ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดที่มีคุณลักษณะที่ดี แต่ไม่มีอัลกอริทึมแบบพหุนาม

23

พิจารณาปัญหาการปรับให้เหมาะสมของแบบฟอร์มต่อไปนี้ ให้เป็นฟังก์ชันที่คำนวณได้แบบพหุนามเวลาที่จับคู่สตริงเป็นจำนวนตรรกยะ ปัญหาการปรับให้เหมาะสมคือ: ค่าสูงสุดของบนบิตสตริงคืออะไร? $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

ให้เราบอกว่าปัญหาดังกล่าวมีลักษณะ Minimaxถ้ามีเป็นอีกหนึ่งฟังก์ชั่นคำนวณพหุนามเวลาเช่นว่า ถือ ที่นี่วิ่งข้ามสตริงบิตทั้งหมดและวิ่งข้ามสตริงบิตทั้งหมด และอาจแตกต่างกัน แต่มีความเกี่ยวข้องกับพหุนาม $g$

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมตามธรรมชาติและที่สำคัญหลายอย่างมีลักษณะการย่อขนาดเล็กสุด ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ (ทฤษฎีบทที่มีการแสดงลักษณะเฉพาะนั้นแสดงอยู่ในวงเล็บ):

การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LP คู่ Thm) สูงสุดไหล (สูงสุดไหล Min ตัด Thm), แม็กซ์สองฝ่ายจับคู่ (Konig ฮอลล์ Thm), แม็กซ์ไม่ฝ่ายจับคู่ (Tutte ของ Thm สูตร Tutte-แบร์ก), แม็กซ์ Disjoint Arborescences ในกราฟกำกับ ( Edmond's Disjoint Branching Thm), Max Spanning Tree บรรจุในกราฟแบบไม่ระบุทิศทาง (Thm ของต้นไม้บรรจุ Tutte), Min ครอบคลุมโดย Forests (Nash-Williams Thm), Max Directed Cut packing (Lucchesi-Younger Thm), Max 2- Matroid Intersection Thm), Max Disjoint Paths (Menger's Thm), Max Antichain ใน Seted Partially Ordered (Dilworth Thm) และอื่น ๆ อีกมากมาย

ในตัวอย่างทั้งหมดเหล่านี้อัลกอริทึมเวลาพหุนามยังมีให้เพื่อค้นหาสิ่งที่ดีที่สุด คำถามของฉัน:

มีปัญหาการปรับให้เหมาะสมกับการจำแนกลักษณะของมินิแมกซ์ซึ่งยังไม่พบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนาม

หมายเหตุ: การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอยู่ในสถานะนี้ประมาณ 30 ปี!

— Andras Farago
แหล่งที่มา

22

ในบางความรู้สึกด้านเทคนิคที่คุณจะถามว่าcoNP สมมติว่าดังนั้นจึงมีโพลี - เวลาและดังนั้น iffและ iffy) สิ่งนี้สามารถแต่งใหม่เป็นลักษณะ minmax โดย ถ้าและมิฉะนั้น; ถ้าและ อย่างอื่น ตอนนี้แน่นอนเรามี(y) $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

ดังนั้นในแง่นี้ปัญหาใด ๆ ที่ทราบว่าอยู่ในแต่ไม่ทราบว่าอยู่ในสามารถเปลี่ยนเป็นคำตอบสำหรับคำถามของคุณได้ เช่นแฟ (พูด, รุ่นการตัดสินใจของว่า 'บิตของปัจจัยที่ใหญ่ที่สุดเป็นลำดับที่ 1) $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— โนม
แหล่งที่มา

9

ฉันรู้สึกว่าบางคนถึงกับใช้เป็นนิยามของคำว่า "ตัวละครที่ดี"

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— Joshua Grochow

และสำหรับรายการปัญหาดังกล่าวให้ดูmathoverflow.net/questions/31821/…

— Rahul

14

Seymour และ Thomasแสดงให้เห็นถึงลักษณะขั้นต่ำของความกังวล กระนั้นความกว้างของต้นไม้คือ NP-hard อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่ลักษณะเฉพาะที่คุณต้องการเนื่องจากฟังก์ชันคู่ไม่ใช่ฟังก์ชันที่คำนวณเวลาแบบพหุนามของใบรับรองสั้น ๆ นี่เป็นเรื่องที่หลีกเลี่ยงไม่ได้สำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นโดยสมบูรณ์เพราะไม่เช่นนั้นเราจะมีปัญหาที่สมบูรณ์แบบใน coNP ซึ่งหมายถึงการยุบ NP = coNP และฉันจะพิจารณาว่าค่อนข้างน่าตกใจ $g$

treewidthของกราฟมีค่าเท่ากับความกว้างที่เล็กที่สุดมีขนาดเล็กที่สุดของการสลายตัวของต้นไม้Gการสลายตัวของต้นไม้ของกราฟเป็นต้นไม้เช่นนั้นจุดสุดยอดของแต่ละจุดจะถูกระบุด้วยชุดของจุดยอดของด้วยคุณสมบัติ: $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

สำหรับ , 1 $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
สหภาพของทุกเป็นชุดจุดสุดยอดของG $S(x)$ $G$
สำหรับทุก , กราฟย่อยของเกิดจากทั้งหมดที่เชื่อมต่อ $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
ทุกขอบเป็นส่วนหนึ่งของบางสำหรับ(T) $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

สมเด็จพระราชินีเจนซีมัวร์และโธมัสแสดงให้เห็นว่าการทวีคูณเท่ากับจำนวน Brambleของ : สูงสุดดังกล่าวที่มีการรวบรวม subgraphs ที่เชื่อมต่อของดังนั้น: $G$ $k$ $G$

แต่ละกราฟย่อยสองอันกำลังตัดกันหรือเชื่อมต่อกันด้วยขอบ
ไม่มีชุดจุดยอดของกระทบกับกราฟย่อยทั้งหมด $k$ $G$

การรวบรวม subgraphs ดังกล่าวเรียกว่าหนามของคำสั่ง $k$

ขอให้สังเกตว่า "หมายเลข bramble คืออย่างน้อย " เป็นคำสั่งโดยที่ทั้งสองตัวนับมากกว่าชุดใหญ่ชี้แจง ดังนั้นจึงไม่แนะนำให้ง่ายต่อการตรวจสอบใบรับรอง (และถ้ามีหนึ่งที่จะเป็นข่าวใหญ่จริง ๆ ตามที่ฉันกล่าวข้างต้น) ในการทำให้สิ่งต่าง ๆ แย่ลงGrohe และมาร์กซ์แสดงให้เห็นว่าทุก ๆมีกราฟของ treewidthที่มีคำสั่งอย่างน้อยต้องประกอบด้วยกราฟย่อยจำนวนมาก พวกเขายังแสดงให้เห็นว่ามี Brambles ของคำสั่งขนาดพหุนาม $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

1

ขอบคุณมันเป็นตัวอย่างที่ดีมากแม้ว่ามันจะไม่ได้อยู่ในหมวดหมู่ที่ฉันกำลังมองหา เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าทฤษฎีบท min-max เกี่ยวกับ treewidth นี้ถูกตีพิมพ์ในปี 1993 และในเวลานั้น NP-ครบถ้วนสมบูรณ์ของ treewidth เป็นที่รู้จักกันแล้ว ดังนั้นผลลัพธ์อาจใช้เป็นเหตุผลในการคาดเดา NP = coNP ในขณะที่ขอบเขตล่างของเลขชี้กำลังบนขนาดหนามนั้นถูกตัดสิทธิ์โดยไม่มีกำหนดสำหรับบทบาทนั้นขอบเขตล่างนี้เผยแพร่เพียง 16 ปีต่อมา

— Andras Farago

Andras ในเวลานั้นยังเป็นที่รู้จักกันว่าการกดปุ่มเซตนั้นเป็นปัญหาแบบ NP-hard โดยทั่วไป (มันเป็นหนึ่งใน 21 ปัญหาของ Karp) ดังนั้นแม้จะมีขนาดของพหุนามพหุนามการคำนวณลำดับนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเว้นแต่ว่าคุณจะสามารถใช้โครงสร้างของบรัมเบิลได้ ถึงกระนั้นก็เป็นที่น่าสนใจว่าขนาดของพุ่มไม้ที่ไม่ได้ตรวจสอบก่อนหน้านี้

— Sasho Nikolov

13

เกมพาริตี้, เกม Mean-payoff, เกมลดราคาและเกม Stochastic ทั่วไปอยู่ในหมวดหมู่นี้

พวกเขาทั้งหมดเป็นเกมที่ไม่มีผู้เล่นสองคนรวมกันเป็นศูนย์ที่เล่นบนกราฟซึ่งผู้เล่นสามารถควบคุมจุดยอดและเลือกตำแหน่งที่โทเค็นควรจะไปต่อไป ทุกคนมีความสมดุลในกลยุทธ์ตำแหน่งไร้ความจำหมายความว่าผู้เล่นแต่ละคนเลือกขอบที่แต่ละตัวเลือกจุดสุดยอดอย่างเด็ดขาดและไม่คำนึงถึงประวัติของการเล่น ด้วยกลยุทธ์ของผู้เล่นหนึ่งคนการตอบสนองที่ดีที่สุดของผู้เล่นคนอื่นสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามและความสัมพันธ์ขั้นต่ำสุดที่คุณต้องการสำหรับ "คุณค่า" ของเกม

ตัวแปรการตัดสินใจตามธรรมชาติของปัญหาเหล่านี้อยู่ใน NP และ co-NP (แน่นอน UP และ co-UP) และปัญหาการทำงานเพื่อหาสมดุลวางอยู่ใน PLS และ PPAD

อัลกอริธึมที่มีเวลาทำงานที่รู้จักกันดีที่สุดคือเลขชี้กำลังย่อย แต่เป็นพหุนามขั้นสูง (เช่นโดยที่คือจำนวนจุดยอดในกราฟของเกม) $O(n^\sqrt{n})$ $n$

ดูเช่น

David S. Johnson 2007. คอลัมน์ความสมบูรณ์แบบ NP: การค้นหาเข็มในกองหญ้า ACM Trans อัลกอริทึม 3, 2, ข้อ 24 (พฤษภาคม 2550) DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— ราหุลซาวานี
แหล่งที่มา