การแยกคำด้วย DFA แบบสุ่ม

หนึ่งในปัญหาเปิดที่น่าสนใจเกี่ยวกับ DFA ที่อยู่ในรายการมีปัญหาแบบเปิดที่เหลืออยู่เกี่ยวกับ DFA หรือไม่ คือขนาดของ DFA ที่จำเป็นในการแยกสองสายของความยาวnฉันอยากรู้ว่ามีผลลัพธ์ใด ๆ เกี่ยวกับความสามารถของ DFA แบบสุ่มในการแยกสตริงที่กำหนด (ไม่ใช่สุ่ม) สองสตริง $n$

เห็นได้ชัดว่า DFA แบบสุ่มที่มีหลายสถานะเพียงพอจะแยกสตริงที่มีความน่าจะเป็นสูง โดยเฉพาะถ้า , สุ่ม DFA กับกล่าวไม่น่าจะเคยทบทวนสถานะเดียวกันเมื่อมันมาถึงสถานที่แรกที่และที่แตกต่างกันและดังนั้นจึงแยกและV $u,v \in \Sigma^n$ $O(n)$ $u$ $v$ $u$ $v$

เราทำได้ดีกว่านี้ไหม ตามหลักแล้วอะไรคือ st ที่เล็กที่สุดที่ DFA แบบสุ่มที่มีระบุแยกสตริงของความยาวด้วยความน่าจะเป็นในเชิงบวก (หรือความน่าจะเป็น ) การค้นหาสั้น ๆ ไม่ได้ทำให้เกิดผลลัพธ์มากมายในคุณสมบัติของ DFA แบบสุ่ม ทั้งหมดที่ผมสามารถหาได้http://arxiv.org/abs/1311.6830 $f(n)$ $f(n)$ $n$ $\ge 1/2$

dfa random-graphs

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา

ความน่าจะเป็นเชิงบวกไม่ใช่เงื่อนไขที่มีประโยชน์เป็นพิเศษที่นี่เนื่องจากเป็นเพียงการกล่าวถึงปัญหาเปิดใหม่ ความน่าจะเป็นสูงยังคงน่าสนใจ

— Geoffrey Irving

"แยก" หมายความว่าอะไร ยอมรับหนึ่งและปฏิเสธอีกหรือไม่ หากเป็นเช่นนั้นเห็นได้ชัดว่าระบุว่าเพียงพอหรือไม่

O (n)

$O(n)$

— usul

ใช่การแยกหมายความว่ายอมรับอย่างใดอย่างหนึ่ง และคุณพูดถูก: การถกเถียงเรื่องการแยกเรื่องไม่สำคัญที่สุดนั้นจริง ๆ แล้วต้องการรัฐ (สิ่งที่ฉันเขียนด้านบนผิด) แม้ว่าฉันจะแปลกใจถ้าน้อยกว่านั้นไม่พอเพียง

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffrey Irving

คุณจะไม่คาดหวังว่าขอบเขตจะขึ้นอยู่กับจำนวนคำที่ต่างกันหรือไม่ ดูเหมือนว่าคำที่แตกต่างกันด้วยตัวอักษรเดียวนั้นจะยากต่อการแยกแยะแบบสุ่มเพราะคุณต้องแยกแยะในช่วงการเปลี่ยนภาพนั้นและคำที่แตกต่างกันมากจะง่ายกว่า [เพื่อพูดคุยคุณสามารถลืมเกี่ยวกับคำนำหน้าทั่วไปที่ยาวที่สุด (คุณถึงสถานะสุ่มจากนั้น); จากนั้นตัวอักษรที่แตกต่างกันส่งคุณไปยังสถานะเดียวกันหรือไปยังรัฐอื่น ถ้ารัฐแตกต่างกันคุณต้องดู proba ของ resyncing และอยู่ในซิงค์ (เริ่มขึ้นอีกครั้งตามคำ) ... ]

— a3nm

ใช่เช่นเดียวกับปัญหาแบบเปิดฉันสนใจคำที่เป็นไปได้ยากที่สุดในการแยกแยะ คำที่แตกต่างกันในสถานที่เพียงไม่กี่แห่งสามารถถูกแยกด้วยสถานะดังนั้นจึงไม่น่าจะเป็นกรณีที่ยาก

O (\log n)

$O(\log n)$

— Geoffrey Irving

[แก้ไข: คำตอบนี้ใช้งานไม่ได้ดูความคิดเห็น]

นี่เป็นเพียงแนวคิดที่ไม่เป็นทางการและฉันไม่รู้ว่ามันจะช่วยได้หรือไม่ แต่มันนานเกินไปที่จะได้รับความคิดเห็น นอกจากนี้ฉันไม่คุ้นเคยกับการสุ่ม DFA ดังนั้นฉันอาจมีสัญชาตญาณผิด ๆ ว่าคุณควรให้เหตุผลเกี่ยวกับความน่าจะเป็นกับพวกเขาอย่างไร แต่หวังว่านี่จะไม่ไร้ค่าทั้งหมด

ฉันจะสมมติว่าขอบเขตของคุณควรขึ้นอยู่กับว่ากับแตกต่างกันมากแค่ไหน ถ้าพวกเขาทำไม่ได้มันก็ชัดเจนสำหรับฉันว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดคือสตริงที่แตกต่างกันโดยตัวละครแรกของพวกเขาเท่านั้น (สตริงที่แตกต่างกันในเซตที่ตำแหน่งมีโอกาสที่จะถูกบอกแยกมากกว่าสตริงที่ต่างกันในเซตของ ตำแหน่งที่ฉันพูดและวางความแตกต่างให้เร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ให้โอกาสคุณในการซิงโครไนซ์ใหม่) $u$ $v$ $X$ $Y \subset X$

ฉันจะดูความน่าจะเป็นที่คำเหล่านั้นแตกต่างกล่าวคือพวกเขาไปถึงสถานะที่แตกต่างกัน ฉันเดาว่าคุณจะต้องปรับตัวให้เข้ากับการยอมรับหรือถูกปฏิเสธโดยพิจารณาจากวิธีการ DFA แบบสุ่มของคุณจัดสรรสถานะขั้นสุดท้าย หากแต่ละรัฐมีความน่าจะเป็น 1/2 ของการเป็นคนสุดท้ายแล้วเมื่อสตริงจบลงที่สถานะเดียวกันพวกเขาจะไม่โดดเด่นและเมื่อพวกเขาจบลงที่รัฐที่แตกต่างกันพวกเขามีความน่าจะเป็น 1/2 ของการแยก

ตอนนี้ฉันจะพิจารณาคำได้จากและดังนี้:ถ้า , และอย่างอื่น ฉันคิดว่ามันเป็นที่ชัดเจนว่าเป็นสิ่งที่น่าสนใจเท่านั้นที่จะต้องพิจารณาเกี่ยวกับและV $w$ $u$ $v$ $w_i = 1$ $u_i = v_i$ $w_i = 0$ $w$ $u$ $v$

ตอนนี้กำหนดน่าจะเป็นที่เราอยู่ที่รัฐเดียวกันหลังจากที่ได้อ่านคำนำหน้าของความยาวของและและความน่าจะเป็นว่าเราไม่ได้ $p(i)$ $i$ $u$ $v$ $q(i) = 1 - p(i)$

ผมคิดว่าเรามีเมื่อคือ1โดยสังหรณ์ใจเราอยู่ในสถานะเดียวกันหลังจากอ่านตัวอักษรทั้งเมื่อเราอยู่ในสถานะเดียวกันหลังจากอ่านหรือเมื่อเราอยู่ในสถานะที่แตกต่างกันสองสถานะ (สุ่ม) เราดึงการเปลี่ยนสถานะเป็นแบบสุ่มสองครั้ง เป็นคนเดียวกัน ในทำนองเดียวกันเรามีเมื่อเป็น : คุณกำลังวาดสองสถานะสุ่มไม่ว่าคุณจะเริ่มจากที่ใด $p(i+1) = p(i) + q(i)/n$ $w_{i+1}$ $1$ $i+1$ $i$ $p(i+1) = 1/n$ $w_{i+1}$ $0$

จากนี้ผมคิดว่าคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการที่รัฐเดียวกันหลังจากที่ได้อ่านและV $u$ $v$

— a3nm
แหล่งที่มา

แต่น่าเสียดายที่มันอยู่ไกลจากที่ชัดเจนว่าเป็นที่น่าสนใจเพียงทรัพย์สินของและVวิธีที่ง่ายที่สุดในการดูสิ่งนี้คือมีความเป็นไปได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ในการจำแนกความแตกต่างระหว่างจาก ; แน่นอนเพียงสองรัฐพอเพียงโดยไม่คำนึงถึงnอย่างไรก็ตามตามที่กล่าวไว้ในarxiv.org/pdf/1103.4513.pdfมีคำว่าของความยาว st noสถานะ DFA สามารถแยกแยะได้ นี้ขัดแย้งกับสูตรของคุณสำหรับ(i)

w

$w$

u

$u$

v

$v$

w

$w$

0^{n}

$0^n$

n

$n$

u, v

$u,v$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$

p (i)

$p(i)$

— Geoffrey Irving

เพื่อให้ชัดเจนสูตรของคุณจะถูกต้องหากการเปลี่ยน DFA เป็นฟังก์ชันสุ่มของดัชนีสตริง เนื่องจากมันเป็นอิสระจากดัชนีความน่าจะเป็นมีความสัมพันธ์ในแบบที่ค่อนข้างซับซ้อน

— Geoffrey Irving

ฉันเกรงว่าฉันจะไม่ได้รับตัวอย่างของคุณ มี

prba, ที่มีสองสถานะของการแยก

และ

, OK; และอาจจะมีคำพูดของความยาว

ที่ไม่สามารถบอกออกจากกันด้วย

รัฐ แต่มันขัดแย้งกับข้อเรียกร้องของฉันอย่างไรว่า

เป็นสิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวหรือสูตรของฉันสำหรับ

> 0

$>0$

0^{n}

$0^n$

w \neq 0^{n}

$w \neq 0^n$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$

w

$w$

p (i)

$p(i)$ ? สำหรับความสัมพันธ์ฉันเห็นว่าอาจมีสิ่งที่คุณพูดถึง แต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจว่าทำไมมันถึงล้มเหลว หากคุณผ่านสถานะเดิมสองครั้งมีความสัมพันธ์กัน แต่มีเหตุผลที่จะคิดว่ามันจะมีอิทธิพลในทิศทางที่แน่นอนโดยเฉลี่ยหรือไม่

— a3nm

ถ้า

และ

มีความแตกต่างกับความน่าจะเป็นเชิงบวก แต่สำหรับขนาดใหญ่พอ

และตัวเลขเล็ก ๆ ของรัฐเรารู้ว่า

สำหรับบาง

และV

เนื่องจากสูตรของคุณบอกเป็นนัยว่าหาก

ดังนั้น

p (n) < 1

$p(n) < 1$

u

$u$

v

$v$

n

$n$

p (n) = 1

$p(n) = 1$

u

$u$

v

$v$

p (i) < 1

$p(i) < 1$

สูตรของคุณไม่ได้รวบรวมความจริงที่ว่า

และ

บางอย่างไม่สามารถแยกแยะได้

p (i + 1) = p (i) + (1 - p (i)) / n = p (i) (1 - 1 / n) + 1 / n < 1

$p(i+1) = p(i) + (1-p(i))/n = p(i)(1-1/n)+1/n < 1$

u

$u$

v

$v$

— Geoffrey Irving

อ่า ... ใช่ฉันเข้าใจ หากไม่มี DFA ขนาดเล็กสามารถแยกความแตกต่างสองคำได้ดังนั้นDFA แบบสุ่มไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ทั้งสองคำ แน่นอนว่ามีปัญหากับวิธีการของฉันความน่าจะเป็น

ควรลดลงเหลือศูนย์ในที่สุดเนื่องจากความสัมพันธ์เหล่านั้นดูเหมือน ขออภัยที่ให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง

q (i)

$q(i)$

— a3nm