จำเป็นต้องเรียกการคูณเมทริกซ์

กรงเล็บเป็น{1,3} อัลกอริทึมที่น่ารำคาญจะตรวจสอบกรงเล็บในเวลา มันสามารถทำได้ในโดยที่คือเลขชี้กำลังของการคูณเมทริกซ์เร็วดังนี้: ใช้กราฟย่อยที่เหนี่ยวนำโดยสำหรับแต่ละจุดยอดและหารูปสามเหลี่ยมใน ส่วนประกอบของมัน $K_{1,3}$ $O(n^4)$ $O(n^{\omega+1})$ $\omega$ $N[v]$ $v$

เท่าที่ฉันรู้ขั้นตอนวิธีพื้นฐานเหล่านี้เป็นที่รู้จักกันเท่านั้น Spinrad ระบุไว้ในหนังสือของเขา "การเป็นตัวแทนกราฟที่มีประสิทธิภาพ" การตรวจสอบกรงเล็บในเวลาเป็นปัญหาเปิด (8.3, หน้า 103) สำหรับขอบเขตล่างเรารู้ว่าอัลกอริทึม - เวลาจะหมายถึง - อัลกอริทึมสำหรับการค้นหารูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเราอาจพิจารณาเป็นขอบเขตล่าง $o(n^{\omega+1})$ $O(n^c)$ $O(n^{\max{(c,2)}})$ $\Omega(n^\omega)$

คำถาม:

มีความคืบหน้าเกี่ยวกับเรื่องนี้ไหม หรือความคืบหน้าในการแสดงมันเป็นไปไม่ได้?
มีปัญหาตามธรรมชาติอื่น ๆ อีกหรือไม่กับ $O(n^{\omega+1})$ - อัลกอริธึมที่ดีที่สุด?

ข้อสังเกต:

ฉันขอการตรวจจับกรงเล็บอย่างชัดเจนแทนที่จะรับรู้กราฟที่ปราศจากกรงเล็บ แม้ว่าอัลกอริทึมมักจะแก้ปัญหาทั้งสองอย่างมีข้อยกเว้นเล็กน้อย
มีการอ้างสิทธิ์ใน Handbook of Algorithms และ Theoretical Computer Science ว่าสามารถพบได้ในเวลาเชิงเส้น แต่เป็นเพียงการพิมพ์ผิด (ดู "การแสดงกราฟที่มีประสิทธิภาพ")

graph-theory graph-algorithms graph-classes

— Yixin Cao
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้วิธีการของAlon และคณะในการหารูปสามเหลี่ยมในสำหรับแต่ละโหนดที่ลงท้ายด้วยซึ่งเป็น ดีกว่าถ้ากราฟไม่หนาแน่นเกินไป

O (| E |^{1.41})

$O(|E|^{1.41})$

O (| V | \cdot | E |^{1.41})

$O(|V|\cdot |E|^{1.41})$

| V |^{ω + 1}

$|V|^{\omega+1}$

— RB

@RB ขอบคุณสำหรับการชี้ให้เห็น แนวคิดพื้นฐานยังคงเรียกใช้อะไรก็ตามที่เป็นสามเหลี่ยมตรวจจับอัลกอริทึมครั้งซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันต้องการหลีกเลี่ยง

n

$n$

— Yixin Cao

เราคาดหวังได้อย่างไรว่าจะพบอัลกอริธึมที่ไม่เกี่ยวข้องกับการหารูปสามเหลี่ยม? เพราะสิ่งที่อัลกอริทึมควรตรวจสอบเพื่อนบ้านของแต่ละจุดสุดยอด ฉันหมายถึงว่าทรัพย์สินนั้นเป็นทรัพย์สินในท้องถิ่นมากยกเว้นความแตกต่างของปัจจัยคงที่ทุกจุดยอดควรเห็น (หรือฉันไม่สามารถจินตนาการถึงอัลกอริธึมตามธรรมชาติที่หลีกเลี่ยงพื้นที่นี้) คุณมีความคิดที่คลุมเครือบ้างไหม?

— Saeed

อาจจะเป็นการดีที่จะพูดถึงว่าถ้าเราสามารถหาก้ามปูในเวลา f (n) เรายังสามารถหาสามเหลี่ยมในเวลา f (n + 1) (เพียงแค่เติมกราฟและเพิ่มจุดสุดยอดที่เชื่อมโยงกับทุกคน ) ดังนั้นเราจึงไม่ควรหวังว่าจะได้พบกับสิ่งที่ดีกว่าn

n^{ω}

$n^\omega$

— domotorp

@domotorp ดูเหมือนว่าส่วนนั้นชัดเจนวิธีอื่น ๆ ไม่ชัดเจนฉันหมายถึงสาเหตุที่เราต้องค้นหาเชิงเส้น ดังที่ Yixin ชี้ให้เห็นว่าอาจมีอัลกอริธึมอื่นที่ไม่ใช้อัลกอริธึมการค้นหารูปสามเหลี่ยมและแก้ปัญหาในซึ่งฉันคิดว่าหาอัลกอริธึมได้ยากและอาจง่ายกว่า เพื่อแสดงว่าอัลกอริทึมใด ๆ ใช้การค้นหารูปสามเหลี่ยมเป็นรูทีนย่อย (หรือสามารถแปลง) ด้วยการค้นหาแบบเชิงเส้น

o (n^{ω + 1})

$o(n^{\omega +1})$

— Saeed

คำตอบ:

ฉันคิดว่าเราสามารถทำได้ดีกว่าเล็กน้อยสำหรับกราฟที่หนาแน่นโดยใช้การคูณเมทริกซ์สี่เหลี่ยม แนวคิดที่คล้ายคลึงกันถูกใช้โดย Eisenbrand และ Grandoni ("ความซับซ้อนของกลุ่มพารามิเตอร์คงที่และชุดควบคุม", Theoretical Computer Science Volume 326 (2004) 57–67) สำหรับการตรวจจับ 4 กลุ่ม $O(n^{1+\omega})$

ให้เป็นกราฟที่เราต้องการตรวจจับการมีอยู่ของเล็บ ให้เป็นชุดของ (สั่ง) คู่ของจุดในVพิจารณา Boolean matrixขนาดต่อไปนี้: แต่ละแถวถูกทำดัชนีโดย , แต่ละคอลัมน์จะถูกทำดัชนีโดยบางส่วน , และรายการที่เกี่ยวข้องคือหนึ่งถ้าหาก ,และE พิจารณาผลิตภัณฑ์แมทริกซ์บูลีนของและ transpose ของ T กราฟมีเล็บถ้าหากมีอยู่ $G=(V,E)$ $A$ $V$ $M$ $|V|\times |A|$ $u\in V$ $(v,w)\in A$ $\{u,v\}\in E$ $\{v,w\}\in E$ $\{u,w\}\notin E$ $M$ $M^T$ $G$ $\{u,v\}\notin E$ เช่นนั้นรายการในแถวที่จัดทำดัชนีโดยและคอลัมน์ที่จัดทำดัชนีโดยเป็นหนึ่ง $MM^T$ $u$ $v$

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมนี้คือความซับซ้อนของการคำนวณผลิตภัณฑ์บูลีนของเมทริกซ์โดยเมทริกซ์โดยที่หมายถึงจำนวนของจุดยอดในกราฟ เป็นที่รู้จักกันว่าผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ดังกล่าวสามารถคำนวณได้ในเวลาซึ่งจะดีกว่าที่ดีที่สุดที่รู้จักขอบเขตบน\แน่นอนถ้า (ตามที่คาดคะเนได้) จากนั้นทั้งสองวิธีให้ความซับซ้อนเดียวกัน3) $n\times n^2$ $n^2\times n$ $n$ $O(n^{3.3})$ $O(n^{1+\omega})$ $\omega$ $\omega=2$ $O(n^3)$

— Francois Le Gall
แหล่งที่มา

ที่ดี! นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการสำหรับคำถามแรกของฉัน: การเรียกใช้การคูณเมทริกซ์เพียงครั้งเดียวแม้ว่าจะเป็นแบบที่ใหญ่กว่า ฉันจะรอความคิดเห็นหรือคำตอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำถามที่สองก่อนที่จะตอบคำถามนี้

— Yixin Cao

ฉันไม่รู้วิธีหลีกเลี่ยงการคูณเมทริกซ์แต่คุณสามารถวิเคราะห์ในแบบที่เวลามีประสิทธิภาพเท่ากับจำนวนที่น้อยลง เคล็ดลับนี้มาจาก $n$

Kloks, Ton; Kratsch, Dieter; Müller, Haiko (2000), "การค้นหาและนับจำนวนกราฟย่อยย่อยที่เกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ", ตัวประมวลผลข้อมูล 74 (3–4): 115–121, ดอย: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00047-8, MR 1761552

ข้อสังเกตแรกคือเมื่อคุณคูณเมทริกซ์เมทริกซ์จะไม่ใช่แต่โดยที่คือระดับของจุดยอดแต่ละอันเพราะสิ่งที่คุณมองหาคือสามเหลี่ยมร่วม ในละแวกของแต่ละจุดสุดยอด $n\times n$ $d\times d$ $d$

ประการที่สองในกราฟปราศจากกรงเล็บทุกจุดสุดยอดจะต้องมีเพื่อนบ้านสำหรับมิฉะนั้นชุดของเพื่อนบ้านจะมีขอบน้อยเกินไปที่จะหลีกเลี่ยงการใช้สามเหลี่ยมในส่วนประกอบ ดังนั้นเมื่อคุณกำลังทำคูณเมทริกซ์คุณต้องการเพียงที่จะทำในการฝึกอบรมที่มีขนาดมากกว่าn $O(\sqrt m)$ $O(\sqrt m)$ $n$

นอกจากนี้แต่ละขอบสามารถมีส่วนร่วมกับขนาดของปัญหาการคูณเมทริกซ์สำหรับจุดยอดสองจุดเท่านั้น กรณีที่เลวร้ายที่สุดที่เกิดขึ้นเมื่อสำหรับขนาดรวมของปัญหาเหล่านี้คูณเมทริกซ์คือการแพร่กระจายเข้าไปในปัญาขนาดแต่ละซึ่งจะช่วยให้เวลารวมผูกพันของ , การปรับปรุงกราฟกระจัดกระจายเหนือกล่าวถึงโดย R B $2m$ $O(\sqrt m)$ $O(\sqrt m)$ $O(m^{(1+\omega)/2})$ $O(nm^{\omega/2})$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

ว้าวนั่นเป็นความคิดที่ฉลาดฉันกำลังคิดว่าเป็นไปได้ที่จะทำการค้นหาแบบไม่เชิงเส้น (จริง ๆ แล้วหักล้างสิ่งนี้) และไม่ได้คิดถึงคุณสมบัติที่แท้จริงของปัญหา

— Saeed

ขอบคุณเดวิด ฉันเปิดทิ้งไว้ซักครู่เพราะคำถามที่สองของฉันดูเหมือนจะยังไม่สังเกต

— Yixin Cao