การแยกระดับความซับซ้อนโดยไม่มีทฤษฎีบทลำดับชั้น

ทฤษฎีบทลำดับชั้นเป็นเครื่องมือพื้นฐาน มีการรวบรวมจำนวนที่ดีไว้ในคำถามก่อนหน้านี้ (ดูหัวข้อลำดับชั้นและ / หรือทฤษฎีลำดับชั้นที่คุณทราบ? ) การแยกชั้นความซับซ้อนบางอย่างติดตามโดยตรงจากทฤษฎีบทลำดับชั้น ตัวอย่างเช่นการแยกที่รู้จักกันดี: $L\neq PSPACE$ , $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$ .

อย่างไรก็ตามไม่ใช่ทุกการแยกตามทฤษฎีบทลำดับชั้น ตัวอย่างที่ง่ายมากคือ $NP\neq E$ Eแม้ว่าเราไม่ทราบว่ามีส่วนใดของพวกมันอยู่หรือไม่ แต่ยังคงแตกต่างกันเนื่องจาก $NP$ ถูกปิดด้วยความเคารพต่อการแปลงพหุนามในขณะที่ $E$ ไม่ใช่

ข้อใดคือการแยกชั้นความซับซ้อนที่ลึกซึ้งไม่มีเงื่อนไขและไม่เกี่ยวข้องสำหรับชั้นเรียนที่เหมือนกันซึ่งไม่ได้ติดตามโดยตรงจากทฤษฎีลำดับชั้นบางส่วน

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่ามันผิดปกติเล็กน้อยที่จะเรียกว่าการแยก

ความไม่เท่าเทียมของพวกเขานั้นมีเหตุผลเล็กน้อยและไม่ได้บอกอะไรเราที่น่าสนใจ AFAIK การแยกชั้นความซับซ้อนที่น่าสนใจทั้งหมดสำหรับคลาสที่มีความซับซ้อนขนาดใหญ่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทลำดับชั้น

N P \neq E

$NP\neq E$

— Kaveh

จริงอยู่ที่มันผิดปกติที่จะเรียกว่าการแยก

เนื่องจากมีเหตุผลเล็กน้อย ฉันนำมันขึ้นมาเพื่อแสดงตัวอย่างง่ายๆที่ไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทลำดับชั้น

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

เอ่อหลักฐานการ NP! = E ไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทลำดับชั้น! วิธีการทำงานคือให้คุณสมมติ NP = E ก่อนจากนั้นใช้คุณสมบัติการปิดของ NP เพื่ออนุมานว่า E = EXP ซึ่งเป็นการละเมิดทฤษฎีบทเวลาของลำดับชั้น

— Scott Aaronson

ขอบคุณสก็อตต์คุณพูดถูก

ไม่ใช่ตัวอย่างที่ถูกต้อง ฉันโพสต์หนึ่งที่ดีกว่าในคำตอบ

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

ดังนั้นแม้ความไม่เท่าเทียมกันเช่นพึ่งพา diagonalization:

แต่

ดีและไม่สำคัญเลย

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

คำตอบ:

ฉันชอบที่จะแสดงผิด แต่ฉันไม่คิดว่าในปัจจุบันมีขอบเขตที่ต่ำกว่าเครื่องแบบที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีลำดับชั้นอย่างใดอย่างหนึ่ง ความเข้าใจในปัจจุบันของเราเกี่ยวกับวิธีการใช้ประโยชน์จากความสม่ำเสมอนั้นค่อนข้าง จำกัด ในแง่นั้น

ในอีกทางหนึ่งมีขอบเขตล่างเหมือนกันหลายอย่างที่ไม่ได้ทำตามโดยตรงจากทฤษฎีบทลำดับชั้น แต่ใช้ทฤษฎีบทลำดับชั้นร่วมกับเทคนิคเทคนิคและผลลัพธ์ที่ชาญฉลาดเช่น:

[Hopcroft-Paul-องอาจ] พวกเขาพิสูจน์ให้เห็นว่า (ส่วนที่ไม่ใช่ diagonalization การพิสูจน์ของพวกเขา) และจากนั้นใช้ความจริงที่ว่า $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ ร่วมกับลำดับชั้นของพื้นที่ ผล + ลำดับชั้นพื้นที่ของพวกเขายังแสดงถึง ) $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
การแลกเปลี่ยนเวลาเพื่อความพึงพอใจ (ดูเช่นการแนะนำของBuss-Williamsและการอ้างอิงในนั้น)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter] ใช้การจำลองแบบไม่ขึ้นอยู่กับเครื่องไทม์มิ่งเชิงเส้นแบบกำหนดเวลาใด ๆ โดยเครื่องสี่ทางที่เร็วขึ้นรวมกับลำดับชั้นเวลาที่กำหนดไว้ $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
สร้างขอบเขตที่ต่ำกว่าในค่าคงที่ [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
[วิลเลียมส์] (แม้ว่าในทางเทคนิคนี่จะเป็นรูปแบบที่ไม่ จำกัด ด้านล่างมันใช้ความคิดที่ฉลาดร่วมกับกลุ่มลำดับเวลา nondeterministic) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

การแยกโดยSmolensky เป็นสิ่งที่คุณมองหาใช่ไหม $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— อาร์เน่
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่เป็นผลดี แต่ฉันกำลังมองหาการแยกของ

ชั้นเรียนไม่ได้เรียนวงจร

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago

@AndresFarago: ชุด AC ^ 0 นั้นรวมอยู่ในชุด TC ^ 0 ด้วย

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิกา

@ EmilJeřábek: มีหลักฐานว่าเครื่องแบบ

อยู่ในชุด

ที่ไม่ได้พิสูจน์แล้วว่ามีคำสั่งแบบ nonuniform หรือไม่? (ถ้าไม่เช่นนั้นก็จะดูเหมือนตัวอย่างของคุณตกอยู่ภายใต้หลักการทั่วไปที่ไม่สม่ำเสมอขอบเขตที่ต่ำกว่าแข็งแรงกว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าเหมือนกันและผมคิดว่า OQ ได้พยายามที่จะหลีกเลี่ยงการตอบเช่น ... )

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— โจชัว Grochow

ฉันคิดว่า nonuniformity ในการพิสูจน์เป็นเรื่องรองจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นคลาสที่ค่อนข้างเล็กซึ่งเรามีความเข้าใจเกี่ยวกับ combinatorial / พีชคณิตที่ดี คือเราเข้าใจดีพอที่จะสร้างวัตถุที่ไม่ได้อยู่ในนั้นโดยตรง ในกรณีที่คลาสที่ใหญ่กว่านั้นไม่มีความเข้าใจเช่นนั้นดังนั้นวิธีเดียวที่เรารู้คือทำทแยงมุมกับคลาสทั้งหมดเพื่อสร้างวัตถุดังกล่าว

— Kaveh

อีกตัวอย่างที่ไม่น่าสนใจมาจากพื้นที่ของความซับซ้อนของกรณีโดยเฉลี่ย Rainer Schuler พิสูจน์คุณสมบัติที่น่าสนใจของชั้นเรียนที่เขาเรียกว่า , ดู [1] $P_{P-comp}$

เป็นชั้นของภาษาที่ได้รับการยอมรับในเวลาพหุนามใน -average สำหรับทุกคำนวณเวลาพหุนาม (P-คำนวณ) กระจายμธรรมชาติระงับเนื่องจากการดำรงอยู่ของอัลกอริทึม polytime กำหนดก็หมายความว่ามันยังคงมีประสิทธิภาพในเฉลี่ยไม่ว่าสิ่งที่กระจายเข้าเป็น อย่างไรก็ตามเงื่อนไขของการทำงานในเวลาพหุนามเฉลี่ยสำหรับการแจกแจงอินพุต P-computedทุกครั้งปรากฏว่าแข็งแรงพอที่จะสงสัยว่า $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ $P_{P-comp}=P$

$L\in P_{P-comp}$ $E$

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$ , which follows from the Time Hierarchy Theorem, the novel part (*) builds on different tools: beyond diagonalization, it employs resource bounded measure and Kolmogorov complexity.

Reference:

[1] R. Schuler, "Truth-table closure and Turing closure of average polynomial time have different measures in EXP," CCC 1996, pdf

— Andras Farago
แหล่งที่มา