คุณสมบัติกราฟสมบูรณ์แบบ NP ที่มีทางพันธุกรรม แต่ไม่ใช่สารเติมแต่ง?

คุณสมบัติกราฟเรียกว่ากรรมพันธุ์ถ้ามันปิดด้วยความเคารพในการลบจุดยอด (กล่าวคือกราฟย่อยย่อยทั้งหมดที่เกิดจากการสืบทอดคุณสมบัติ) คุณสมบัติกราฟเรียกว่าสารเติมแต่งถ้ามันถูกปิดด้วยความเคารพต่อการแยกสหภาพ

การค้นหาคุณสมบัติที่เป็นกรรมพันธุ์ไม่ใช่เรื่องยาก แต่ไม่ได้เสริม ตัวอย่างง่ายๆสองตัวอย่าง:

$\;\;\;$ (1) กราฟเสร็จสมบูรณ์

$\;\;\;$ (2) กราฟไม่ได้มีจุดยอดสองจุดแยกกัน

ในกรณีเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าทรัพย์สินถูกสืบทอดโดยกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ แต่การเอากราฟที่แยกจากกันสองอันที่มีคุณสมบัติออกมาสหภาพของพวกเขาอาจไม่ได้สงวนไว้

ตัวอย่างข้างต้นทั้งสองนี้เป็นคุณสมบัติที่สามารถตัดสินใจได้ของ polytime (แม้ว่าสำหรับ (2) จะค่อนข้างไม่สำคัญ) หากเราต้องการคุณสมบัติที่ยากขึ้นพวกเขายังสามารถสร้างขึ้นได้โดยทำตามรูปแบบของ (2) แต่แทนที่รอบด้วยกราฟที่ซับซ้อนมากขึ้น จากนั้น แต่เราสามารถทำงานได้อย่างง่ายดายในสถานการณ์ที่มีปัญหาไม่ได้อยู่ในภายใต้สมมติฐานที่ซับซ้อนมาตรฐานเช่นN P ≠ C o N P มันดูเล็กน้อยกว่าการหาตัวอย่างที่อยู่ในN Pแต่ก็ยังยาก$NP$$NP\neq coNP$$NP$

คำถาม:คุณรู้จัก คุณสมบัติกราฟที่ไม่สมบูรณ์ของที่เป็นกรรมพันธุ์ แต่ไม่ใช่สารเติมแต่งหรือไม่?$NP$

$k$$k$

เห็นได้ชัดว่าการรับกราฟย่อยไม่สามารถเพิ่มขนาดขั้นต่ำของพาร์ติชันดังกล่าวได้ ในทางกลับกันเมื่อคุณแยกส่วนที่แยกออกจากกันของสองกราฟคุณจะต้องนำส่วนของพาร์ติชันมารวมกันเป็นกลุ่มของแต่ละอัน

พิจารณาปัญหานี้

$G$$P$$Q$

มันยังคง NP สมบูรณ์แม้ว่าคุณสมบัติจะเป็นกรรมพันธุ์

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าการแก้ปัญหาของปัญหาข้างต้นสำหรับกราฟยังมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ แต่เมื่อทำการรวมกราฟของตระกูลเดียวกันกับที่ G อาจไม่สามารถใช้วิธีแก้ปัญหานั้นได้

ตัวอย่างเช่นการแบ่งกราฟทั่วไปในกราฟช่วงเวลาของยูนิตที่แยกออกจากกันคือ NP สมบูรณ์ แต่เมื่อทำการรวมขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ทำให้กราฟเสร็จสมบูรณ์) จะแก้ปัญหาได้เล็กน้อย

$G = (V,E)$$C_1,\ldots,C_m$$C_i$$V$$E$$C_i$

$k \geq 3$$G$$k$

$k = 2$

หาก (1) เป็นจริงคุณควรตอบคำถามของคุณเนื่องจากเป็นคุณสมบัติที่ถ่ายทอดทางพันธุกรรม แต่ไม่ใช่สารเติมแต่ง

(เพิ่มหมายเหตุ: การคาดเดา (2) จะแตกต่างจาก "การคาดคะเนการครอบรอบสองครั้ง" โดย Szekeres และ Seymour แม้จะมีการไม่ระบุชื่อ)