่วไปที่มีความสูงเฉลี่ย $2\sqrt{ \pi n}$ คือภาษาที่มีต้นไม้เป็นต้นไม้ที่เรียบง่ายหลากหลายที่สามารถเติมเต็มเงื่อนไขพิเศษได้ $\Theta(\sqrt{n})$

ดังนั้นฉันสงสัยว่ามีภาษาต้นไม้ปกติแสดงความสูงเฉลี่ยที่แตกต่างกันหรือว่ามีขั้วสองขั้วที่แท้จริงสำหรับภาษาต้นไม้ปกติ

หมายเหตุ: คำถามนี้ถูกถามมาก่อนในวิทยาการคอมพิวเตอร์แต่มันยังไม่ได้ตอบมานานกว่าสามเดือน ฉันต้องการที่จะโพสต์ไว้ที่นี่อีกครั้งเพราะคำถามเก่าเกินไปที่จะย้ายและเนื่องจากยังมีความสนใจในคำถาม นี่คือลิงค์ไปยังโพสต์ต้นฉบับ

— john_leo
แหล่งที่มา

ต้นไม้ต้นเดียวที่มีความลึกคงที่คือคำตอบที่ชัดเจน: o (\ sqrt {n}) แต่ไม่ใช่

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$

คุณมีต้นไม้ชนิดใดในใจ ต้นไม้อันดับ, ต้นไม้ที่พี่น้องสั่งไม่ได้จัดอันดับ, ต้นไม้ที่ไม่ได้จัดลำดับ และโดยวิธีใดต้นไม้ออโตมาตาแบบใดที่คุณหมายถึงจากล่างขึ้นบนหรือล่าง

— fh

n

$n$

n

$n$

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

ฉันเชื่อว่าคำตอบคือตามที่คุณแนะนำว่าไม่มี asymptotics อื่นนอกจาก ,และเป็นไปได้ เส้นทางที่มีแนวโน้มว่าจะพิสูจน์ได้คือการใช้เทคนิคต่าง ๆ จากกระดาษซึ่งได้มาจาก asymptoticsกับต้นไม้วิ่งของภาษาปกติ ขอให้สังเกตว่าต้นไม้ได้รับการยอมรับหากมีต้นไม้ที่ถูกเรียกใช้ดังนั้นมันควรจะเป็นไปได้ที่จะได้รับครั้งแรก (โดยใช้loc.cit. ) ความสูงเฉลี่ยของต้นไม้ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มและนำมาจากที่นั่นนั่นแสดงว่า ไม่เปลี่ยนความสูงเฉลี่ย $\Theta(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

— Martin Hofmann
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านี่เป็นความคิดเห็นและไม่ใช่คำตอบเพราะมันยังห่างไกลจากความพยายามนี้

— แดนนี่