เกมที่อ้างอิงกับเหรียญกึ่งเอกชนที่ไม่เกี่ยวข้อง

ฉันเป็น (และยังคงเป็นฉัน) สนใจคำตอบของคำถามนี้เพราะนี่เป็นรูปแบบที่น่าสนใจเกี่ยวกับความซับซ้อนของเกมที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขดังนั้นฉันจึงเสนอเงินรางวัล ฉันคิดว่าคำถามดั้งเดิมน่าจะยากเกินไปดังนั้นฉันจึงโพสต์คำถามที่เกี่ยวข้องสามข้อซึ่งน่าจะคุ้มค่ากับความโปรดปรานด้วย ไม่มีใครโพสต์คำตอบใด ๆ ก่อนที่เงินรางวัลจะหมดอายุ หลังจากนั้นฉันสามารถตอบคำถามสองข้อที่เกี่ยวข้อง (คำถามที่ 3 และ 4 ซึ่งกล่าวถึงด้านล่างโพสต์ต้นฉบับของฉัน) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าประมาณคุณค่าของเกมที่มีผู้อ้างอิงกับเหรียญกึ่งเอกชนที่สัมพันธ์กัน คำถามเดิมยังไม่ได้รับคำตอบ ฉันยังสนใจในผลลัพธ์ใด ๆ ที่นำเกมที่เกี่ยวข้องระหว่าง PSPACE และ EXPTIME ในคลาสที่ซับซ้อนที่น่าสนใจ

โพสต์ต้นฉบับ:

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการอภิปรายในคำถาม hex Itai ของ เกมตัดสินเป็นเกมที่สองผู้เล่นมากมายคอมพิวเตอร์เล่นโดยการสื่อสารผ่านพหุนามเวลาตรวจสอบที่สามารถพลิกเหรียญส่วนตัว (ดังนั้นจำนวนรอบและปริมาณของการสื่อสารยังเป็นพหุนามเวลาที่สิ้นสุด) ในตอนท้ายของเกมกรรมการจะใช้อัลกอริทึมใน P เพื่อตัดสินว่าใครชนะ การพิจารณาว่าใครเป็นผู้ชนะเกมดังกล่าว (แม้กระทั่งประมาณ) ก็เสร็จสมบูรณ์แล้ว หากคุณมีเหรียญสาธารณะและการสื่อสารสาธารณะเกมดังกล่าวอยู่ใน PSPACE ( ดู Feige และ Killian "Making Games Short." ) คำถามของฉันเกี่ยวกับขอบเขตระหว่างผลลัพธ์ทั้งสองนี้

• คำถาม: สมมติว่าคุณมีผู้เล่นสองคนที่ไม่ จำกัด คอมพิวเตอร์ที่เล่นเกมที่มีความยาวพหุนาม บทบาทของผู้ตัดสินถูก จำกัด ไว้ก่อนการย้ายแต่ละครั้งทำให้ผู้เล่นแต่ละคนได้เหรียญส่วนตัวจำนวนหนึ่งพลิก (ไม่เกี่ยวข้องกับผู้เล่นคนอื่น) การเคลื่อนไหวของผู้เล่นทั้งหมดเป็นแบบสาธารณะและเห็นได้จากคู่ต่อสู้ของเขา - ข้อมูลส่วนตัวเพียงอย่างเดียวคือการโยนเหรียญ ในตอนท้ายของเกมจะมีการเปิดเผยการโยนเหรียญส่วนตัวและผู้ตัดสินโพลี - ไทม์จะใช้การโยนเหรียญเหล่านี้และการเคลื่อนไหวของผู้เล่นเพื่อตัดสินว่าใครจะชนะ

  จากผลของเกมที่ผู้ตัดสินประเมินความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นคนแรกชนะคือ EXPTIME และมันก็ชัดเจน PSPACE-hard อันไหน (ถ้ามี) มีปัญหาเกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่

โปรดทราบว่าผู้เล่นอาจต้องใช้กลยุทธ์แบบผสมเนื่องจากคุณสามารถเล่นเกมเมทริกซ์แบบรวมศูนย์ (a la von Neumann) ด้วยวิธีนี้

วัสดุที่เพิ่ม:

เราเรียกคลาสความซับซ้อนนี้ว่า RGUSP (ทุกภาษาซึ่งสามารถลดลงเป็นเกมผู้ตัดสินที่มีเหรียญแบบกึ่งอิสระที่ไม่เกี่ยวข้องดังที่อธิบายไว้ข้างต้นเช่นถ้าผู้เล่น 1 ชนะด้วยความน่าจะเป็นและถ้าผู้เล่น 1 ชนะด้วยความน่าจะเป็น ) คำถามที่เกี่ยวข้องสามข้อของฉันคือ:$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• คำถามที่ 2: RGUSP ดูค่อนข้างแข็งแกร่ง ตัวอย่างเช่นหากเราเปลี่ยนเกมเพื่อให้ผู้ตัดสินไม่ส่งข้อความ แต่เพียงสังเกตข้อความสาธารณะของผู้เล่น 1 และ 2 และรับข้อความส่วนตัวจากพวกเขาการประมาณมูลค่าของเกมนี้ยังคงเทียบเท่ากับ RGUSP ฉันต้องการแสดงให้เห็นว่า RGUSP มีความแข็งแกร่งดังนั้นฉันยินดีที่จะมอบรางวัลให้กับทุกคนที่พบความซับซ้อนตามธรรมชาติระดับ C เพื่อให้ PSPACE C RGUSP ซึ่งดูเหมือนจะไม่มีข้อ จำกัด ใด ๆ$\subseteq$$\subseteq$

• คำถามที่ 3: ฉันยังสงสัยอย่างยิ่งว่าระดับ RGCSP (เกมผู้ตัดสินที่มีเหรียญสัมพันธ์กึ่งกลาง) เสร็จสมบูรณ์แล้วและฉันก็ยินดีที่จะมอบเงินรางวัลให้กับคนที่พิสูจน์ความจริงนี้ ใน RGCSP ในขั้นตอนแรกผู้ตัดสินให้ผู้เล่นสองคนที่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรสุ่ม (ตัวอย่างเช่นเขาอาจให้ผู้เล่นคนแรกมีจุดในระนาบ projective ขนาดใหญ่และผู้เล่นคนที่สองที่มีจุดนี้) หลังจากนี้สำหรับจำนวนพหุนามของรอบผู้เล่นสองคนสลับกันส่งข้อความสาธารณะขนาดโพลีอื่น ๆ หลังจากเล่นเกมแล้วผู้ตัดสินตามเวลาจะตัดสินว่าใครชนะ ความซับซ้อนของการประมาณความน่าจะเป็นชนะสำหรับผู้เล่น 1 คืออะไร?

• คำถามที่ 4: ในที่สุดฉันมีคำถามที่อาจเกี่ยวกับวิทยาการเข้ารหัสลับและการแจกแจงความน่าจะเป็นจริง ๆ : ให้ความสามารถในการทำการโอนย้ายผู้เล่นสองคนที่หลงลืมในเกม refereed ด้วยเหรียญกึ่งเอกชนที่ไม่เกี่ยวข้อง (หรือมิฉะนั้นจะอนุญาตให้พวกเขาเล่นเกมเพื่อตัดสินว่าผู้ชนะคนใดที่สมบูรณ์แบบเป็นเวลา)?

ฉันไม่สามารถตอบคำถามเดิมของฉันได้ แต่ฉันสามารถตอบคำถาม 3 (และ 4) ซึ่งฉันเพิ่มเมื่อเสนอเงินรางวัลเพราะฉันคิดว่าคำถามดั้งเดิมนั้นยากเกินไป ที่จริงฉันมีข้อพิสูจน์สองข้อสำหรับคำถาม 3

นี่คือการตั้งค่าสำหรับคำถามที่ 3: เรามีผู้ตัดสินพหุนามเวลาที่ตอนเริ่มเกมให้ตัวแปรสุ่มที่มีความสัมพันธ์กับผู้เล่น 1 และ 2 ผู้เล่นที่ 1 และ 2 จากนั้นเล่นเกมโดยไม่มีการแทรกแซงจากผู้ตัดสิน ในตอนท้ายของเกมผู้ตัดสินจะดูจากบันทึกและตัดสินใจว่าใครจะชนะ ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าการตัดสินว่าใครชนะเกมดังกล่าวนั้นจะเสร็จสมบูรณ์แม้ว่าคุณจะได้รับสัญญาว่าผู้ชนะจะชนะด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อยก็ตาม$2/3$

======== พิสูจน์ 1 ============

หลักฐานแรกใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการถ่ายโอนแบบลืมเลือนนั้นเป็นสากลสำหรับการคำนวณแบบสองฝ่ายที่ปลอดภัย ดังนั้นหากผู้เล่นที่ 1 และ 2 สามารถทำการโอนย้ายโดยไม่คำนึงถึงพวกเขาสามารถจำลองผู้ตัดสินพหุนามแบบสุ่มได้ดังนั้นผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ที่เกมผู้อ้างสิทธิ์จะเสร็จสมบูรณ์ EXPTIME

ตอนนี้เพื่อให้ได้การถ่ายโอนที่ถูกลืมไป 1-2 ครั้งในตอนเริ่มเกมผู้ตัดสินให้ผู้เล่นสองคนมีจำนวนมาก เราอธิบายหนึ่งในกล่องโอนย้ายที่หลงลืมเหล่านี้ P1 ได้รับสองตัวเลขสุ่มและr_2P2 ได้รับหนึ่งในตัวเลขสุ่มเหล่านี้และตัวแปร (หรือ ) บอกว่าเขาได้รับเลขสุ่มใดของ P1 เพื่อทำการถ่ายโอนแบบไม่สนใจ P1 ใช้ข้อมูลสองชิ้นที่เขาต้องการถ่ายโอนและ XOR ทำการถ่ายโอนด้วยและ$r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$. P2 สามารถถอดรหัสหนึ่งในสิ่งเหล่านี้ได้ แต่ P1 ไม่สามารถบอกได้ว่า P2 ตัวใดที่สามารถถอดรหัสได้ นี่คือ 1-2 การถ่ายโอนที่ลืมเลือน (เห็นได้ชัดว่าผู้ตัดสินยังต้องให้ผู้เล่นลืมกล่องโอนที่กำกับด้วยวิธีอื่นตั้งแต่ P2 ถึง P1)

เมื่อแรกที่ฉันถามคำถามที่ 4 ฉันกังวลว่าผลลัพธ์การคำนวณสองฝ่ายที่ปลอดภัยไม่ได้นำไปใช้กับการคำนวณเชิงโต้ตอบแบบนี้กับผู้ตัดสิน แต่จริงๆแล้วมันค่อนข้างง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าพวกเขาทำ

=========== พิสูจน์ 2 ===========

ทีนี้สำหรับข้อพิสูจน์ที่สองสำหรับคำถามที่ 3 ที่นี่เราจำเป็นต้องย้อนกลับไปและแก้ไขหลักฐาน Feige-Kilian ในหลักฐานนี้พวกเขาพิจารณาเครื่องทัวริง T ซึ่งใช้การคำนวณเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล Feige และ Kilian เข้ารหัสบิตบนเทปในเวลาในพหุนามแบบหลาย x_1 x_nบนสนาม จำกัด ขนาดใหญ่ GF ( ) ตอนนี้ผู้ชี้ขาดชี้ไปที่ P1 และเส้นที่บรรจุจุดนี้เป็น P2 และผู้เล่นทั้งสองให้การประเมินจุดและเส้นบนกลับไปที่ผู้ตัดสิน ใช้ตัดสินค้นหาแบบไบนารีที่จะหาเวลาที่ P1 และ P2 ของการประเมินผลของ$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$$Q_t$เห็นด้วย แต่การประเมินของพวกเขาเกี่ยวกับไม่เห็นด้วยหลังจากนั้นเขาก็ถามคำถามที่ฉลาดซึ่งจะเปิดเผยว่าเธอเป็น P1 หรือไม่ที่เป็นคนโกหก$Q_{t+1}$

สิ่งแรกที่เราจะใช้คือแม้ว่าจะมีเหรียญสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้องผู้ตัดสินสามารถทำให้ผู้เล่น 1 และ 2 ทำการแสดงผลได้โดยให้ XOR เป็นข้อมูลที่พวกเขาต้องการกระทำด้วยเหรียญสุ่ม ดังนั้นเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ P1 และ P2 ได้โดยใส่สิ่งต่าง ๆ ลงในซองที่ปิดผนึก

สิ่งหนึ่งที่คุณอาจจะพยายามที่จะจำลองหลักฐาน Feige-Kilian คือผู้ตัดสินให้ P1 มากจุดที่แตกต่างกันและ P2 จำนวนมากของสายเพื่อให้อยู่ใน\ตอนนี้ในแต่ละขั้นตอนของการค้นหาแบบไบนารีผู้เล่นจะใส่ค่าและลงในซองที่ปิดผนึกจากนั้นผู้ตัดสินเลือกหนึ่งแบบสุ่มเพื่อให้ผู้เล่นเปิด ผู้เล่นสองคนตัดสินใจว่าค่าสอดคล้องกันหรือไม่และดำเนินการค้นหาไบนารีต่อไป ตอนนี้เราได้ทำลายคู่เนื่องจากผู้เล่นทั้งคู่รู้ถึงคุณค่าของจุดและเส้น แต่เรายังมีคู่ (จุดเส้นตรง) จำนวนมากที่เราสามารถใช้ได้$p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$$(p_i, \ell_i)$

(ผู้ตัดสินสามารถเลือกหนึ่งแบบสุ่มได้อย่างไรถ้าเขาให้คำแนะนำผู้เล่นเฉพาะตอนเริ่มเกมเขาสามารถเข้ารหัสคำแนะนำของเขาในค่า XOR ที่เขาให้กับผู้เล่นสองคนที่จุดเริ่มต้นและ ผู้เล่นสองคนไม่สามารถอ่านคำแนะนำจนกว่าพวกเขาทั้งสองจะเปิดเผยค่าในเวลาที่เกี่ยวข้อง)$(p_i, \ell_i)$

กลยุทธ์นี้ใช้งานไม่ได้เนื่องจาก P1 และ P2 ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับเวลาที่พวกเขาเริ่มโกหกด้วยสองจุด (หรือเส้น) นั่นคือ P1 สามารถให้ค่าที่ถูกต้องสำหรับและ ค่าไม่ถูกต้องสำหรับ(p_j) การทำเช่นนี้จะทำให้การค้นหาแบบไบนารีเป็นระเบียบและทำให้โปรโตคอลไม่สามารถสรุปได้ อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับเรียบร้อยที่เราสามารถใช้เพื่อบังคับให้ P1 สอดคล้องกัน เพิ่มจุดจำลองจำนวนมากไปยังชุดจุดของ P1 และเพิ่มบรรทัดจำลอง$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$ถึงชุดของ P2 ปล่อยให้แต่ละบรรทัดจำลองมีสองจุด ถ้า P1 ให้ค่าที่ถูกต้องสำหรับจุดจำลองหนึ่งจุดบนบรรทัดและค่าผิดสำหรับจุดจำลองอื่น ๆ เขาจะเปิดเผยตนเองว่าเป็นคนโกหกเนื่องจากไม่มีวิธีใดที่ P2 จะให้ค่าสำหรับเส้นที่เป็น ถูกต้องสำหรับหนึ่งในสองของ P1 ที่อยู่บนนั้น เราสามารถทำเคล็ดลับที่คล้ายกันเพื่อให้คำตอบ P2 อย่างต่อเนื่อง สิ่งเดียวที่เหลืออยู่ก็แสดงให้เห็นว่าขั้นตอนสุดท้ายของการพิสูจน์ Feige-Kilian ยังคงใช้ได้ สิ่งนี้กลายเป็นเรื่องตรงไปตรงมาแม้ว่าการผ่านรายละเอียดต่างๆจะทำให้คำตอบนี้นานขึ้น