การคำนวณออราเคิลเสร็จสมบูรณ์ / เส้นทางการดำรงอยู่ของออราเคิล

มีคำถามสองสามข้อ ( 1 , 2 , 3 ) เกี่ยวกับความสมบูรณ์ของสกรรมกริยาที่นี่ทำให้ฉันคิดว่าถ้าเป็นไปได้:

สมมติว่าเราได้รับกราฟกำกับการป้อนข้อมูล $G$ และต้องการตอบคำถามประเภท "$(u,v)\in G^+$? "คือถามว่ามีขอบระหว่างจุดยอดสองจุดในการทำให้สกรรมกริยาของกราฟเสร็จสมบูรณ์หรือไม่ $G$? (อย่างเท่าเทียมกัน "จะมีเส้นทางจาก$u$ ถึง $v$ ใน $G$? ")

สมมติว่าหลังจากที่ได้รับ $G$ คุณได้รับอนุญาตให้เรียกใช้การประมวลผลล่วงหน้าตามเวลาที่กำหนด $f(n,m)$ และต้องตอบคำถามในเวลา $g(n,m)$.

เห็นได้ชัดว่าถ้า $f=0$ (เช่นไม่อนุญาตให้ทำการประมวลผลล่วงหน้า) สิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้คือตอบแบบสอบถามในเวลา $g(n)=\Omega(n+m)$. (เรียกใช้ DFS จาก$u$ ถึง $v$ และคืนค่าจริงถ้ามีเส้นทาง)

ผลการค้นหาที่น่ารำคาญก็คือถ้า $f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$คุณสามารถคำนวณการปิดสกรรมกริยาแล้วตอบแบบสอบถามใน $O(1)$.

มีอะไรอยู่ตรงกลาง? หากคุณได้รับอนุญาตให้พูด$f=n^2$ เวลาประมวลผลล่วงหน้าคุณสามารถตอบคำถามได้เร็วกว่า $O(m+n)$? อาจปรับปรุงเป็น$O(n)$?

รูปแบบอื่นคือ: สมมติว่าคุณมี $poly(n,m)$ เวลาประมวลผลล่วงหน้า แต่เท่านั้น $o(n^2)$ คุณสามารถใช้การประมวลผลล่วงหน้าเพื่อตอบคำถามที่มีประสิทธิภาพมากกว่า $O(n+m)$?

เราสามารถพูดอะไรโดยทั่วไปเกี่ยวกับ $f,g$ ข้อเสียที่อนุญาตให้ตอบแบบสอบถามเช่นนี้?

โครงสร้างการแลกเปลี่ยนที่ค่อนข้างคล้ายกันนั้นได้รับการพิจารณาในระบบ GPS ซึ่งมีตารางเส้นทางที่สมบูรณ์ของระยะทางคู่ทั้งหมดระหว่างสถานที่นั้นเป็นไปไม่ได้ดังนั้นจึงใช้แนวคิดของoracle ระยะทางที่เก็บตารางบางส่วน กราฟ (โดยปกติจะให้ระยะห่างระหว่างจุดโดยประมาณเท่านั้น)

มี oracles ที่สามารถเข้าถึงได้ขนาดกะทัดรัดสำหรับกราฟระนาบ

Mikkel Thorup: ออราเคิลขนาดกะทัดรัดสำหรับการเชื่อมและประมาณระยะทางใน digraphs J. ACM 51 (6): 993-1024 (2004)

แต่เป็น "ยาก" สำหรับกราฟทั่วไป (แม้แต่กราฟหร็อมแหร็ม)

หมดเวลา Patrascu: Unifying ภูมิทัศน์ของ Cell-Probe ล่างขอบเขต SIAM J. Comput 40 (3): 827-847 (2011)

อย่างไรก็ตามมีอัลกอริทึมที่สามารถคำนวณการติดฉลากการเข้าถึงได้ใกล้เคียงกับที่เหมาะสมที่สุด

อีดิ ธ โคเฮน Eran Halperin ฮาอิมแคปแลนยูริซวิค: reachability และระยะทางแบบสอบถามผ่านทางป้าย SIAM J. Comput 32 (5): 1338-1355 (2003)

Maxim A. Babenko, แอนดรู V. Goldberg, Anupam แคนด์ Viswanath Nagarajan: อัลกอริทึมสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพ Hub ฉลาก ICALP 2013: 69-80

การสร้างผลงานของโคเฮนและคณะ และอื่น ๆ มีการวิจัยประยุกต์เล็กน้อย (ชุมชนฐานข้อมูล) ดูเช่น

Ruoming Jin, Guan Wang: Oracle การเข้าถึงได้ง่ายรวดเร็วและปรับขนาดได้ PVLDB 6 (14): 1978-1989 (2013)

Yosuke Yano, ทาคุยะอากิ Yoichi วาตะยูอิจิโยชิดะ: ด่วนและปรับขนาดได้คำสั่งเชื่อมในกราฟโดยการติดฉลากตัดกับสถานที่สำคัญและเส้นทาง CIKM 2013: 1601-1606

ฉันจะตอบคำถามของคุณบางส่วน: ดูเหมือนจะมีเหตุผลบางประการที่การก่อสร้างดังกล่าวอาจหาได้ยาก

สมมติว่ากราฟที่กำกับโดย n-node m-edge ใด ๆ ที่คุณสามารถประมวลผลล่วงหน้าในเวลา T (m, n) เพื่อให้สามารถตอบแบบสอบถามการเข้าถึงได้ในเวลา q (m, n) ยกตัวอย่างเช่นคุณสามารถหาสามเหลี่ยมในกราฟของ n-node m-edge กราฟ$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$เวลา. ด้วยเหตุนี้$T(m,n)=O(n^2)$ และ $q(m,n)=O(n)$จะบ่งบอกถึงผลการฝ่าฟัน อัลกอริทึมที่ดีที่สุดที่เรามีสำหรับการค้นหารูปสามเหลี่ยมวิ่งเข้ามา$O(n^\omega)$ เวลาและมันไม่ชัดเจนว่า $\omega=2$.

หากต้องการดูการลดลงสมมติว่าเราต้องการหาสามเหลี่ยมในกราฟ $G$. สร้างกราฟ 4 ชั้นใน 4 ชุด$n$ แต่ละโหนด $X,Y,Z,W$ ที่แต่ละโหนดเดิม $v$ ใน $G$ มีสำเนา $v_X,v_Y,v_Z,v_W$. ตอนนี้สำหรับแต่ละขอบ$(u,v)$ ใน $G$ เพิ่มขอบกำกับ $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$. สิ่งนี้จะทำให้กราฟสมบูรณ์ ตอนนี้ทำการประมวลผลล่วงหน้า$T(O(m),O(n))$ เวลาและถามคำถามเกี่ยวกับ $v_X,v_W$ แต่ละ $v$.

อาจเป็นไปได้ที่จะมีงานอีกหลายชิ้นที่สามารถเปลี่ยนการลดลงเพื่อแสดงรายการสามเหลี่ยมในกราฟ (ขณะนี้แสดงเฉพาะโหนดในรูปสามเหลี่ยม) หากใครสามารถทำสิ่งนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพก็อาจจะมีขอบเขตล่างที่มีเงื่อนไขตาม 3SUM ที่ต้องการ$n^{2+o(1)}$ เวลาเช่นกันโดยใช้ผลลัพธ์ของ Patrascu จากปี 2010