แสดงปัจจัยที่ถาวร

ปัญหาสำคัญอย่างหนึ่งใน TCS คือปัญหาในการแสดงปัจจัยกำหนดอย่างถาวร ฉันกำลังอ่านกระดาษพิจารณาของ Agrawal เทียบกับปลัดและในวรรคหนึ่งเขาอ้างว่าปัญหาย้อนกลับเป็นเรื่องง่าย

มันง่ายที่จะเห็นว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นค่าคงที่ของเมทริกซ์X related ที่เกี่ยวข้องซึ่งรายการคือ 0, 1, หรือx_ {i, j} s และมีขนาดO (n) (ตั้งค่า รายการของ Xˆ ที่ det Xˆ = det Xและผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงทุกครั้งที่มีรอบสม่ำเสมอเป็นศูนย์)$X$$Xˆ$$x_{i,j}$$O(n)$$Xˆ$$X$

ก่อนอื่นฉันไม่คิดว่าตัวแปร0, 1 และ$x_{i,j}$เพียงพอแล้วเพราะเราจะขาดแง่ลบ แต่แม้ว่าเราจะอนุญาตให้ใช้ตัวแปร-1 และ$-x_{i,j}$เช่นกันฉันก็ไม่เห็นว่าทำไมการเติบโตของขนาดจึงสามารถสร้างเส้นตรงได้ มีคนช่วยอธิบายการก่อสร้างให้ฉันได้ไหม

ฉันคิดว่านี่อาจเป็นคำที่พิมพ์ผิดในกระดาษของ Agrawal สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันรู้คือวิธีการเขียนดีเทอร์มิแนนต์แบบของการประมาณของขนาดถาวรโดยการเขียนดีเทอร์มิแนนต์เป็นโปรแกรมการแยกสาขาพีชคณิต (และฉันคิดว่า ดูความคิดเห็นเกี่ยวกับคำตอบนี้$n \times n$$O(n^3)$