Clique ที่ปลูกใน G (n, p), p ที่ต่างกัน

ในปัญหากลุ่มพรรคพวกปลูกหนึ่งต้องกู้คืน -clique ปลูกใน Erdos-Renyi สุ่มกราฟP) นี้ได้รับส่วนใหญ่มองที่สำหรับซึ่งในกรณีนี้มันเป็นที่รู้จักกันเป็นพหุนามเวลาแก้ไขถ้าและคาดคะเนได้ยากสำหรับ{n}$k$$G(n,p)$$p=\frac{1}{2}$$k > \sqrt{n}$$k< \sqrt{n}$

คำถามของฉันคืออะไรเป็นที่รู้จัก / เชื่อเกี่ยวกับค่าอื่น ๆ ของ ? โดยเฉพาะเมื่อเป็นค่าคงที่ใน ? มีหลักฐานหรือไม่ว่าในทุก ๆ ค่าของมีที่ปัญหานั้นยากต่อการคำนวณ$p$$p$$[0,1]$$p$$k=n^{\alpha}$

อ้างอิงจะเป็นประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะที่ผมยังไม่ได้ประสบความสำเร็จในการหาวรรณกรรมใด ๆ ซึ่งมีลักษณะที่ปัญหาสำหรับค่าอื่น ๆ กว่า{2}$p=\frac{1}{2}$

ถ้า $p$ เป็นค่าคงที่ดังนั้นขนาดของกลุ่มสูงสุดใน $G(n,p)$ รูปแบบเกือบทุกค่าคงที่ $\log n$โดยมีสัดส่วนคงที่เป็น $\log (1/p)$. (ดูBollobás, p.283 และ Corollary 11.2)$p$ ดังนั้นจึงไม่ควรส่งผลกระทบต่อความแข็งของการปลูกด้วย $\omega(\log n)$vertices ตราบใดที่ clique นั้นเล็กเกินไปสำหรับวิธี algorithmic ที่มีอยู่ในการทำงาน ฉันจึงคาดหวังว่าจะมีค่าคงที่$p \ne 1/2$ ความแข็งของ Plante Clique ควรทำตัวเหมือน $p=1/2$ กรณีแม้ว่ามันจะเป็นไปได้ว่ากรณีของ $p$ ใกล้มากถึง 0 หรือ 1 อาจทำงานแตกต่างกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ $p\ne 1/2$ เกณฑ์เดียวกันของ $\Omega(n^{\alpha})$ สำหรับ $\alpha = 1/2$สำหรับขนาดของกลุ่มนำไปใช้ข้างต้นซึ่งปัญหาจะกลายเป็นเวลาพหุนาม คุณค่าของ$\alpha$ ที่นี่คือ $1/2$ (และไม่ใช่ค่าอื่น ๆ ) เนื่องจากฟังก์ชันLovász theta ของ $G(n,p)$ เกือบจะแน่นอนระหว่าง $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ และ $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$โดยJuhász อัลกอริทึมของ Feige และ Krauthgamer ใช้ฟังก์ชันLovász theta เพื่อค้นหาและรับรองกลุ่มที่ใหญ่ที่สุดดังนั้นจึงต้องอาศัยขนาดเกณฑ์นี้สำหรับกลุ่มผู้ปลูก

แน่นอนว่าอาจมีอัลกอริทึมที่แตกต่างกันซึ่งไม่ได้ใช้ฟังก์ชันLovász theta และสำหรับค่าของ $p$ ห่างไกลจาก $1/2$ สามารถหากลุ่มที่ปลูกด้วยคำพูด $n^{1/3}$จุด เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่านี่ยังเปิดอยู่

Feige และ Krauthgamer ก็คุยกันเช่นกัน $p$ ไม่คงที่ แต่ขึ้นอยู่กับ $n$และใกล้เคียงกับ 0 หรือใกล้เคียงกับ 1 ในกรณีเหล่านี้มีวิธีการอื่นที่มีอยู่เพื่อค้นหากลุ่มที่ปลูก

• BélaBollobás กราฟสุ่ม (ฉบับที่ 2) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ 2544
• Ferenc Juhász พฤติกรรม asymptotic ของLovász$\vartheta$ฟังก์ชั่นสำหรับกราฟสุ่ม Combinatorica 2 (2) 153–155, 1982. ดอย: 10.1007 / BF02579314
• Uriel Feige และ Robert Krauthgamer การค้นหาและรับรองกลุ่มใหญ่ที่ซ่อนอยู่ในกราฟ semirandomโครงสร้างสุ่ม & อัลกอริทึม16 (2) 195–208, 2000 ดอย: 10.1002 / (SICI) 1098-2418 (200003) 16: 2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO 2-A

ก๊กปลูกสำหรับ $p \neq \frac{1}{2}$เป็นกรณีพิเศษของปัญหานี้และผลลัพธ์ใหม่ (ขอบเขตต่ำกว่า) ตามที่ระบุไว้ใน p2 เป็นต้นและจะรวมการอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง (2015)

เราแสดงให้เห็นว่าสมมุติฐานของ Exponential Time Exponential สมมติโดยแยกความแตกต่างระหว่างกราฟที่มีการเหนี่ยวนำ $k$-clique และกราฟที่ทั้งหมด $k$- กราฟิคมีความหนาแน่นสูงสุด $1 −\varepsilon$, ต้องใช้ $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$ เวลา.

• ETH ความแข็งสำหรับ Densest-$k$- กราฟิคที่สมบูรณ์แบบ / Braverman, Ko, Rubinstein, Weinstein

เอกสารใหม่ที่มีอัลกอริธึมสำหรับการสุ่มตามลำดับนี้ขึ้นอยู่กับอัลกอริทึม SVD ดูหน้า 4 สำหรับการวิเคราะห์กลุ่ม (ซ่อนเร้น)

ALGORITHM SVD ที่เรียบง่ายสำหรับการค้นหาพาร์ติชันที่ซ่อน Van Vu

นามธรรม. การค้นหาพาร์ติชันที่ซ่อนอยู่ในสภาพแวดล้อมแบบสุ่มเป็นปัญหาทั่วไปและสำคัญซึ่งประกอบด้วยคำถามย่อย ๆ ที่มีชื่อเสียงมากมายเช่นการค้นหากลุ่มที่ซ่อนอยู่การหาสีที่ซ่อนอยู่การหาสีที่ซ่อนอยู่การค้นหา bipartition ที่ซ่อนอยู่เป็นต้นในบทความนี้ อัลกอริทึมสำหรับวัตถุประสงค์นี้ตอบคำถามของ McSherry อัลกอริธึมนี้ง่ายต่อการติดตั้งและใช้งานกับกราฟที่มีความหนาแน่นสูงสุด