มีหลักฐานที่ไม่สร้างสรรค์ของการมีอยู่ของเครื่องทัวริง“ เล็ก” / NFAs หรือไม่?

หลังจากอ่านคำถามที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับการพิสูจน์การมีอยู่ที่ไม่สร้างสรรค์ของอัลกอริทึมฉันสงสัยว่ามีวิธีการแสดงการดำรงอยู่ของเครื่องคำนวณขนาดเล็ก (พูด, ฉลาด - รัฐ) โดยไม่ต้องสร้างจริง

อย่างเป็นทางการ:

สมมติว่าเราได้รับภาษาและแก้ไขแบบจำลองการคำนวณบางอย่าง (NFAs / เครื่องทัวริง / ฯลฯ ) $L\subseteq \Sigma^*$

มีผลการดำรงอยู่ที่ไม่สร้างสรรค์แสดงเครื่อง state สำหรับมีอยู่ แต่ไม่มีความสามารถในการค้นหา (ในเวลา) หรือไม่ $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

ตัวอย่างเช่นมีภาษาปกติที่เราสามารถแสดงแต่เราไม่รู้วิธีสร้าง state automaton เพื่ออะไร $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

(คือความซับซ้อนของรัฐที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ของเช่นจำนวนของรัฐใน NFA ขั้นต่ำสุดที่รับ ) $nsc(L)$ $L$ $L$

แก้ไข: หลังจากการสนทนากับ Marzio (ขอบคุณ!) ฉันคิดว่าฉันสามารถกำหนดคำถามได้ดีกว่าดังต่อไปนี้:

มีภาษาและโมเดลการคำนวณที่เก็บไว้ดังต่อไปนี้: $L$

เรารู้วิธีสร้างเครื่องจักรที่คำนวณที่มี state $L$ $m$

เรามีหลักฐานว่าเครื่อง states สำหรับ มีอยู่ (ที่ ) แต่เราไม่สามารถหามันได้เลยหรือใช้เวลาชี้แจงแทนเพื่อคำนวณ $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— RB
แหล่งที่มา

nsc (L) คืออะไร คำถามที่ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับการบีบอัด / ซับซ้อน Kolmogorov ที่ถามเพื่อหาขนาดเล็ก (EST) เครื่องเพื่อเป็นตัวแทนของสาย ...

— vzn

nsc (L) คือความซับซ้อนของสถานะที่ไม่สามารถกำหนดได้ของ L (จำนวนของรัฐใน NFA ที่เล็กที่สุดที่รับ L)

— RB

แนวคิด / มุมมองอื่นอาจมีคลาส "เล็ก" บางส่วน (โมเดลการคำนวณอื่น) ซึ่งพิสูจน์แล้วว่าพวกเขาสามารถคำนวณหน้าที่บางอย่างได้ แต่การก่อสร้างจริงนั้นยุ่งยากมาก? เมื่อเร็ว ๆ นี้ SJ กล่าวถึง Barrington thm ที่โปรแกรมการแยก 5 ความกว้างสามารถคำนวณส่วนใหญ่ ... ?

— vzn

@vzn หลักฐานของทฤษฎีบทของ Barrington ให้ขั้นตอนง่าย ๆ ในการแปลงสูตรเป็นโปรแกรมการแยกสาขา

— Sasho Nikolov

@RB: ตกลงคุณสามารถค้นหาตัวอย่างที่น่าสนใจจากความซับซ้อนของทรัพยากรที่ จำกัด ขอบเขต Kolmogorov (โดยเฉพาะอย่างยิ่งความซับซ้อนที่ จำกัด เวลา) ตัวอย่างเช่นเมื่อได้รับสตริง

เครื่องที่เล็กที่สุดที่ทำงานในเวลา

ที่พิมพ์

คืออะไร? ในกรณีนี้เราสามารถสร้าง TM ที่พิมพ์

ได้อย่างง่ายดายแต่การค้นหาสิ่งที่เล็กที่สุดนั้นต้องการสแกน TM ทั้งหมด

(เวลาที่กำหนดทำให้การคำนวณ) เมื่อฉันมีเวลามากขึ้นฉันจะขยายคำตอบของฉัน

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Marzio De Biasi

คำตอบ:

เฉพาะความคิดเห็นแบบขยายพร้อมตัวอย่างเล็กน้อย คุณสามารถเลือกภาษาแบบองค์ประกอบเดียว:

L_{k} = {M | σ (M) = Σ (k)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

คือประกอบด้วยตัวแรก (ตามลำดับคำศัพท์) บีเวอร์ยุ่งเครื่องทัวริงขนาด (เครื่องทัวริงขนาดที่บรรลุจำนวนมากที่สุดของ 1s บนเทปหลังจากหยุด) $L_k$ $k$ $k$

สำหรับทุกภาษาเป็นปกติ ... แต่เราไม่มีความคิดเกี่ยวกับวิธีสร้าง DFA ขนาดเล็กที่จำได้ (แม้ว่าจะมีสถานะเพียง ) :-) $k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

แม้ว่าฉันจะเห็นด้วยกับการทำงาน แต่ฉันก็กำลังมองหาเทคนิคการแสดงภาษาสำหรับภาษาที่ให้ไว้อย่างชัดเจน L.

— RB

"ภาษาที่ระบุอย่างชัดเจน" คืออะไร

— Jeffε

ภาษา (สำหรับบางหมายเลขเฉพาะ ) สามารถรับรู้โดย - สถานะขอบเขต - ข้อผิดพลาดควอนตัม จำกัด ออโตมาตา (QFAs) แต่การพิสูจน์ไม่ใช่ - สร้างสรรค์ $\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

ที่ดีที่สุดที่รู้จักกันในจำนวนที่ได้รับสร้างสรรค์ของรัฐที่เป็นสำหรับ QFAs ล้อมรอบข้อผิดพลาดตระหนักถึงพี $O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

REF: มาตรา 4.2 ของ(Ambainis และ Yakaryilmaz, 2015)

— Abuzer Yakaryilmaz
แหล่งที่มา

อีกวิธีคือใช้บทแทรกของ Higman :

ภาษาที่ปิดภายใต้ subwords เป็นปกติ

$u$ $v$ $u$ $v$

ดังนั้นใช้ภาษาใด ๆ L การปิดคำย่อยนั้นเป็นเรื่องปกติ

— CP
แหล่งที่มา