นับจำนวนรอบ Hamiltonian ในกราฟลูกบาศก์ Hamiltonian

มันเป็นฮาร์ดเพื่อหาค่าประมาณคงที่ของวงจรที่ยาวที่สุดในกราฟลูกบาศก์มิลโตเนียน กราฟลูกบาศก์มิลโตเนียนมีรอบอย่างน้อยสองรอบ$NP$

อะไรคือขอบเขตบนและขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับจำนวนรอบมิลโตเนียนในกราฟลูกบาศก์มิลโตเนียน ได้รับกราฟลูกบาศก์ Hamiltonian ความซับซ้อนในการค้นหาจำนวนรอบมิลโตเนียนคืออะไร มัน # -hard?$P$

การนับวงจร Hamiltonian ในกราฟ Hamiltonian แบบ 3 ปกติคือ # P-complete ดังต่อไปนี้

ร่างหลักฐาน การเป็นสมาชิกใน #P นั้นสำคัญมากดังนั้นเราจะแสดงเฉพาะค่าความแข็ง # P เท่านั้น

ส่วนที่ 3 ของLiśkiewicz, Ogihara และ Toda [LOT03] แสดงให้เห็นว่าการนับวงจร Hamiltonian ในกราฟ 3 แบบปกติ (และในความเป็นจริงในระนาบในเวลาเดียวกัน) กราฟคือ # P-complete ยิ่งไปกว่านั้นการลดลงของพวกเขาจาก # 3SAT แมปสูตร 3CNF ที่น่าพอใจกับกราฟแฮมิลตัน ดังนั้นคุณสามารถลด # 3SAT ให้นับวงจรมิลโตเนียนในกราฟแฮมิลเนียนปกติ 3 ตัวได้โดยเพิ่มวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยไปยังสูตร 3CNF ที่กำหนดไว้ก่อนแล้วจึงลดลงเป็นการนับวงจรมิลโตเนียนโดยใช้การลดลงใน [LOT03] QED

[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara และ Seinosuke Toda ความซับซ้อนของการนับการเดินหลีกเลี่ยงตัวเองในกราฟย่อยของกริดสองมิติและไฮเปอร์คิวบ์ ทฤษฎีวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ , 304 (1–3): 129–156, กรกฎาคม 2546 http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

กราฟบางอันมีวงจร hamiltonian สามชุด:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

หากเริ่มต้นด้วยกราฟระนาบของจัตุรมุขซึ่งประกอบด้วยวงจร hamiltonian สามชุดและสร้างกราฟที่เชื่อมต่อกับระนาบ 3 ใหม่โดยการตัดจุดยอดเดี่ยวหนึ่งอันจะได้รับกราฟใหม่ซึ่งมีวงจร hamiltonian สามเส้น หากมีการตัดยอดหนึ่งจุดในเวลาหนึ่งจะได้กราฟของครอบครัวที่มีวงจรแฮมิลตันสามเส้น

ความคิดเห็นเพิ่มเติม:

นอกจากนี้ยังมีงานบางคำถามที่กราฟอื่นนอกเหนือจากรอบมีวงจร hamiltonion หนึ่ง:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

กระดาษสำรวจที่ดีมากเกี่ยวกับวงจร hamltionian ในกราฟชนิดพิเศษที่มีส่วนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของวงจร hamiltonian และแก้ไขปัญหาบางอย่างกับกระดาษข้างต้นคือ:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf