ซึ่งครอบครัวของกราฟเป็นทั่วไปภูมิศาสตร์ใน ?

ในฐานะที่เป็น @Marzio กล่าวถึงเกมต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันทั่วไปภูมิศาสตร์

รับกราฟและจุดเริ่มต้น , เกมถูกกำหนดดังนี้:$G=(V,E)$$v \in V$

ในแต่ละเทิร์น (ผู้เล่นสองคนสลับกัน) ผู้เล่นเลือกแล้วเกิดสิ่งต่อไปนี้:$u\in N(v)$

1. $v$เช่นเดียวกับทุกขอบถูกลบออกจากG$G$
2. $u\to v$ (เช่น$v$ได้รับการปรับปรุงให้เป็นจุดยอด$u$ )

ผู้เล่นที่ถูกบังคับให้เลือก "ปลายตาย" (เช่นจุดสุดยอดที่ไม่มีขอบออก)

กราฟครอบครัวใดเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุดที่คำนวณได้ในเวลาพหุนาม

ตัวอย่างเช่นมันง่ายที่จะเห็นว่าถ้า$G$เป็น DAG เราสามารถคำนวณกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผู้เล่นได้อย่างง่ายดาย

Generalized Geography (GG) นั้นสมบูรณ์แบบ PSPACE แม้จะอยู่ในกราฟ bipartite ที่มีแนวระนาบกำกับ แต่ตามรายงานใน:

Hans L. Bodlaender, ความซับซ้อนของเกมสร้างเส้นทาง , วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี, เล่มที่ 110, ฉบับที่ 1, 15 มีนาคม 1993, หน้า 215-245

GG (และตัวแปรที่สมบูรณ์แบบอื่น ๆ ของ PSPACE) เป็นเส้นตรงเวลาที่แก้ไขได้ในกราฟของ treewidth ที่มีขอบเขต

หมายเหตุด้านข้าง: หนึ่งในตัวแปรทางภูมิศาสตร์ทั่วไปที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์ว่าสมบูรณ์แบบ PSPACE คือเกมTron ( Light Cycles ): เนื่องจากกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางผู้เล่นสองคนเลือกจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกันสองจุด จุดสุดยอดจากหนึ่งก่อนหน้าของพวกเขาในแต่ละขั้นตอน เกมจะจบลงเมื่อผู้เล่นทั้งสองไม่สามารถเคลื่อนไหวได้อีกต่อไป ผู้เล่นที่ผ่านจุดยอดเยี่ยมชนะมากกว่า (คาดว่าจะเสร็จสมบูรณ์ในปีพ. ศ. 2533 โดย Bodlaender และ Kloks)
Tillmann Miltzow, Tron, เกม combinatorial บนกราฟนามธรรม (2011)

แก้ไข : ฉันสร้างโปรแกรมขนาดเล็กเพื่อทดสอบเกมบนกราฟกริดสี่เหลี่ยมทึบของ (ไม่ได้บอกทิศทาง) และผลแสดงให้เห็นว่ามันเป็นเวลาพหุนามที่แก้ได้สำหรับกราฟคลาสนี้ด้วย (สมมติว่าโหนดแรกที่ผู้เล่นเลือก A คือโหนดบนซ้าย):$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

อยากรู้อยากเห็นเมทริกซ์เดียวกันจะได้รับถ้าผู้เล่นสามารถเลือกโหนดเริ่มต้นโดยพลการ

ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นฉันคิดว่าความซับซ้อนของการตัดสินใจว่ามีกลยุทธ์ในการชนะเมื่อเล่น GG บนกราฟกริดที่เป็นของแข็ง (มีรูปร่างตามอำเภอใจ แต่ไม่มีรู) ไม่อาจพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย มัน (จริง ๆ แล้ว - ค่อนข้างเกี่ยวข้อง - ปัญหาของการตัดสินใจว่ากราฟกริดทึบมีเส้นทางมิลโตเนียนยังคงเปิดอยู่แม้ว่าการตัดสินใจว่ากราฟกริดทึบมีวัฏจักรแฮมิลตันเป็นเวลาพหุนามแก้ปัญหาได้)

บันทึกย่อสุดท้าย: GG เป็นเวลาพหุนามสามารถแก้ไขได้ในกราฟสมบูรณ์

ปัญหาคือ PSPACE สมบูรณ์แม้ใน digraphs ของต้นไม้กำกับความกว้าง1เพียงพิจารณาการก่อสร้าง PSPACE-ความแข็งที่ระบุไว้ในวิกิพีเดีย ถ้าเราลบจุดยอดออกจากกราฟกราฟที่เหลือคือ DAG ดังนั้นเราจึงสามารถย่อยสลายที่มีความกว้าง0จากนั้นใส่ลงในถุงทุกใบ (ทั้งถุงป้องกันหรือถุง arborescence) ของการย่อยสลายนี้ ผลนี้ในการสลายตัวของต้นไม้กำกับความกว้าง1(สิ่งนี้น่าสนใจเพราะมีปัญหาไม่มากนักที่ง่ายต่อ DAGs และยากในกราฟ treewidth กำกับโดยตรง)c G - c 0 c $1$$c$$G-c$$0$$c$$1$