ความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นเมื่อเทียบกับจำนวนพาร์ติชัน

พื้นหลัง:

พิจารณาถึงรูปแบบสองฝ่ายปกติของความซับซ้อนในการสื่อสารโดยที่ Alice และ Bob ได้รับ bit stringsและและต้องคำนวณฟังก์ชันบูลีนที่\}$n$$x$$y$f : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 $f(x,y)$$f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

เรากำหนดปริมาณต่อไปนี้:

$D(f)$ (ความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นโดย ): จำนวนบิตต่ำสุดที่อลิซและบ๊อบจำเป็นต้องสื่อสารเพื่อคำนวณอย่างไม่แน่นอนf ( x , y $f$$f(x,y)$

$Pn(f)$ (หมายเลขพาร์ติชันของ ): ลอการิทึม (ฐาน 2) ที่เล็กที่สุดของสี่เหลี่ยมสีเดียวในพาร์ติชัน (หรือหน้าปกแยก) ของ n{ 0 , 1 } n × { 0 , 1 } $f$$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

สี่เหลี่ยมสีเดียวในเป็นเซตย่อยซึ่งใช้ค่าเดียวกัน (กล่าวคือเป็นสีเดียว) ในองค์ประกอบทั้งหมดของค R × C f R × $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$$R \times C$$f$$R \times C$

นอกจากนี้โปรดทราบว่าหมายเลขพาร์ติชันนั้นแตกต่างจาก "หมายเลขพาร์ติชันโปรโตคอล" ซึ่งเป็นหัวข้อของคำถามนี้

ดูข้อความโดย Kushilevitz และ Nisan สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ในสัญกรณ์ของพวกเขาสิ่งที่ฉันได้กำหนดให้เป็นเป็น(ฉ)บันทึก2 C D ( f $Pn(f)$$\log_2 C^D(f)$

หมายเหตุ : คำจำกัดความเหล่านี้ถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ใช่บูลีนซึ่งเอาต์พุตของเป็นชุดที่ใหญ่กว่า$f$$f$

ผลลัพธ์ที่ทราบ:

เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นที่ถูกผูกไว้ในที่ต่ำกว่าคือสำหรับทุก (บูลีนหรือไม่บูลีน) ,(ฉ) อันที่จริงส่วนใหญ่ลดเทคนิคที่ถูกผูกไว้ (หรืออาจจะทั้งหมดหรือไม่) สำหรับจริงลดผูกพัน(ฉ) (ทุกคนสามารถยืนยันได้ว่านี่เป็นความจริงของเทคนิคที่ต่ำกว่าทั้งหมดหรือไม่)D ( f ) f P n ( f ) ≤ D ( f ) D ( f ) P n ( f $Pn(f)$$D(f)$$f$$Pn(f) \leq D(f)$$D(f)$$Pn(f)$

นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันว่าผูกพันนี้เป็นส่วนใหญ่ quadratically หลวม (สำหรับบูลีนหรือฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่แบบบูล) คือ 2 เพื่อสรุปเรารู้ดังต่อไปนี้:$D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

มันถูกสันนิษฐานว่า(ฉ)) (นี่เป็นปัญหาแบบเปิดที่ 2.10 ในข้อความโดยข้อความโดย Kushilevitz และ Nisan) อย่างไรก็ตามด้วยความรู้ที่ดีที่สุดของฉันการแยกที่รู้จักกันดีที่สุดระหว่างสองฟังก์ชันนี้สำหรับฟังก์ชันบูลีนนั้นมีเพียงปัจจัยคูณของ 2 ดังแสดงใน " การคาดคะเนเชิงเส้น - อาเรย์ในความซับซ้อนของการสื่อสารเป็นเท็จ "โดย Eyal Kushilevitz, Nathan Linial และ Rafail Ostrovsky$Pn(f) = \Theta(D(f))$

แม่นยำมากขึ้นพวกเขาแสดงครอบครัวไม่มีที่สิ้นสุดของฟังก์ชั่นแบบบูลเช่นว่า(ฉ)D ( f ) ≥ ( 2 - o ( 1 ) ) P n ( f $f$$D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

คำถาม:

การแยกที่รู้จักกันดีที่สุดระหว่างและสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ใช่บูลีนคืออะไร ยังคงเป็นการแยกตัวประกอบ 2 ที่อ้างถึงข้างต้นหรือไม่D ( f $Pn(f)$$D(f)$

เพิ่มใน v2 : เนื่องจากฉันยังไม่ได้รับคำตอบในหนึ่งสัปดาห์ฉันก็ยินดีที่จะได้ยินคำตอบบางส่วนการคาดเดาคำบอกเล่าหลักฐานพอสมควรและอื่น ๆ

คำถามนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว! อย่างที่ฉันพูดไปมันเป็นที่รู้กันว่า

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$ ,

แต่มันก็เป็นปัญหาที่สำคัญในการเปิดแสดงให้เห็นว่าทั้งหรือว่ามีฟังก์ชั่นที่มีการ(ฉ))$Pn(f) = \Theta(D(f))$$Pn(f) = o(D(f))$

ไม่กี่วันที่ผ่านมาสิ่งนี้ได้รับการแก้ไขโดย Mika Göös, Toniann Pitassi, Thomas Watson ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ) พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นซึ่งเป็นที่น่าพอใจ$f$

$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})${2/3})

พวกเขายังแสดงผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสำหรับแบบด้านเดียวซึ่งฉันจะเขียนแทนด้วยซึ่งคุณต้องครอบคลุม 1-inputs ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นที่น่าพอใจเช่นกัน P n 1 ( f ) P n 1 ( f $Pn(f)$$Pn_1(f)$$Pn_1(f)$

$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$ ,

และพวกเขาแสดงให้เห็นว่านี่เป็นความสัมพันธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ระหว่างมาตรการทั้งสองเนื่องจากพวกเขาแสดงฟังก์ชั่นซึ่งเป็นที่น่าพอใจ$f$

$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})${1/2})

คุณสังเกตว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าในนั้นสัมพันธ์กับเทคนิคขอบเขตล่างที่มีอยู่ทั้งหมด สำหรับฟังก์ชั่นบูลีนสิ่งนี้น่าจะเป็นจริงตราบใดที่การคาดคะเนตำแหน่งบันทึกเป็นจริง อย่างไรก็ตามสามารถมีขนาดใหญ่กว่าชุดการหลอกที่อธิบายได้P n ( f $Pn(f)$$Pn(f)$

ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันเท่าไหร่และสามารถแตกต่างกันในกรณีที่ไม่ใช่บูลีนD ( f $Pn(f)$$D(f)$

ในส่วนที่เหลือฉันทำให้ความคิดเห็นเหล่านี้แม่นยำยิ่งขึ้น

KN (Kushilevitz และ Nisan ในหนังสือเรียนปี 1997) ร่างเทคนิคพื้นฐานสามประการสำหรับฟังก์ชั่นบูลีน: ขนาดของชุดหลอกขนาดของสี่เหลี่ยมเอกรงค์และอันดับของเมทริกซ์การสื่อสาร

ก่อนอื่นหลอกชุด หลอกลวงชุดเป็นสีเดียว: มีบางเช่นว่าสำหรับทุกS การแก้ไขขั้นสุดท้ายนั้นจำเป็นต้องคำนึงถึงสีอื่นด้วย ขั้นตอนพิเศษนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้ ให้เป็นฟังก์ชั่น คู่ขององค์ประกอบที่แตกต่างคือหลอกลวงอ่อนสำหรับถ้าหมายความว่าทั้งหรือy_1) ชุดคือz ∈ { 0 , 1 } f ( x , y ) = z ( x , y ) ∈ S f : X × Y → { 0 , 1 } ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ X × Y f f ( x 1 , y $S$$z \in \{0,1\}$$f(x,y) = z$$(x,y)\in S$$f \colon X \times Y \to \{0,1\}$$(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$$f$f ( x 1 , y 2 ) ≠ f ( x 1 , y 1 ) f ( x 2 , y 1 ) ≠ f ( x 1 , y 1 ) S ⊆ X × Y f $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$$f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$$f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$$S \subseteq X \times Y$การหลอกลวงแบบอ่อนแอนั้นถูกกำหนดไว้สำหรับหากทุกองค์ประกอบที่แตกต่างกันของนั้นเป็นการหลอกลวงอย่างอ่อนแอ KN ระบุอย่างแน่ชัดหลังจากการพิสูจน์ 1.20 ว่าขนาดล็อกของชุดการหลอกที่อ่อนแอนั้นเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับความซับซ้อนในการสื่อสาร$f$$S$

ชุดหลอกที่อ่อนแอที่ใหญ่ที่สุดเลือกองค์ประกอบตัวแทนจากแต่ละรูปแบบเอกรงค์เดี่ยวในปกชุดที่แยกออกจากกันที่เล็กที่สุด ขนาดของชุดหลอกที่อ่อนแอที่สุดที่ใหญ่ที่สุดจึงมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่ากับ (เลขชี้กำลังของ) หมายเลขพาร์ติชัน น่าเสียดายที่ขอบเขตที่จัดไว้โดยชุดหลอกมักอ่อนแอ หลักฐานการ KN 1.20 แสดงให้เห็นว่าการทำแผนที่ฟังก์ชั่นใด ๆ แต่ละองค์ประกอบของอ่อนแอหลอกลวงชุดเพื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียวที่มีองค์ประกอบที่เป็นหนึง อย่างไรก็ตามสามารถมีได้หลาย monochromatic สี่เหลี่ยมในปก disjoint ที่เล็กที่สุดที่ไม่ปรากฏในภาพของกับองค์ประกอบทั้งหมดของอ่อนแออย่างหลอกลวงกับบางส่วน แต่ไม่ทั้งหมดขององค์ประกอบของS R s R S R S S n 1 / 4 n P n ( ฉ) = n O ( บันทึกn $s$$S$$R_s$$R$$S$$R$$S$และไม่สามารถเพิ่มลงในได้ ในความเป็นจริง Dietzfelbinger, Hromkovičและ Schnitger แสดงให้เห็น (ดอย: 10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X ) ที่สำหรับที่มีขนาดใหญ่พออย่างน้อยของฟังก์ชันบูลีนทั้งหมดในตัวแปรมีเลย มี (อ่อน) ชุดหลอกลวงของบันทึกขนาดn) ดังนั้นบันทึกของชุดการหลอกที่ใหญ่ที่สุด (อ่อนแอ) จึงมีขนาดเล็กกว่าความซับซ้อนในการสื่อสารอย่างมาก$S$$n$$1/4$$n$$Pn(f) = n$$O(\log n)$

สำหรับตำแหน่งการสร้างการติดต่อที่ใกล้ชิดระหว่างอันดับของเมทริกซ์ของฟังก์ชันและหมายเลขพาร์ติชันจะสร้างรูปแบบของการคาดคะเนบันทึกการจัดอันดับ (ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของการติดต่อ) ตัวอย่างเช่นหากมีค่าคงเช่นนั้นสำหรับฟังก์ชันบูลีนทุกดังนั้นและการคาดคะเนบันทึกอันดับหนึ่งสำหรับครอบครัวของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นในที่สุดด้วยด้วยเลขชี้กำลังสำหรับใด ๆทำได้สำหรับขนาดใหญ่พอ$a> 0$$Pn(f) \le a\log rk(f)$$f$$D(f) \le (2a\log rk(f))^2$$rk(f)$$|X|+|Y|$$2+\epsilon$$\epsilon > 0$$|X|+|Y|$. (จำได้ว่าการคาดคะเนตำแหน่งอันดับบันทึกของLovász-Saks บอกว่ามีค่าคงที่เช่นนั้นสำหรับฟังก์ชันบูลีนทุก ; นี่คือ อันดับของเมทริกซ์การสื่อสารของเหนือ reals)$c>0$$D(f) \le (\log rk(f))^c$$f$$rk(f)$$f$

ในทำนองเดียวกันถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่เพียงอันเดียวที่มีรูปสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ จำนวนมากรวมกันแล้วจำนวนพาร์ติชั่นจะให้ความแข็งแรงมากกว่าขนาดของบันทึกของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ที่สุด อย่างไรก็ตามการคาดคะเนบันทึกอันดับเทียบเท่ากับการคาดคะเนเกี่ยวกับขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ที่สุด (Nisan และ Wigderson 1995, ดอย: 10.1007 / BF01192527 , ทฤษฎีบท 2) ดังนั้นการใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียวจึงไม่เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันว่า "เหมือนกับ" โดยใช้หมายเลขพาร์ติชัน แต่จะเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดหากการคาดคะเนบันทึกอันดับ

โดยสรุปขนาดล็อกของชุดการหลอกลวงที่ใหญ่ที่สุดอาจมีขนาดเล็กกว่าหมายเลขพาร์ติชัน อาจมีช่องว่างระหว่างเทคนิคขอบล่างอื่น ๆ และหมายเลขพาร์ติชัน แต่ถ้าการคาดคะเนบันทึกระดับการจัดตำแหน่งแล้วช่องว่างเหล่านี้มีขนาดเล็ก

ด้วยการใช้ความคิดขนาดที่ขยายขนาดปกติ (ของ cardinality) ขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียวใด ๆ สามารถใช้เพื่อสรุปชุดหลอกและเพื่อลดความซับซ้อนของการสื่อสาร (ดู KN 1.24) ฉันไม่แน่ใจว่าขนาด "ใหญ่ที่สุด" ทั่วไปของสี่เหลี่ยมขนาดเดียวใด ๆ ที่ใกล้เคียงกับความซับซ้อนในการสื่อสาร

ตรงกันข้ามกับการสนทนาข้างต้นสำหรับฟังก์ชั่นบูลีนสำหรับฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่บูลีนช่องว่างระหว่างและอาจเป็นเลขยกกำลัง KN 2.23 ยกตัวอย่าง: ให้เป็นฟังก์ชันที่คืนค่าขนาดของการแยกของเซตที่แสดงโดยเวกเตอร์คุณลักษณะอินพุตสองตัว สำหรับฟังก์ชั่นนี้เข้าสู่ระบบการจัดอันดับเป็นn ตอนนี้ชุดของเซตที่ไม่ตัดกันทั้งหมดมีองค์ประกอบเท่าที่ฉันสามารถบอกได้จะต้องไม่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียวขนาดใหญ่กว่าชุดนี้ หากสิ่งนี้ถูกต้องดังนั้นดังนั้นสำหรับฟังก์ชั่นนี้ ,$D(f)$$\log rk(f)$$f$$\log n$$3^n$$D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$$D(f)$$Pn(f)$และขนาดของบันทึกของสี่เหลี่ยมที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเดียวนั้นอยู่ที่เท่าของกันและกันโดยที่อยู่ห่างไกลจากอันดับล็อก แยกเล็ก ๆ ดังนั้นระหว่างและอาจจะเป็นไปได้ในกรณีที่ไม่ใช่แบบบูล แต่พวกเขาจะไม่เกี่ยวข้องในทางที่ชัดเจนที่จะเข้าสู่ระบบการจัดอันดับของเมทริกซ์ของฉฉันไม่ได้ตระหนักถึงงานที่ตีพิมพ์ใด ๆ ที่พูดถึงว่ามาตรการเหล่านี้เกี่ยวข้องกันอย่างไรในกรณีที่ไม่ใช่บูลีน$2.5$$Pn(f)$$D(f)$$f$

ในที่สุด Dietzfelbinger และคณะ นอกจากนี้ยังกำหนดขอบเขตการหลอกลวงที่ขยายขอบเขต generalising เงื่อนไขการหลอกลวงจากคู่ ("คำสั่ง 1" ส่วนย่อย) ไปยังชุดย่อยขนาดใหญ่ขององค์ประกอบ monochromatic; เงื่อนไขการหลอกลวงแบบขยายนั้นกำหนดให้ submatrix ที่ถูกขยายโดยองค์ประกอบ monochromatic นั้นไม่ใช่ monochromatic ยังไม่ชัดเจนว่าพฤติกรรมนี้เป็นอย่างไรเมื่อคำสั่งของชุดย่อย monochromatic เพิ่มขึ้นเมื่อเราต้องแบ่งขนาดของการหลอกลวงแบบขยายตามคำสั่งและพิจารณามูลค่าที่ใหญ่ที่สุดเหนือคำสั่งทั้งหมด แต่ความคิดนี้สิ้นสุดขึ้นเป็นใกล้ต่ำผูกไว้กับ(ฉ)$Pn(f)$