มีขอบเขตทั่วไปของ Bonferroni สไตล์ที่มีประสิทธิภาพเป็นที่รู้จักหรือไม่?

ปัญหาคลาสสิกในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในแง่ของเหตุการณ์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น ในกรณีที่ง่ายที่สุดที่หนึ่งสามารถพูดB] Let 's เขียนสำหรับเหตุการณ์B $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ $AB$ $A \cap B$

จากนั้นก็มีวิธีที่จะผูก $P[\cup A_i]$ โดยไม่มีการสมมติความเป็นอิสระของเหตุการณ์ $A_i$ มากมาย Bonferroni ให้ขอบเขตบน

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$ (บางครั้งก็เกิดจากBoole ) และ Kounias กลั่นสิ่งนี้ให้กับ

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

โครงสร้างการพึ่งพาของเหตุการณ์สามารถถือได้ว่าเป็นกราฟไฮเปอร์ถ่วงน้ำหนักที่มีจุดยอด $A_i$ โดยมีน้ำหนักของขอบที่แสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการตัดกันของจุดยอดในขอบ

อาร์กิวเมนต์สไตล์การคัดออกจะพิจารณาชุดย่อยของเหตุการณ์ที่ใหญ่กว่าและใหญ่กว่าด้วยกัน เหล่านี้ผลผลิตขอบเขต Bonferroni ขอบเขตเหล่านี้ใช้น้ำหนักทั้งหมดของขอบขึ้นอยู่กับขนาดบางk $k$

ถ้าโครงสร้างการพึ่งพาอาศัยกันคือ "ดีพอ" จากนั้นLovász Local Lemma สามารถใช้ในการจำกัดความน่าจะเป็นจากค่าที่มากที่สุด 0 และ 1 ในทางตรงกันข้ามกับวิธี Bonferroni LLL ใช้ข้อมูลที่ค่อนข้างหยาบเกี่ยวกับโครงสร้างการพึ่งพา

ตอนนี้สมมติว่าน้ำหนักที่ค่อนข้างน้อยในโครงสร้างการพึ่งพาอาศัยกันไม่ใช่ศูนย์ นอกจากนี้สมมติว่ามีหลายเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน แต่ยังไม่เป็นอิสระ (และโดยทั่วไปเป็นไปได้ว่าชุดเหตุการณ์ $k$ ไม่ได้เป็นอิสระร่วมกัน แต่เป็น $r$ -wise อิสระสำหรับทุก ๆ $r < k$ )

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้โครงสร้างการพึ่งพาของเหตุการณ์อย่างชัดเจนเพื่อปรับปรุงขอบเขต Bonferroni / Kounias ในวิธีที่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ?

ฉันคาดหวังคำตอบคือใช่และจะขอบคุณพอยน์เตอร์สำหรับการอ้างอิง ฉันรู้ว่ากระดาษของฮันเตอร์จากปี 1976 แต่มันเกี่ยวข้องกับการพึ่งพาคู่ ฮันเตอร์พิจารณาทอดต้นไม้ในกราฟที่เกิดขึ้นจากการละเว้นขอบในโครงสร้างการพึ่งพาขนาด 3 หรือมากกว่า

เดวิดฮันเตอร์ผู้ถูกผูกมัดเพื่อความน่าจะเป็นของสหภาพวารสารความน่าจะเป็นประยุกต์13 597–603 http://www.jstor.org/stable/3212481

reference-request pr.probability

— András Salamon
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณจะพบคำตอบในกระดาษ "Approximate Inclusion-Exclusion" โดย Linial และ Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ดูมีความเกี่ยวข้องสูง (ลิงค์อย่างเป็นทางการคือlink.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); นอกจากนี้ยังมีlink.springer.com/article/10.1007/BF01271266สำหรับติดตามผลโดย Jeff Kahn, Nathan Linial และ Alex Samorodnitsky

— András Salamon