ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับการคาดคะเนของ Kolmogorov เกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจรของ P

อ้างอิงถึงประวัติศาสตร์ (ไม่ยืนยัน) บัญชี Kolmogorov คิดว่าทุกภาษาในมีความซับซ้อนของวงจรเชิงเส้น (ดูคำถามก่อนหน้านี้คาดเดา Kolmogorov ที่มีวงจรเชิงเส้นขนาด .) หมายเหตุว่ามันหมายถึง\ mathsf {P} \ neq \ mathsf {}$\mathsf{P}$$P$$\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$

อย่างไรก็ตามการคาดเดาของ Kolmogorov มีแนวโน้มว่าจะล้มเหลว ตัวอย่างเช่น Ryan Williams เขียนในรายงานล่าสุด: "การคาดคะเนน่าประหลาดใจถ้าเป็นจริงสำหรับภาษาใน$\mathsf{P}$ต้องใช้เวลา$n^{100^{100}}$ ดูเหมือนว่าไม่น่าจะซับซ้อนของปัญหาดังกล่าว จะลดขนาดลงอย่างน่าอัศจรรย์ถึงขนาด$O(n)$เพียงเพราะวงจรที่แตกต่างกันสามารถออกแบบสำหรับความยาวอินพุตแต่ละตัวได้ "

ในทางตรงกันข้าม Andrey Kolmogorov (1903-1987) ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของศตวรรษที่ 20 มันค่อนข้างยากที่จะจินตนาการว่าเขาจะเสนอการคาดเดาที่ไร้สาระอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นฉันพยายามค้นหาข้อโต้แย้งบางอย่างที่อาจสนับสนุนการคาดเดาที่น่าประหลาดใจของเขา นี่คือสิ่งที่ฉันคิดได้:

สมมติ$\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$(หลิน) จากนั้นเราสามารถเลือกภาษา$L\in \mathsf{P}$เช่นนั้น$L$มีความซับซ้อนเป็นพิเศษทั้งในเครื่องแบบและในรูปแบบที่ไม่เหมือนกัน มีความเป็นไปได้สองอย่าง:

1. มีที่รู้จักกันเป็น อย่างชัดเจนอัลกอริทึม (ทัวริงเครื่อง) ที่ยอมรับL$L$จากนี้เราสามารถสร้างตระกูลฟังก์ชั่นที่ชัดเจนที่จะต้องมีความซับซ้อนของวงจรแบบซุปเปอร์ไลน์ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้อาจดูได้ยากเนื่องจากไม่มีใครสามารถหาตัวอย่างเช่นนี้ได้ในการวิจัยวงจรที่ยาวนานกว่า 60 ปี

2. มีเป็นที่รู้จักกันไม่ชัดเจนอัลกอริทึมสำหรับL$L$ตัวอย่างเช่นการดำรงอยู่ของมันได้รับการพิสูจน์ด้วยวิธีการที่ไม่สร้างสรรค์เช่นสัจพจน์ของทางเลือก หรือแม้ว่าจะมีอัลกอริทึมที่ชัดเจนอยู่แล้วก็ไม่มีใครสามารถค้นหาได้ อย่างไรก็ตามมีหลายภาษาที่สามารถเล่นบทบาทของ$L$ได้อย่างไม่น่าเป็นไปได้อีกครั้งว่าพวกเขาทั้งหมดจะทำงานในแบบที่ไม่เป็นมิตร

แต่ถ้าเรายกเลิกตัวเลือกทั้งสองอย่างไม่น่าเป็นไปได้โอกาสเดียวที่เหลืออยู่ก็คือ$L$นั้นไม่มีอยู่จริง นั่นหมายถึง $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ซึ่งเป็นการคาดเดาของ Kolmogorov อย่างแม่นยำ

คำถาม:คุณคิดว่าจะมีการโต้แย้งใด ๆ เพิ่มเติมเกี่ยวกับการต่อต้านการคาดคะเนของ Kolmogorov หรือไม่?

เชิงอรรถของกระดาษของฉันที่คุณอ้างถึงอ้างถึง "การโต้เถียง" แบบแก้ปัญหาอย่างน้อยสิ่งที่เราคิดว่าเป็นสัญชาตญาณของ Kolmogorov - การแก้ไขปัญหาเชิงบวกของปัญหาที่สิบสามของฮิลแบร์ต

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteenth_problem

โดยเฉพาะอย่างยิ่งได้รับการพิสูจน์โดย Kolmogorov และอาร์โนลว่าการทำงานใด ๆ อย่างต่อเนื่องในตัวแปรสามารถแสดงเป็นองค์ประกอบของ "ง่าย" ฟังก์ชั่น: นอกเหนือจากสองตัวแปรและฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องในหนึ่งตัวแปร ดังนั้นในช่วง "พื้นฐาน" ของการทำงานอย่างต่อเนื่องตัวแปรและนอกจากสองตัวแปรทุกฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องในตัวแปรมี "วงจรซับซ้อน"2)O ( n 2 ) n O ( n 2$n$$O(n^2)$$n$$O(n^2)$

ดูเหมือนว่า Kolmogorov เชื่อว่ามีอะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องโดยที่ "ต่อเนื่องในตัวแปร " กลายเป็น "บูลีนในตัวแปรและโพลี - เวลาคำนวณได้" และที่ "พื้นฐาน" ที่ให้ไว้ข้างต้นจะกลายเป็นฟังก์ชันบูลีนสองตัวแปรn ( n $n$$n$$(n)$

คำตอบของ Stasys ในคำถามก่อนหน้านี้ยังมีสัญชาตญาณบางอย่างที่อาจเกิดขึ้นในความโปรดปราน: /cstheory//a/22048/8243 ฉันจะพยายามพูดซ้ำที่นี่เมื่อฉันเข้าใจ สัญชาตญาณที่สำคัญคือการดูวงจรไม่ใช่อัลกอริธึม แต่เป็นการเข้ารหัสของชุด (ชุดที่ยอมรับ) เราจะได้รับบนผูกพันในการเข้ารหัสขนาดโดยขั้นตอนวิธีการทำงานเวลา (นั่นคือแปลเวลา TM เป็น size-วงจร) แต่ก็ไม่ชัดเจนว่าความสัมพันธ์การสนทนาควรมีอยู่ หากภาษาอยู่ในดังนั้นนี่อาจหมายความว่าการเป็นสมาชิกนั้น "ท้องถิ่น" เพียงพอที่จะเข้ารหัสอย่างรัดกุมt $t$$t$$\mathsf{P}$

นั่นคือการเป็นสมาชิกในเป็นคำสั่งเกี่ยวกับเวลาทำงานของอัลกอริทึมในขณะที่วงจรเชิงเส้นคือ (อาจ) คำสั่งเกี่ยวกับการเข้ารหัสขนาดของชุดของคำที่มีความยาวคงที่ ทั้งสองเป็นข้อความเกี่ยวกับความเรียบง่ายของภาษา แต่พวกเขาอาศัยอยู่ในโลกที่แตกต่างกันมาก$\mathsf{P}$

สัญชาตญาณ Stasys กล่าวถึงอีกอย่างหนึ่งมาจาก "สตริงตัวบ่งชี้" ของภาษาซึ่งจะทำให้เป็นทางการเป็นสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่บิตคือถ้าสตริง lexicographic th อยู่ในภาษาและเป็นมิฉะนั้น A (polytime) TM สำหรับภาษานั้นคือ oracle (เร็ว) สำหรับสตริง --- ที่ให้เลขฐานสองให้สร้าง th bit วงจร A (ขนาดเชิงเส้น) สำหรับอินพุตของความยาวคือ oracle (กระชับ) สำหรับความยาว -คำนำหน้าของสตริง การคาดเดากลายเป็น "สตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดใด ๆ ที่มี oracle ที่ 'เร็ว' มีคำนำหน้า 'oracle ที่รัดกุม'1 j 0 j j n 2 $j$$1$$j$$0$$j$$j$$n$$2^n$

ไม่มีข้อใดอธิบายได้ว่าทำไมและ" linear "อาจเป็นพารามิเตอร์ที่เหมาะสมสำหรับคำสั่ง แต่ฉันคิดว่าพวกเขาแสดงให้เห็นว่าสัญชาตญาณตามธรรมชาติอย่างใดอย่างหนึ่ง - วงจรนั้นทำหน้าที่เหมือนอัลกอริธึม วงจรที่มีความซับซ้อนคล้ายกัน - อาจทำให้เข้าใจผิด$``\mathsf{P}"$