ปัญหาเส้นทางยาวที่สุดง่ายกว่าปัญหาเส้นทางยาวที่สุดหรือไม่

ปัญหาเส้นทางที่ยาวที่สุดคือ NP-hard หลักฐาน (ทั่วไป?) อาศัยการลดปัญหาเส้นทางมิลโตเนียน (ซึ่งเป็นปัญหาที่สมบูรณ์) โปรดทราบว่าที่นี่เส้นทางจะได้รับการ (โหนด -) ง่าย นั่นคือจุดสุดยอดไม่สามารถเกิดขึ้นได้มากกว่าหนึ่งครั้งในเส้นทาง เห็นได้ชัดว่ามันจึงเป็นเรื่องง่ายที่ขอบ (ไม่มีขอบเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งในเส้นทาง)

แล้วถ้าเราทิ้งข้อกำหนดในการหาเส้นทางแบบง่าย ๆ (โหนด -) และติดกับการค้นหาเส้นทางแบบขอบง่ายๆ เมื่อมองดูตั้งแต่แรกการค้นหาเส้นทาง Eulerian นั้นง่ายกว่าการค้นหาเส้นทาง Hamiltonian บางคนอาจมีความหวังว่าการค้นหาเส้นทางที่ยาวที่สุดจะง่ายกว่าการค้นหาเส้นทางที่ยาวที่สุด อย่างไรก็ตามฉันไม่พบการอ้างอิงใด ๆ ที่พิสูจน์สิ่งนี้นับประสาที่มีอัลกอริทึม

โปรดทราบว่าฉันตระหนักถึงข้อโต้แย้งที่เกิดขึ้นที่นี่: /programming/8368547/how-to-find-the-longest-heaviest-trail-in-an-undirected-weighted-graph อย่างไรก็ตามอาร์กิวเมนต์ ดูเหมือนว่ามีข้อบกพร่องในรูปแบบปัจจุบันเนื่องจากแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถแก้ปัญหากรณีขอบง่าย ๆ ได้โดยแก้ไขกรณีโหนดง่าย ๆ บนกราฟอื่น (ดังนั้นการลดลงจึงเป็นวิธีที่ผิด) ไม่ชัดเจนว่าการลดสามารถเปลี่ยนไปทำงานได้อย่างง่ายดายเช่นกัน (ถึงกระนั้นก็แสดงให้เห็นว่าอย่างน้อยที่สุดปัญหาเส้นทางที่ยาวที่สุดไม่ได้ยากกว่าปัญหาเส้นทางที่ยาวที่สุด)

ดังนั้นมีผลลัพธ์ใด ๆ ที่รู้จักกันในการค้นหาเส้นทางที่ยาวที่สุด ความซับซ้อน (คลาส) อัลกอริทึม (มีประสิทธิภาพ) หรือไม่

graph-theory graph-algorithms hamiltonian-paths

— นิล
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่ปัญหาเดียวกัน แต่ลองดูปัญหาขั้นต่ำของส่วนขยาย Euilerian ซึ่งค่อนข้างคล้ายกัน

— RB

บางทีฉันอาจไม่เข้าใจคำถาม แต่เส้นทาง Hamiltonian นั้นเป็นปัญหา NP-complete แม้ในลูกบาศก์กราฟเนื่องจากการสำรวจเส้นทางของโหนดต้องใช้สองขอบจึงไม่มีวิธีที่จะนำโหนดกลับมาใช้ซ้ำสองครั้งแม้ว่าเราจะผ่อนคลายเงื่อนไขจากโหนดง่าย ๆ เส้นทางไปยังเส้นทางที่เรียบง่าย ดังนั้นปัญหาเส้นทางแฮมิลตันจึงยังคงสมบูรณ์อยู่

— Marzio De Biasi

@ Bangye: ตกลง แต่เป็นลูกบาศก์กราฟถ้าโหนดถูก traversed ครั้งเดียวจะต้องใช้ 2 edge ... และโหนดนั้นไม่สามารถ traversed ได้อีก (เพราะมี edge ที่ไม่มีการสำรวจเพียงอันเดียว) ดังนั้นในลูกบาศก์กราฟโหนดไม่สามารถ "ทำซ้ำ" (ยกเว้นขอบสุดท้ายของเส้นทางที่สามารถเกิดขึ้นกับโหนดที่ถูกข้ามไปแล้ว)

— Marzio De Biasi

นี่คือการอ้างอิง: AA Bertossi, ปัญหาเส้นทางฮามิลตันเอียนคือปัญหา NP-complete, กระบวนการสารสนเทศจดหมาย, 13 (1981) 157-159

— Lamine

@Lamine: ขอบคุณสำหรับการชี้แจง ฉันไม่คิดว่าคุณจะต้องลบความคิดเห็นของคุณเพราะมันจะเป็นธรรมชาติมากที่จะเกิดขึ้นกับความคิดที่คล้ายกันก่อนและการเห็นว่ามันใช้งานไม่ได้มีประโยชน์จริงๆ

— Yota Otachi

จากความคิดเห็นข้างต้น: ปัญหาวัฏจักรของแฮมิลโตเนียนยังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แม้กระทั่งในกราฟกริดที่มีองศาสูงสุด 3 [1] แต่ในกราฟเหล่านี้การสำรวจเส้นทางของโหนดทุกโหนดต้องใช้สองขอบและไม่เกินหนึ่งขอบ ลัดวงจรสองครั้งโดยเส้นทาง Eulerian

เห็นได้ชัดว่ามีการลดลงอย่างรวดเร็วจากปัญหาวัฏจักรแฮมิลตันกับปัญหาของคุณ: กำหนดกราฟกริดที่มีองศาสูงสุด 3 เพียงแค่ขอเส้นทางของความยาว. $G = (V,E)$ $|V|$

$u$ $V' = V \cup \{u',u''\}$ $E = E \cup \{(u,u'), (u,u'')\}$ : ไม่เป็นทางการเพิ่มกองกำลังขอบจะเป็นจุดสิ้นสุดของเส้นทาง $|V'| = |V|+2$ $u',u''$

[1] Christos H Papadimitriou, Umesh V Vazirani, ในสองปัญหาเชิงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับปัญหาพนักงานขายที่เดินทาง, วารสารอัลกอริทึม, เล่ม 5, ฉบับที่ 2, มิถุนายน 2527, หน้า 231-246, ISSN 0196-6774

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ฉันมีปัญหาเล็กน้อยในการแต่งงานเช่นนี้รวมถึงความคิดเห็นอื่น ๆ เพื่อความสะดวกในการค้นหาเส้นทางของออยเลอร์ หรือเป็นจุดสำคัญที่ (ติดกับตัวอย่างของคุณ) ตัดสินใจหรือไม่มีทาง "Eulerian" ของความยาว

จะง่ายกว่าการตัดสินใจหรือไม่ที่มีร่องรอยของความยาว

? นี่คงจะแปลกใจสำหรับฉันอย่างแน่นอน แต่ก็น่าสนใจอย่างแน่นอน

| E |

$|E|$

| V |

$|V|$

— แจสเปอร์

ในกราฟลูกบาศก์คุณมั่นใจว่าไม่มีเส้นทางยาว

แน่นอนว่าทุกขอบมีระดับคี่ 3 (

| E |

$|E|$

O (1)

$O(1)$

| V |

$|V|$

u^{'}, u^{″}

$u',u''$

— Marzio De Biasi