การจำแนกลักษณะความลึกคงที่ของ

นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจร (คำจำกัดความอยู่ที่ด้านล่าง)

Yao และ Beigel-Tarui แสดงให้เห็นว่าทุกตระกูลของขนาดมีตระกูลวงจรเทียบเท่ากับขนาดของความลึกสองที่ประตูเอาท์พุทเป็นฟังก์ชันสมมาตรและระดับที่สองประกอบด้วย ของประตูของ $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ แฟนใน นี่คือ "การล่มสลายเชิงลึก" ที่น่าทึ่งอย่างมากของวงจร: จากวงจรความลึก 100 คุณสามารถลดความลึกเป็น 2 ได้โดยมีการระเบิดแบบกึ่งพหุนามเท่านั้น (และหนึ่งประตูแฟนซีที่ยัง จำกัด อยู่ที่ด้านบน)

คำถามของฉัน: มีวิธีใดที่เป็นที่รู้จักกันในการแสดงความครอบครัววงจรเหมือนกัน? ยิ่งกว่านั้นมีความทะเยอทะยานแล้ววงจรครอบครัวอย่างไร คำตอบอาจจะมีรูปแบบ: "ทุกวงจรขนาดได้รับการยอมรับโดยความลึกสองครอบครัวขนาดที่ประตูออกเป็นฟังก์ชั่นของชนิดและระดับที่สองของประตูมีประเภท " $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

ไม่จำเป็นต้องมีความลึกสองระดับผลลัพธ์ในเชิงลึกคงที่ใด ๆ ที่น่าสนใจ การพิสูจน์ว่าวงจรสามารถแสดงในระดับความลึก 3 โดยวงจรที่ประกอบด้วยเฉพาะฟังก์ชั่นสมมาตรเกตเท่านั้นที่น่าสนใจมาก $TC^0$

ข้อสังเกตเล็กน้อย:

ถ้าคำตอบนั้นเล็กน้อยสำหรับฟังก์ชันบูลีนใด ๆ (เราสามารถแสดงฟังก์ชันใด ๆ ในรูปของของ s) สำหรับรูปธรรมให้ของต้อง ) $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
คำตอบนั้นยังสำคัญถ้าหรือนั้นได้รับอนุญาตให้เป็นฟังก์ชันที่คำนวณได้ใน ... :) ฉันสนใจฟังก์ชั่น "เรียบง่าย" ไม่ว่ามันจะหมายถึงอะไร มันลื่นเล็กน้อยที่จะนิยามเพราะมีตระกูลฟังก์ชันสมมาตรซึ่งไม่สามารถคำนวณได้ (มีภาษาที่เป็นเอกภาพซึ่งไม่สามารถคำนวณได้) หากคุณต้องการคุณสามารถแทนที่และด้วยฟังก์ชันสมมาตรในคำสั่งได้อย่างไรก็ตามฉันจะสนใจทางเลือกอื่น ๆ ของประตูที่ประณีต $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(ตอนนี้สำหรับความทรงจำสั้น ๆ ของโน้ต:

เป็นชั้นได้รับการยอมรับจากคนในครอบครัวของแฟนมากมายในวงจรอย่างต่อเนื่องเชิงลึกกับ ,และประตูสำหรับคงอิสระขนาดวงจร ผลตอบแทนที่ประตู IFF ผลรวมของปัจจัยการผลิตของตนคือหารด้วยเมตร $ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

เป็นคลาสที่ได้รับการยอมรับจากวงจรความลึกคงที่ด้วยประตูเกทแฟนอินที่ไม่มีข้อ จำกัด $TC^0$ $MAJORITY$

เป็นคลาสที่ได้รับการยอมรับโดยวงจรความลึกลอการิทึมโดยมี , ,ประตูของแฟนอิน $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อขนาดวงจรถูก จำกัด ให้เป็นพหุนามในจำนวนอินพุต) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่าวงจรความลึกขนาดพหุนาม

ประกอบด้วยประตูแบบสมมาตรสามารถคำนวณได้โดยวงจรความลึกขนาดพหุนาม

ซึ่งประกอบด้วยประตู MAJ (ที่นี่ตามขนาดปกติคือจำนวนสายไฟ) ดังนั้นโดยทั่วไปคุณจะถามว่า

สามารถลดความลึกของตัวเองได้หรือไม่?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

ใช่นั่นเป็นวิธีหนึ่งในการดู! โดยทั่วไปฉันกำลังมองหาที่น่าสนใจคงจำลองเชิงลึกใด ๆ ของ

หรือ

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams

ไรอันฉันไม่เห็นคำตอบแบบไหนที่คุณกำลังมองหาที่นี่ หากคุณกำลังพูดถึงประตูสมมาตรจริง ๆ (เนื่องจากสิ่งเหล่านี้สามารถจำลองได้ด้วยเสียงส่วนใหญ่ในระดับความลึกที่สอง) คำถามของคุณเทียบเท่ากับการล่มสลายของ TC0 ถึงความลึกคงที่ ปัญหาเปิด หากคุณยินดีที่จะ "ผ่อนคลาย" สมมาตรผลลัพธ์ของ Barrington ก็ดูดีอย่างที่คุณคาดหวัง

— Noam

@ โฟม: ฉันต้องการที่จะดูว่ามีคำตอบที่น่าสนใจอื่น ๆ ; หากไม่มีแล้วฉันจะให้ 300 ถึงแลนซ์ นอกจากนี้ยังมีความเป็นไปได้ระดับกลางเช่นวงจรความลึกสามที่มีฟังก์ชันสมมาตรที่เอาต์พุต แต่ไม่จำเป็นต้องสมมาตรในอีกสองชั้น อย่างไรก็ตามการให้คุณคิดเกี่ยวกับมันเป็นเวลา 5 นาทีมีค่า 300 รางวัลแล้ว

— Ryan Williams

และตอนนี้ (หลัง 8 พ.ย. ) เรารู้ที่มาของคำถามนี้ ...

— เพรียวบาง

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

เนื่องจาก Boaz ชี้ให้เห็นในคำตอบของเขามีการลดความลึกที่ไม่น่ารำคาญสำหรับวงจรเลขคณิตนี่อาจเป็นสิ่งที่ต้องพิจารณา

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
แหล่งที่มา

$NC^1$

— Lance Fortnow
แหล่งที่มา

ฉันยอมรับว่าทฤษฎีบทของ Barrington แสดงถึงสิ่งที่น่าสนใจที่นี่ แต่การส่งออกประตูนี้เป็นอย่างมาก "ไม่สมมาตร" ฟังก์ชั่น :)

— ไรอันวิลเลียมส์

ที่จริงแล้วดูเหมือนว่าคุณจะได้วงจรที่ลึก 1 ... แสดงการเปลี่ยนรูปเป็นเมทริกซ์บูลีน 5x5 เป็นเพียงการคาดการณ์ไปที่ประตูการเปลี่ยนรูป - การคูณ

— Noam

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— โบอาราบารักค
แหล่งที่มา

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer คุณสามารถเพิ่มลิงค์เป็นคำตอบแยกได้หรือไม่? ขอบคุณ!

— Ryan Williams

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$