ตัดสูงสุดด้วยขอบน้ำหนักติดลบ

Letเป็นกราฟที่มีฟังก์ชั่นน้ำหนัก{R} ปัญหาตัดสูงสุดคือการหา: ถ้า ฟังก์ชั่นน้ำหนักไม่เป็นลบ (เช่นสำหรับ ) จากนั้นมีการประมาณค่าแบบง่าย ๆ 2 แบบสำหรับการตัดสูงสุด ตัวอย่างเช่นเราสามารถ: $G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

\arg max_{S \subset V} \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w (e) \geq 0

$w(e) \geq 0$

e \in E

$e \in E$

เลือกชุดย่อยแบบสุ่มของจุดS $S$
เลือกการสั่งซื้อบนจุดยอดและวางแต่ละจุดสุดยอด $v$ ใน $S$ หรือ $\bar{S}$ เพื่อเพิ่มขอบตัดให้ได้มากที่สุด
ทำการปรับปรุงในท้องถิ่น: หากมีจุดสุดยอดใด ๆ ใน $S$ ที่สามารถย้ายไปที่ $\bar{S}$ เพื่อเพิ่มการตัด (หรือกลับกัน) ทำการย้าย

การวิเคราะห์มาตรฐานของอัลกอริทึมทั้งหมดเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการตัดผลลัพธ์อย่างน้อยที่สุดเท่ากับ $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ ซึ่งเป็นขอบเขตสูงสุดของ $1/2$ น้ำหนักของ max-cut ถ้า $w$ ไม่เป็นลบ - แต่ถ้าขอบบางส่วนได้รับอนุญาตให้มีน้ำหนักเป็นลบไม่ได้!

ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึม 1 (เลือกชุดย่อยของจุดยอดสุ่ม) อาจล้มเหลวอย่างชัดเจนในกราฟที่มีน้ำหนักขอบลบ

คำถามของฉันคือ:

มีอัลกอริทึม combinatorial ง่าย ๆ ที่ได้รับ O (1) ประมาณปัญหาสูงสุดตัดบนกราฟที่สามารถมีน้ำหนักลบขอบ?

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเหนียวที่อาจเกิดขึ้นจากค่าการตัดสูงสุด $0$ ฉันจะอนุญาตให้ $\sum_{e \in E}w(e) > 0$ และ / หรือพอใจกับอัลกอริทึมที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดเพิ่มเติมเล็กน้อยนอกเหนือจาก การประมาณค่าหลายปัจจัย

— แอรอนโรท
แหล่งที่มา

เป็นเงื่อนไขที่ "combinatorial ง่าย" จำเป็นที่นี่?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

ฉันสนใจมากที่สุดในอัลกอริทึมแบบ combinatorial ที่เรียบง่ายเช่นการประมาณค่า 2 ค่าสำหรับน้ำหนักเชิงบวก โปรดทราบว่าฉันกำลังถามเกี่ยวกับการประมาณ O (1) ใด ๆ ดังนั้นฉันคาดหวังว่าหากอัลกอริทึมใด ๆ สามารถบรรลุสิ่งนี้มันควรจะเป็นไปได้ด้วยวิธีง่าย ๆ แต่ผมก็จะสนใจในสิ่งที่ค้ำประกันการปฏิบัติมีการอัลกอริทึม SDP บนกราฟที่มีน้ำหนักขอบเชิงลบหรือหลักฐานที่แสดงว่าไม่มีอัลกอริทึมประมาณคงปัจจัยที่มีอยู่ถ้าNP

P \neq N P

$P \ne NP$

— Aaron Roth

คำตอบ:

นี่เป็นความพยายามครั้งแรกของฉันในการโต้แย้ง มันผิด แต่ฉันแก้ไขหลังจาก "แก้ไข:"

หากคุณสามารถแก้ปัญหาปัญหาการตัดสูงสุดได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยน้ำหนักขอบลบคุณไม่สามารถใช้วิธีดังกล่าวเพื่อแก้ปัญหาน้ำหนักตัดสูงสุดด้วยน้ำหนักขอบบวกได้หรือไม่ เริ่มต้นด้วยปัญหาสูงสุดตัดคุณต้องการที่จะแก้ปัญหาที่มีทางออกที่ดีที่สุดคือขตอนนี้ใส่ขอบน้ำหนักเชิงลบขนาดใหญ่ (ที่มีน้ำหนัก ) ระหว่างและVทางออกที่ดีที่สุดของปัญหาใหม่คือดังนั้นอัลกอริธึมการประมาณสมมุติฐานของเราจะทำให้คุณได้รับโซลูชันด้วยการตัดสูงสุดซึ่งมีค่ามากที่สุดแย่กว่าดีที่สุด บนกราฟดั้งเดิมการตัดสูงสุดยังคงเป็นอย่างมากแย่กว่าที่ดีที่สุด หากคุณเลือกที่ใกล้กับ $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ $(b-a)/2$ $a$ $b$ สิ่งนี้ละเมิดผลลัพธ์ที่ไม่สามารถหยั่งรู้ได้ว่าหาก P NP คุณไม่สามารถประมาณค่า max-cut ได้ดีกว่าปัจจัย $\neq$ $16/17$

แก้ไข:

อัลกอริทึมด้านบนใช้งานไม่ได้เพราะคุณไม่สามารถรับประกันได้ว่าและอยู่ฝั่งตรงข้ามของการตัดในกราฟใหม่แม้ว่าจะเป็นตอนแรกก็ตาม ฉันสามารถแก้ไขได้ดังนี้ $u$ $v$

สมมติว่าเรามีอัลกอริทึมการประมาณค่าซึ่งจะทำให้เราตัดภายในปัจจัย 2 ของ OPT ตราบใดที่ผลรวมของน้ำหนักขอบทั้งหมดเป็นบวก

ดังกล่าวข้างต้นเริ่มต้นด้วยกราฟมีน้ำหนักไม่เป็นลบที่ขอบทั้งหมด เราจะพบกราฟกราฟมีการลบน้ำหนักบางอย่างเช่นหากเราสามารถประมาณค่าการตัดสูงสุดของภายใน 2 เท่าเราสามารถประมาณค่าการตัดสูงสุดของเป็นอย่างดี $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

เลือกจุดยอดสองจุดและและหวังว่าพวกมันจะอยู่ฝั่งตรงข้ามของค่าสูงสุด (คุณสามารถทำซ้ำสิ่งนี้สำหรับเป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อให้แน่ใจว่าได้ลองใช้งาน) ตอนนี้ใส่น้ำหนักลบขนาดใหญ่บนขอบทั้งหมดและสำหรับและ a ขนาดใหญ่น้ำหนักบวกบนขอบV) สมมติว่าตัดที่ดีที่สุดมีน้ำหนักOPT $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

การตัดที่มีค่าในที่จุดยอดและอยู่ด้านเดียวกันของการตัดตอนนี้มีค่าที่โดยที่คือจำนวนของจุดยอดที่อีกด้านหนึ่งของการตัด ตัดกับในด้านตรงข้ามกับค่าเดิมตอนนี้มีค่าง ดังนั้นถ้าเราเลือกใหญ่พอเราสามารถบังคับให้การตัดทั้งหมดด้วยและในด้านเดียวกันมีค่าลบดังนั้นถ้ามีการตัดใด ๆ ที่มีค่าเป็นบวกการตัดที่ดีที่สุดในจะมีและ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ $G^*$ $u$ $v$ ในด้านตรงข้าม โปรดทราบว่าเรากำลังเพิ่มน้ำหนักคงที่ให้กับการตัดใด ๆ ที่มีและอยู่ฝั่งตรงข้าม $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

ให้ง) เลือกเพื่อให้ (เราจะแสดงให้เห็นถึงเรื่องนี้ในภายหลัง) ตัดมีน้ำหนักในมีและในด้านตรงข้ามตอนนี้กลายเป็นตัดกับน้ำหนักOPT ที่นี้หมายถึงการตัดที่ดีที่สุดในมีน้ำหนักOPT อัลกอริทึมใหม่ของเราพบว่าการตัดในมีน้ำหนักอย่างน้อยOPT นี่แปลว่าเป็นการตัดในกราฟดั้งเดิมที่มีน้ำหนักอย่างน้อย (เนื่องจากการตัดทั้งหมดในโดยมีการแยกน้ำหนักบวก $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ และ ) ซึ่งดีกว่าผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำได้ $v$

ไม่มีปัญหากับการเลือกใหญ่พอที่จะทำให้การตัดใด ๆ กับและในด้านลบเดียวกันเนื่องจากเราสามารถเลือกที่มีขนาดใหญ่เท่าที่เราต้องการ แต่วิธีการที่เราไม่เลือกเพื่อให้เมื่อเราไม่ได้รู้ว่า ? เราสามารถประมาณดีจริงๆ ... ถ้าเราปล่อยให้เป็นผลรวมของน้ำหนักขอบในเรารู้T ดังนั้นเราจึงมีช่วงค่าที่ค่อนข้างแคบสำหรับและเราสามารถทำซ้ำมากกว่ารับค่าทั้งหมดระหว่างและ $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ ในช่วงเวลาของ0.005Tสำหรับหนึ่งในช่วงเวลาเหล่านี้เรารับประกันว่าและดังนั้นหนึ่งในการทำซ้ำเหล่านี้จึงรับประกันว่าจะได้ผลตอบแทนที่ดี $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

สุดท้ายเราต้องตรวจสอบว่ากราฟใหม่มีน้ำหนักขอบซึ่งผลรวมเป็นบวก เราเริ่มต้นด้วยกราฟที่น้ำหนักของขอบมีผลรวมและเพิ่มลงในผลรวมของน้ำหนักขอบ ตั้งแต่เราก็โอเค $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

แต่สิ่งที่เป็นของคุณและ ? การกำหนดปกติของปัญหา max-cutไม่มี "โหนดพิเศษ" ใด ๆ ที่จำเป็นต้องแยกออกจากกัน

u

$u$

v

$v$

— Jukka Suomela

สวัสดีเอียน - ฉันไม่คิดว่ามันจะใช้งานได้ เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีอยู่และใด ๆที่คั่นด้วย max-cut ในกราฟต้นฉบับและยังคงถูกคั่นด้วย max-cut หลังจากเพิ่มขอบลบหนักระหว่างพวกเขา? ลองพิจารณาตัวอย่างกราฟที่สมบูรณ์ - การเพิ่มขอบลบหนึ่งอันโดยพลการใดก็ได้จะไม่เปลี่ยนค่าตัดเลย

u

$u$

v

$v$

— Aaron Roth

ปัญหาหนึ่งคือถ้าคุณเพิ่มขอบลบระหว่างจุดยอดคู่ทุกคู่คุณจะแก้ไขค่าของการตัดที่แตกต่างกันตามจำนวนที่แตกต่างกัน (เราลบพูดจากค่าของการตัด ) ดังนั้นเราจึงมีปัญหาว่าข้อมูลเฉพาะตัวของค่าสูงสุดในกราฟที่แก้ไขไม่จำเป็นต้องตรงกับค่าสูงสุดในกราฟต้นฉบับ

| S | \cdot | \bar{S} | \cdot a

$|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S

$S$

— Aaron Roth

@ Peter: ในวรรคหนึ่งหลังจากที่ผมยกมาที่คุณเลือกขนาดเล็กพอที่จะทำให้OPT คุณไม่สามารถได้อย่างปลอดภัยเลือกจะมีขนาดใหญ่เพียงพอในวรรคหนึ่งและขนาดเล็กเพียงพอในต่อไป! โดยเฉพาะไม่มีวิธีเลือกและเพื่อให้แน่ใจว่าสำหรับทั้งหมดและOPT นี้ต่อไปเพราะทั้งหมดหมายความว่า0

a

$a$

f \approx - 0.98 O P T

$f \approx -0.98 OPT$

a

$a$

a

$a$

d

$d$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

a - (n - 2) d = f \approx - 0.98 \cdot O P T

$a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

f = a - (n - 2) d > 0

$f=a-(n-2)d > 0$

— Warren Schudy

@Warren คุณเลือกใหญ่พอเพื่อให้สำหรับการตัดทั้งหมด ซึ่งสามารถทำได้โดยการเลือกขนาดใหญ่พอ คุณแล้วเลือกขนาดที่เหมาะสมเพื่อให้ตัดที่ดีที่สุดคือเพิ่งข้างต้น

d

$d$

c - d m < 0

$c-dm<0$

d

$d$

a

$a$

0

$0$ 0อ่านสองย่อหน้าสุดท้ายของคำตอบของฉัน

— Peter Shor

ในบทความ " Max Cut สูงสุดโดยประมาณ " โดย S. Har-Peled บรรทัดสุดท้ายของกระดาษกล่าวถึงว่ามีการพูดถึง max-cut เวอร์ชันถ่วงน้ำหนักจริงใน

การประมาณค่าการตัดผ่านความไม่เท่าเทียมของ Grothendieck , Noga Alon และ Assaf Naor, วารสาร SIAM เกี่ยวกับการคำนวณ, 2006

มันเป็นอัลกอริธึม SDP และดูเหมือนว่าสำหรับฉันนั้นอัตราส่วนโดยประมาณคือ 0.56 ถึงแม้ว่าฉันไม่แน่ใจว่าการลดที่กล่าวถึงในเอกสารนั้นเป็นการรักษาอัตราส่วน บางทีการมองลึกลงไปในกระดาษอาจช่วยได้!

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา

ปัญหาใน Alon-Naor นั้นคล้ายกัน แต่ฉันไม่คิดว่าจะมีอัตราส่วนที่ลดลง ปัญหาของพวกเขาคือการเพิ่มที่สุดโดยที่และคือ matrix สำหรับ max-cut และญาติสนิทของมันเป็นสิ่งสำคัญที่

x^{T} M y

$x^TMy$

x, y \in {\pm 1}^{n}

$x, y \in \{\pm 1\}^n$

M

$M$

n \times n

$n \times n$

x = y

$x = y$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov: สำหรับบรรทัดฐานการตัดมันไม่สำคัญขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่ไม่ว่าเราต้องการหรือไม่

x = y

$x=y$

— david

@ David ฉันรู้ว่าการลดลงนี้ แต่คำสั่งที่เป็นจริงคือโดยที่ค่าสูงสุดทั้งหมดอยู่เหนือและเป็นสมมาตรที่มีเส้นทแยงมุมที่ไม่เป็นลบ อย่างไรก็ตามปัญหาสามารถมีค่าแตกต่างจาก (ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการสำหรับ MaxCut) ตัวอย่างเช่นพิจารณาโดยที่คือเมทริกซ์ทั้งหมด คุณสามารถเห็นเกี่ยวกับ

max_{x} | x^{T} M x | \leq max_{x, y} x^{T} M y \leq 4 max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

{- 1, 1}^{n}

$\{-1, 1\}^n$

M

$M$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx|$

max_{x} x^{T} M x

$\max_x x^TMx$

M = I - J

$M = I-J$

J

$J$

n \times n

$n\times n$

max_{x} x^{T} M x

$\max_{x}{x^TMx}$

n / 2

$n/2$ ในขณะที่เป็นn

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_{x}{|x^TMx|}$

n^{2} - n

$n^2 - n$

— Sasho Nikolov

ปัญหาของคุณมีการประมาณลอการิทึมโดยลดปัญหาการเขียนโปรแกรมสมการกำลังสอง

ปัญหา MaxQP เป็นปัญหาของใกล้เคียงกับรูปแบบสมการกำลังสองสำหรับเมทริกซ์ที่ช่วงกว่า n MaxCut สามารถเขียนได้ในรูปแบบนี้โดยการตั้งค่าที่ซึ่งคือเมทริกซ์เอกลักษณ์และคือเมทริกซ์ adjacency อัลกอริทึมของ MaxQP Charikar และเวิร์ ธให้ประมาณสำหรับ MaxQP ตราบเท่าที่มีเส้นทแยงมุมที่ไม่ใช่เชิงลบ ดังนั้นตราบใดที่ , MaxCut ที่มีน้ำหนักติดลบจะมีค่าประมาณลอการิทึม $x^TMx$ $n \times n$ $M$ $x$ $\{\pm 1\}^n$ $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ $I$ $A$ $O(\log n)$ $M$ $\sum{w_e} \geq 0$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา