ลาสเวกัสกับมอนติคาร์โลสุ่มความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจ

พื้นหลัง:

ต้นไม้ความซับซ้อนของการตัดสินใจหรือความซับซ้อนของแบบสอบถามเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายของการคำนวณที่กำหนดไว้ดังนี้ ให้เป็นฟังก์ชันบูลีน ความซับซ้อนของการค้นหาแบบกำหนดขึ้นชื่อของfหมายถึงD ( f )คือจำนวนบิตขั้นต่ำของอินพุตx ∈ { 0 , 1 } nที่ต้องอ่าน (ในกรณีที่แย่กว่า) โดยอัลกอริธึมที่กำหนดf ( x) $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$. โปรดทราบว่าการวัดความซับซ้อนคือจำนวนบิตของอินพุตที่อ่าน การคำนวณอื่น ๆ ทั้งหมดนั้นฟรี

ในทำนองเดียวกันเรากำหนดลาสเวกัสุ่มซับซ้อนแบบสอบถามชี้แนะR 0 ( ฉ)เป็นจำนวนขั้นต่ำของบิตการป้อนข้อมูลที่จำเป็นเพื่อให้สามารถอ่านในความคาดหวังโดยศูนย์ข้อผิดพลาดแบบสุ่มอัลกอริทึมที่คำนวณF ( x ) อัลกอริธึมข้อผิดพลาดแบบ zero-outputs คำตอบที่ถูกต้องเสมอ แต่จำนวนของบิตอินพุตที่อ่านโดยขึ้นอยู่กับการสุ่มภายในของอัลกอริทึม (นี่คือเหตุผลที่เราวัดจำนวนอินพุตบิตที่คาดไว้อ่าน)$f$$R_0(f)$$f(x)$

เรากำหนด Monte Carlo สุ่มซับซ้อนแบบสอบถามชี้แนะR 2 ( ฉ)จะเป็นจำนวนขั้นต่ำของบิตการป้อนข้อมูลที่จำเป็นที่จะต้องถูกอ่านโดยล้อมรอบข้อผิดพลาดแบบสุ่มอัลกอริทึมที่คำนวณF ( x ) อัลกอริทึมที่สิ้นสุดข้อผิดพลาดเสมอ outputs คำตอบในตอนท้าย ๆ แต่มันจะต้องถูกต้องด้วยความน่าจะเป็นมากขึ้นกว่า2 / 3 (พูด)$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

คำถาม

สิ่งที่รู้เกี่ยวกับคำถามว่า

?$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$

เป็นที่ทราบกันดีว่า

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

เพราะอัลกอริทึม Monte Carlo นั้นมีประสิทธิภาพอย่างน้อยที่สุดเท่าอัลกอริทึมของ Las Vegas

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เรียนรู้ว่าไม่มีการแบ่งแยกระหว่างสองสิ่งที่ซับซ้อน ข้อมูลอ้างอิงล่าสุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับการอ้างสิทธิ์นี้มาจากปี 1998 [1]:

[1] Nikolai K. Vereshchagin, ต้นไม้ตัดสินใจแบบสุ่มบูลีน: คำพูดหลายคำ, วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี, เล่ม 207, ฉบับที่ 2, 6 พฤศจิกายน 2541, หน้า 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016

ขอบเขตบนที่รู้จักกันเป็นอย่างดีในด้านอื่น ๆ คือ

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

เนื่องจาก [2]:

[2] Kulkarni, R. , & Tal, A. (2013, พฤศจิกายน) เกี่ยวกับความไวของบล็อกเศษส่วน ใน Electronic Colloquium ต่อความซับซ้อนในการคำนวณ (ECCC) (ตอนที่ 20, p. 168)

ฉันมีคำถามสองข้อ

1. [คำขออ้างอิง]: มีบทความล่าสุด (หลังปี 1998) ที่กล่าวถึงปัญหานี้หรือไม่?
2. ที่สำคัญกว่านั้นมีฟังก์ชั่นตัวเลือกที่คาดเดาเพื่อแยกความซับซ้อนทั้งสองนี้หรือไม่?

เพิ่มใน v2:เพิ่มการอ้างอิง [2] โดยเน้นคำถามที่สองเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันผู้สมัคร

เท่าที่ฉันรู้สิ่งนี้ยังคงเปิดอยู่ บทความล่าสุดที่กล่าวถึงปริมาณและขอบเขตบางอย่างคือ Aaronson et al: Weak parity (ดูhttp://arxiv.org/abs/1312.0036 ) นอกจากนี้คุณยังสามารถดูบทที่ 14 ของ Jukna: ฟังก์ชั่นบูลีนและการสำรวจปี 1999 (ยังคงเต้นในปี 1998!) โดย Buhrman และ de Wolf บทความล่าสุดเกี่ยวกับความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจแบบสุ่มคือ Magniez et al: http://arxiv.org/abs/1309.7565

ในที่สุดสรุปสั้น ๆ ที่ฉันทำเพื่อตัวเองเมื่อเดือนที่แล้ว (ไม่มี defs):

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (ใหม่: [Gilmer-Saks-Srinivasan]: มี f st bs ^ 2 (f) = O (C (f))

D <= N1 * BS <= BS ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (ใหม่: [Tal]: bs <= deg ^ ^ 2)

D <= N1 * องศา

C <= BS * ^ 2 องศา <= ^ 4 องศา

การคาดเดาความไวคือ s ยังเกี่ยวข้องกับพหุนามกับพารามิเตอร์อื่น ๆ

คำถามนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว!

$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

และแม้กระทั่ง

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

การแยกทั้งสองนั้นเหมาะสมที่สุดกับปัจจัยบันทึก!