ความซับซ้อนของการตรวจนับ endomorphisms กราฟ

homomorphismจากกราฟ$G = (V, E)$ ไปยังกราฟ $G' = (V', E')$ คือการทำแผนที่ $f$ จาก $V$ ถึง $V'$ เช่นนั้นถ้า $x$ และ $y$ อยู่ติดกัน $E$ แล้วก็ $f(x)$ และ $f(y)$ อยู่ติดกัน $E'$. endomorphismของกราฟ$G$ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจาก $G$เพื่อตัวเอง; มันเป็นจุดคงที่ฟรีถ้าไม่มี$x$ ดังนั้น $f(x) = x$และมันก็ไม่ใช่เรื่องไร้สาระถ้ามันไม่ใช่ตัวตน

ฉันได้ถามเมื่อเร็ว ๆ นี้คำถามที่เกี่ยวข้องกับ poset (และกราฟ) automorphisms , ที่อยู่, endomorphisms bijective มีการสนทนายังมี endomorphism ฉันพบงานที่เกี่ยวข้องกับการนับ (และการตัดสินใจของการมีอยู่) ออโตมอร์ฟิซึ่มส์ แต่การค้นหาฉันไม่พบผลลัพธ์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเอ็นโดมอร์ฟิซึม

ดังนั้นคำถามของฉัน: ความซับซ้อนอะไรให้กราฟ$G$ของการตัดสินใจว่ามี endomorphism ที่ไม่น่าสนใจของ $G$หรือนับจำนวน endomorphisms คำถามเดียวกันกับ endomorphisms ที่ไม่มีจุดคงที่

ฉันคิดว่าอาร์กิวเมนต์ที่ให้ไว้ในคำตอบนี้ขยายไปถึง endomorphisms และพิสูจน์ว่ากรณีของกราฟ bipartite ที่กำกับหรือ posets นั้นไม่ง่ายไปกว่าปัญหาสำหรับกราฟทั่วไป (ปัญหาสำหรับกราฟทั่วไปลดลงถึงกรณีนี้) แต่ความซับซ้อนของมันไม่ได้ ดูเหมือนตรงไปตรงมาเพื่อตรวจสอบ เป็นที่ทราบกันว่าการตัดสินใจการดำรงอยู่ของ homomorphism จากกราฟไปยังอีกเป็นNP-ยาก (นี้เป็นที่ชัดเจนในขณะที่มัน generalizes กราฟสี) แต่ดูเหมือนว่าการ จำกัด การค้นหาเพื่อ homomorphisms จากกราฟกับตัวเองอาจจะทำให้มีปัญหาได้ง่ายขึ้น ดังนั้นสิ่งนี้ไม่ได้ช่วยฉันกำหนดความซับซ้อนของปัญหาเหล่านี้

การนับ endomorphisms หรือ endomorphisms ที่ไม่มีจุดคงที่นั้นสมบูรณ์สำหรับ $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$: รับกราฟที่เชื่อมต่อ $G$พิจารณากราฟ $G'$ ซึ่งเป็นสหภาพที่แยกจากกัน $G$และสามเหลี่ยม แล้วก็$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$ดังนั้น $\# 3COL$สามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวน endomorphism สองจำนวน (และจากผลทั่วไปแม้เพียงแค่หนึ่งพอเพียง) และโพลีเวลาโพสต์ - โพรเซสซิง โปรดทราบว่าจำนวนสามเหลี่ยมสามารถนับได้ในเวลาลูกบาศก์ (หรือการคูณเมทริกซ์) สมการเดียวกันถือสำหรับ endomorphisms ฟรีจุดคงที่เนื่องจาก 3-colorings และ triangles เป็น endomorphisms ฟรีจุดคงที่ของ$G'$.

ถ้าคุณชอบ $G'$หากต้องการเชื่อมต่อคุณสามารถทำดังนี้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่าการนับ endomorphisms กราฟจุดสุดยอดสี (ที่จุดยอดของสี$c$ สามารถแมปกับจุดสีอื่น ๆ เท่านั้น $c$) เทียบเท่ากับ endomorphisms กราฟที่นับได้ดังนี้ ปล่อยให้สีเป็นไป$\{1,...,C\}$. สำหรับแต่ละจุดสุดยอด$v$ ของสี $c$เพิ่มในรอบแปลกแยกกันใหม่$C_v$ ขนาดอย่างน้อย $n + 2c$ ($n=|V(G)|$) และเชื่อมต่อหนึ่งจุดสุดยอดของ $C_v$ ถึง $v$. ทุก endomorphism ของ$G$ สอดคล้องกับ $2^n$endomorphisms ของกราฟใหม่ (สำหรับแต่ละรอบคุณมีสองวิธีในการแมป) โปรดทราบว่าไม่มีจุดยอด$G$ สามารถแมปกับจุดยอดใด ๆ $C_v$เนื่องจากรอบมีขนาดใหญ่เกินไป (คุณจะต้องสามารถใส่หนึ่งรอบในอีกรอบซึ่งคุณทำไม่ได้สำหรับรอบคี่)

ตอนนี้เพื่อให้รุ่นของ $G'$ที่เชื่อมต่อเราเริ่มต้นด้วยรุ่นที่มีสีแล้วใช้การแปลงข้างต้น เริ่มเหมือนเมื่อก่อนโดยเพิ่มไปที่$G$ รูปสามเหลี่ยมที่แยกจากกัน $\Delta$. ตอนนี้เพิ่มจุดสุดยอดใหม่เดียว$v_0$ ที่เชื่อมต่อกับทุกจุดสุดยอดใน $G \cup \Delta$. สี$v_0$ สีแดงและจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมดสีน้ำเงิน