ปัญหาที่ง่ายในกราฟที่ไม่มีการถ่วงน้ำหนัก แต่ยากสำหรับกราฟถ่วงน้ำหนัก

ปัญหากราฟอัลกอริทึมหลายอย่างสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามทั้งในกราฟที่ไม่มีน้ำหนักและน้ำหนัก ตัวอย่างบางส่วนคือเส้นทางที่สั้นที่สุด, min spanning tree, เส้นทางที่ยาวที่สุด (ในกราฟ acyclic กำกับ), การไหลสูงสุด, การตัดต่ำสุด, การจับคู่สูงสุด, การจับจุดสูงสุดที่เหมาะสม, ปัญหา subgraph ที่หนาแน่นที่สุด, การตัดชี้นำสูงสุด ตั้งค่าในคลาสกราฟที่แน่นอน, ปัญหาพา ธ ไม่เข้าร่วมสูงสุด, ฯลฯ

อย่างไรก็ตามมีปัญหาบางอย่าง (แม้ว่าอาจมีความหมายน้อยกว่า) ที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในกรณีที่ไม่ได้ถ่วงแต่กลายเป็นปัญหาหนัก (หรือมีสถานะเปิด) ในกรณีที่มีน้ำหนัก นี่คือสองตัวอย่าง:

1. รับกราฟที่สมบูรณ์แบบ -vertex และเลขจำนวนเต็มค้นหากราฟย่อยที่เชื่อมต่อด้วยซึ่งมีจำนวนขอบน้อยที่สุด นี่คือการแก้ไขในเวลาพหุนามใช้ทฤษฎีบทของ F. Harary ซึ่งบอกโครงสร้างของกราฟที่ดีที่สุด ในทางตรงกันข้ามถ้าขอบมีน้ำหนักแล้วหาน้ำหนักขั้นต่ำเชื่อมต่อ subgraph ครอบคลุมคือฮาร์ดk ≥ 1 k k N $n$$k\geq 1$$k$$k$$NP$

2. รายงานล่าสุด (ธ.ค. 2012) ของ S. Chechik, MP Johnson, M. Parter และ D. Peleg (ดู http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) พิจารณาสิ่งต่าง ๆ ปัญหาเส้นทางที่พวกเขา เรียกเส้นทางเปิดรับแสงขั้นต่ำ ที่นี่หนึ่งมองหาเส้นทางระหว่างสองโหนดที่ระบุเช่นนั้นจำนวนโหนดบนเส้นทางรวมทั้งจำนวนโหนดที่มีเพื่อนบ้านบนเส้นทางเป็นขั้นต่ำ พวกเขาพิสูจน์ว่าในกราฟระดับขอบเขตนี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับกรณีที่ไม่ได้ถ่วง แต่กลายเป็นฮาร์ดในกรณีที่ถ่วงน้ำหนักแม้จะมีการ จำกัด ขอบเขต 4 (หมายเหตุ: การอ้างอิงพบว่าเป็นคำตอบสำหรับคำถามคืออะไร ความซับซ้อนของปัญหาเส้นทางนี้หรือไม่? )$NP$

อะไรคือปัญหาที่น่าสนใจอื่น ๆ ในลักษณะนี้นั่นคือเมื่อเปลี่ยนเป็นเวอร์ชั่นที่ถ่วงน้ำหนักจะทำให้เกิด "การกระโดดซับซ้อน"

ในโลกแห่งอัลกอริธึมการประมาณมีปัญหาจุดสุดยอดความจุ ได้รับและความจุจำนวนเต็มค( วี)สำหรับแต่ละวี∈ Vเป้าหมายคือการหาจุดสุดยอดขั้นต่ำปกขนาดสำหรับGที่จำนวนขอบที่ครอบคลุมโดยโวลต์ที่มากที่สุดค( วี ) ปัญหานี้มีการประมาณปัจจัยคงที่ในกรณีที่ไม่มีน้ำหนัก (นั่นคือเราต้องการลดขนาดของฝาครอบจุดยอด) ในขณะที่มันเป็นΩ ( log n ) -ฮาร์ด (ยกเว้น$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$ ) ในกล่องน้ำหนัก (แต่ละจุดยอดมีน้ำหนัก w ( v )และเราต้องการลดน้ำหนักของฝาครอบ)$P = NP$$w(v)$

ตัวอย่างที่ฉันชอบคือปัญหาการครอบงำโดยอิสระ (กราฟและเลขจำนวนเต็มk , Gมีชุดรวมอิสระสูงสุดที่จุดยอดkสูงสุดหรือไม่) จากผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมเนื่องจาก Martin Farber ( ดูที่นี่ ) เวอร์ชันที่ไม่ถ่วงน้ำหนักสามารถแก้ไขได้แบบ polynomially ในกราฟ chordal เจอราร์ดช้างพิสูจน์ว่ารุ่นถ่วงน้ำหนักคือ NP-complete สำหรับกราฟเสียงประสาน ( ดูที่นี่ )$G$$k$$G$$k$

ปัญหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองส่วนอยู่ในในขณะที่แน่นอนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบน้ำหนักของฝ่ายกราฟN Pสมบูรณ์$P$$NP$

ติดตามคำตอบโมฮัมหมัดอัล Turkistany ก็ดูเหมือนว่าหลายของพหุนามเวลาปัญหาชั่งแก้ปัญหาอาจจะกลายสมบูรณ์ในกรณีที่ถ่วงน้ำหนักถ้าเราถามว่ามีวิธีที่มีว่าน้ำหนักที่กำหนด เหตุผลคือสิ่งนี้อาจช่วยให้การเข้ารหัสปัญหาผลรวมย่อยลงในงานที่พิจารณา$NP$

ตัวอย่างเช่นในกรณีของการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบน้ำหนักที่แน่นอนเราสามารถนำกราฟ bipartite ที่สมบูรณ์มาเป็นอินพุตเพื่อกำหนดน้ำหนักให้กับขอบของการจับคู่ที่เฉพาะเจาะจงและน้ำหนัก 0 กับขอบอื่น ๆ ทั้งหมด มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่านี้กราฟถ่วงน้ำหนักมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของน้ำหนักว่าและถ้าหากมีเป็นส่วนหนึ่งของน้ำหนักที่จำนวนเงินตรงกับW (หากมีส่วนย่อยเช่นนั้นเราสามารถนำขอบที่สอดคล้องกันจากการจับคู่คงที่และขยายไปยังการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบด้วยขอบ 0 น้ำหนักโดยใช้ว่ามันเป็นกราฟสองฝ่ายสมบูรณ์) ฉันคิดว่าเป็นเคล็ดลับง่ายๆที่คล้ายกัน อาจทำงานได้กับปัญหาอื่น ๆ อีกจำนวนหนึ่งเช่นกัน$W$$W$

กราฟบาลานซ์ (หรือที่เรียกว่าการวางแนว Min Out-degree) เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์นี้ ในปัญหานี้เราจะได้กราฟน้ำหนักแบบไร้ขอบ เป้าหมายคือการปรับขอบเพื่อให้ระดับสูงสุดของการขุดออก (น้ำหนัก) ที่เกิดขึ้นนั้นลดลง

ปัญหานี้เกิดจากแรงจูงใจจากสถานการณ์การตั้งเวลา ลองนึกภาพว่าแต่ละจุดสุดยอดเป็นโปรเซสเซอร์และแต่ละขอบเป็นงานที่ได้รับอนุญาตให้ทำงานบนหนึ่งในสองจุดสิ้นสุดของมัน น้ำหนักของขอบคือความยาวของงานที่สอดคล้องกันและเป้าหมายคือเพื่อทำให้แผ่นพับลดลง

ปัญหาคือ NP-hard และ APX-hard แม้ว่าน้ำหนักทั้งหมดจะเป็น 1 หรือ 2 (ดู Ebenlendr et al. "การปรับสมดุลของกราฟ: กรณีพิเศษของการจัดตารางเวลาเครื่องจักรแบบขนานที่ไม่เกี่ยวข้อง" ใน SODA 2008) อย่างไรก็ตามมันอยู่ใน P สำหรับกราฟที่ไม่ถ่วง (ดู Asahiro et al. "คลาสกราฟและความซับซ้อนของการวางแนวกราฟเพื่อลดการลดลงของค่าน้ำหนักเกินขอบเขตสูงสุด" ใน CATS 2008)

บางทีนี่อาจเป็นเพียงตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ และคุณอาจคิดว่ามันเป็นกรณีที่เลวร้ายลง แต่ตัวอย่างแรกที่มาถึงใจของฉันคือปัญหาพนักงานขายนักท่องเที่ยว (ซึ่งมักจะคิดว่ากราฟเสร็จสมบูรณ์) โปรดทราบว่าเวอร์ชันที่ไม่มีการถ่วงน้ำหนักคือ Hamiltonian Cycle ซึ่งเป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับกราฟที่สมบูรณ์

การค้นหาเส้นทางต้นทุนต่ำสุดภายใต้ข้อ จำกัด การหน่วงเวลา (aka ปัญหาเส้นทางลัดที่สั้นที่สุด) ดูเหมือนจะพอดีกับที่นี่

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

หากปัญหามีการถ่วงน้ำหนักมันจะกลายเป็นเส้นทางลัดที่สั้นที่สุดซึ่งเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์แม้ใน DAGs

ปัญหาการตัดสูงสุดในท้องถิ่นด้วยย่าน FLIP คือ PLS-complete ในกราฟจำนวนเต็มทั่วไป

AA Schaeffer และ M. Yannakakis (1991) ปัญหาการค้นหาในท้องถิ่นอย่างง่าย ๆ ที่แก้ไขได้ยาก วารสารสยามคอมพิวเตอร์, 20 (1): 56-87

อย่างไรก็ตามหากน้ำหนักที่ใหญ่ที่สุดคือพหุนามในขนาดของกราฟการปรับปรุงศักยภาพของท้องถิ่น (น้ำหนักของการตัด) จะมาบรรจบกันในเวลาพหุนามเนื่องจากการปรับปรุงแต่ละครั้งจะเพิ่มฟังก์ชันที่มีศักยภาพอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันที่มีศักยภาพ ถูก จำกัด ขอบเขตแบบพหุนาม (ด้วยน้ำหนักทั่วไปการหาวิธีแก้ไขปัญหาที่สามารถเข้าถึงได้โดยการปรับปรุงในพื้นที่จากการเริ่มต้นเฉพาะนั้นเสร็จสิ้นด้วย PSPACE)

สิ่งที่คล้ายกันเกิดขึ้นใน "เกมที่มีศักยภาพ" อื่น ๆ

พนักงานขายที่เดินทางเปิดอยู่บนกราฟกริดที่ขาย แต่วงจรแฮมิลตัน (ตัวแปรที่ไม่ถ่วง) เป็นที่รู้กันว่าเป็นพหุนาม

การอภิปรายของทั้งสองเกี่ยวกับโครงการปัญหาเปิด:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

ในการตัดสูงสุด2K_1 ฟรีคือพหุนามและการตัดสูงสุดถ่วงน้ำหนักคือ NP-complete