กราฟสีลดจำนวนสีในทุกชุดอิสระ

11

เป็นที่รู้จักกันเรียกร้องต่อไปนี้?

การอ้างสิทธิ์ : สำหรับกราฟมีจุดยอดใด ๆ จะมีการระบายสีของเช่นกันซึ่งทุกชุดอิสระจะมีการระบายสีด้วยสีใหญ่ $G$ $n$ $G$ $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
แหล่งที่มา

11

ฉันรู้การอ้างสิทธิ์ต่อไปนี้ แต่อาจไม่นับเนื่องจากไม่ได้เผยแพร่: กราฟใด ๆ บน vertices สามารถระบายสีเพื่อให้ subgraphใด ๆ ที่เกิดจากหมายเลขสีที่ใช้มากที่สุดที่โดยที่2kn $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

นี่คือการพิสูจน์โดยอุปนัย; แรงจูงใจคือการพิจารณาการระบายสีที่ใช้สีเพียงไม่กี่สีบนกราฟ แต่ยังรวมถึงกราฟย่อยย่อยที่เกิดขึ้นด้วย อย่างไรก็ตามฉันไม่ได้ตระหนักถึงผลลัพธ์ที่เผยแพร่ใด ๆ

— Aravind
แหล่งที่มา

10

ไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการ แต่นี่คือขอบเขตที่ต่ำกว่า - กราฟที่การระบายสีใด ๆ จะส่งผลให้เกิดชุดสีที่เป็นอิสระโดยสี: $\sqrt{n}$

ใช้สำเนาของและเชื่อมต่อจุดทั้งหมดไปยังจุดสุดยอดเดียวs $\sqrt{n}$ $K_{\sqrt{n}}$ $s$

เห็นได้ชัดว่าทุกชุดของจุดยอดต่าง ๆ ของนั้นมีความเป็นอิสระและในทุก ๆ สำเนาของ $\sqrt{n}$ $K$ คุณสามารถหาได้อย่างน้อยหนึ่งสี "ใหม่" $K_{\sqrt{n}}$

ขอบเขตล่างนี้สามารถปรับปรุงเป็นได้อย่างง่ายดายหรือดังนั้นหากเราเชื่อมต่อไปยังจุดสุดยอดเดียว แต่มันยังคงอยู่เพียง $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ สี $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
แหล่งที่มา

ตัวอย่างที่สองดูเหมือนจะไม่ปรับปรุงขอบเขต ฉันคิดว่า IS ใด ๆ สามารถใช้สี

3

ตัวอย่างเช่นสำหรับ n = 9,

มีสีโดยสีน้ำเงิน,

โดยสีเขียวและสีแดงและ

โดยสีน้ำเงิน, สีเขียวและสีแดง IS สูงสุดใด ๆ จะมีสี 2 สีไม่ใช่ 3

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— 15669

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไร ตัวอย่างที่สองปรับปรุงขอบเขต แต่ไม่แสดงอาการ คุณสามารถสร้าง ~

ขนาดที่มีสีสันจะใช้จุดสุดยอดจาก

, จุดสุดยอดจาก

ที่มีสีที่แตกต่างกันและอื่น ๆ (จาก

เราจะใช้จุดสุดยอดสีโดยสีที่ยังไม่อยู่ในเป็นของเรา) และนี่ถือสำหรับสีของทุกG

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB

นอกจากนี้ในตัวอย่างของคุณ IS ซึ่งรวมจุดสุดยอดสีฟ้าจาก

สีเขียวจาก

และสีแดงจาก

มี 3 สีด้วยกัน

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB

1

@RB ขอบคุณสำหรับตัวอย่าง กราฟที่สองของคุณให้ความผูกพันที่ต่ำกว่าประมาณ

นี้เป็นจำนวนดังกล่าวที่

n

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— Igor Shinkar

5

สิ่งที่เกี่ยวกับการพิสูจน์ดังต่อไปนี้? ถ้าจากนั้นการเรียกร้องก็คงชัดเจน สมมติว่าตรงกันข้ามและปล่อยให้เป็นอิสระจากชุดกับ cardinality สูงสุดαสีที่มีสีที่ 1 และสีซ้ำรูปแบบของกราฟมีสีคตอนนี้ถ้าเป็นชุดที่เป็นอิสระจากพิจารณาฉันโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำมีสีมากที่สุด $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ colours ดังนั้นจึงมีสีมากที่สุด $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ สี ความไม่เท่าเทียมกันถือหุ้นโดยสมมติฐานที่ว่า $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ . $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
แหล่งที่มา

1

แต่หลักฐานนี้อาจถูกปรับเปลี่ยนเพื่อแสดงให้เห็นว่าสำหรับการใด ๆ

ใด ๆ ที่เป็นสีโดยที่มากที่สุด

1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

สี ในกรณีใด ๆ นี่คือคำขออ้างอิงไม่ใช่คำขอเพื่อพิสูจน์

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— user15669

1

อันที่จริง, หลักฐานควรทำงานโดยแทนที่

กับ

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

. ฉันขอโทษที่พลาดส่วน "คำขออ้างอิง" แต่ผลลัพธ์นี้ไม่ควรพิจารณาว่าเป็นคติชนวิทยา BTW ฉันเป็นคนเดียวกับด้านบน แต่ฉันต้องการค้นหาวิธีรวมโปรไฟล์ที่แตกต่างกันของฉันฉันอาจจะถามสิ่งนี้ใน meta.cstheory.stackexchange

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

— Super0

(ตามคำขอผสานโปรไฟล์) เมตาเป็นสถานที่ที่ดีในการโพสต์คำขอดังกล่าว

— Suresh Venkat