UGC ความแข็งของเพรดิเคต

พื้นหลัง :

ในกระดาษ UGC ดั้งเดิมของ Subhash Khot ( PDF ) เขาได้พิสูจน์ความแข็งของการตัดสินใจว่า CSP ที่ได้รับมามีข้อ จำกัด ทุกรูปแบบ -ของข้อ จำกัด หรือมีการมอบหมายไม่พอใจ8$\epsilon$$\frac{8}{9}+\epsilon$ของข้อ จำกัด สำหรับขนาดเล็กโดยพล$\epsilon > 0$0

ฉันอยากรู้ว่าผลนี้ได้รับการทั่วไปสำหรับการรวมกันใด ๆ ของ$\ell$จำกัด -ary สำหรับ$\ell \ge 3$และโดเมนตัวแปรขนาด$k \ge 3$ที่$\ell \ne k \ne 3$ 3 นั่นคือ,

คำถาม :

มีความแข็งที่ทราบผลของการประมาณค่าสำหรับคำกริยา$NAE(x_1, \dots, x_\ell)$สำหรับ$x_i \in GF(k)$สำหรับ$\ell, k \ge 3$และ$\ell \ne k \ne 3$หรือไม่

ฉันสนใจเป็นพิเศษในการรวมกันของค่า ; เช่นคำกริยาที่ไม่ทั้งหมดเท่ากับ ( x 1 , ... , x k ) สำหรับx 1 ... , x k ∈ G F ( k )$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

ฉันรู้ว่าสิ่งที่ฉันอ้างไว้ข้างต้นเป็นที่รู้จักกันจริง

สำหรับและk ≥ 3ตามอำเภอใจนี่คือในเอกสารของ Khot FOCS 2002 "ความแข็งของการระบายสี 3-colorable 3-uniform-hypergraphs" (กระดาษจริง ๆ พูดถึงนายพลkแม้ว่าชื่อเรื่องจะพูดถึงเรื่องสีสัน 3- เท่านั้น) .$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

สำหรับและk ≥ 2ในความเป็นจริงความแข็งที่แข็งแกร่งเป็นที่รู้จักกัน แม้ว่าจะมีในความเป็นจริงที่ได้รับมอบหมายเพียงสองค่าตัวแปรที่ตอบสนองทุกข้อ จำกัด NAE (ในคำอื่น ๆℓ hypergraph -uniform สามารถสีโดยใช้ 2 สีโดยไม่ต้อง hyperedge เดียวใด ๆ ) ก็ยังคงเป็นรุ่น NP-ยากที่จะหา การมอบหมายจากโดเมนขนาดkซึ่งเป็นไปตามข้อ จำกัดอย่างน้อย1 - 1 / k ℓ - 1 + ϵ NAE ข้อ จำกัด (สำหรับค่าคงที่แบบสุ่มϵ > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$) สิ่งนี้ตามมาได้อย่างง่ายดายจากความจริงที่ว่าผลการวิเคราะห์ความผิดพลาดที่ทราบกันดีสำหรับการระบายสีไฮเปอร์กราฟ 2 ทำให้เกิดความหนาแน่นที่แข็งแกร่งในกรณีที่มีความแข็งแรง คำแถลงอย่างเป็นทางการปรากฏในบทความ SODA 2011 ของฉันกับ Ali Sinop "ความซับซ้อนในการค้นหาชุดอิสระในกราฟระดับ (hyper) ของจำนวนสีต่ำ" (Lemma 2.3 ใน SODA รุ่นสุดท้ายและ Lemma 2.8 ในเวอร์ชั่นเก่าที่มีอยู่ใน ECCC http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ )

ฉันลงจอดบนหน้านี้จากการค้นหาเกี่ยวกับ NAE-3SAT

ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าสำหรับปัญหาที่คุณถามมันควรจะเป็นNP- ยากที่จะบอกได้ว่าอินสแตนซ์นั้นน่าพอใจหรือมากที่สุดส่วนของข้อ จำกัด สามารถทำได้ นั่นคือผลการทดสอบความแข็งที่แน่นหนา(การจับคู่สิ่งที่เพียงแค่เลือกการมอบหมายแบบสุ่มเท่านั้นที่จะทำได้) สำหรับกรณีที่น่าพอใจและไม่จำเป็นต้องใช้ UGC$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

สำหรับและ$k=2$นี้ดังมาจากปัจจัย Hastad ของ 8/7 + ผล inapproximability epsilon 4 ชุดแยก (ซึ่งจากนั้นจะสามารถลดลงไปแยก K-ชุดสำหรับ k > 4 ) หากการปฏิเสธนั้นโอเคคุณสามารถใช้ความแข็งตึงของเขาสำหรับ Max ( ℓ - 1 ) -SAT$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

สำหรับ Khot ได้พิสูจน์สิ่งนี้ในกระดาษ FOCS 2002 "ความแข็งของการระบายสีไฮเปอร์กราฟกราฟ 3 ชุดสี 3 สี" (นั่นคือเขาลบสมมติฐาน UGC ดั้งเดิม)$k=\ell=3$

สำหรับและk ≥ 3โดยพลการEngebretsen และฉันพิสูจน์ผลลัพธ์ดังกล่าวใน "ความพึงพอใจของข้อ จำกัด เหนือตัวแปรสองตัวนั้นง่ายเสมอหรือไม่โครงสร้างแบบสุ่มอัลกอริธึม 25 (2): 150-178 (2004)" แต่ผมคิดว่าผลของเราต้อง "พับ" คือข้อ จำกัด ของจริงจะอยู่ในรูปแบบ NAE ( x ฉัน + $\ell=3$$k\ge 3$ ) สำหรับค่าคงที่บาง ,ข (นี่คืออะนาล็อกของการอนุญาตให้ปฏิเสธของตัวแปรบูลีน)$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

สำหรับกรณีทั่วไปฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้ถูกเขียนลงไปทุกที่หรือไม่ แต่ถ้าคุณต้องการมันจริงๆฉันอาจจะพบบางสิ่งหรือตรวจสอบการอ้างสิทธิ์

Prasad Raghavendra ในSTOC'08 Best Paper ที่ได้รับการพิสูจน์โดยสมมติว่าเกมสุดพิเศษคาดเดาว่าอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรม semidefinite ง่าย ๆ ให้การประมาณที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาความพึงพอใจข้อ จำกัด ใด ๆ (รวมถึง NAE) หากต้องการทราบว่าปัจจัยความแข็งของ NAE คืออะไรคุณต้องเข้าใจว่าอัลกอริธึมง่าย ๆ นั้นทำได้ดีเพียงใดนั่นคือพิสูจน์ช่องว่างที่ผสานรวมสำหรับโปรแกรม ฉันไม่รู้ว่ามีคนทำไปแล้วสำหรับ NAE โดยทั่วไปหรือไม่