ภาษาทั้งหมดที่มีเพียงภาษาทัวริงที่สมบูรณ์เท่านั้นที่สามารถตีความได้

ภาษาใดที่ไม่ทัวริงสมบูรณ์ไม่สามารถเขียนล่ามได้ด้วยตนเอง ฉันไม่มีเงื่อนงำที่ฉันอ่าน แต่ฉันเห็นมันใช้มาหลายครั้ง ดูเหมือนว่าสิ่งนี้ก่อให้เกิดภาษาที่สมบูรณ์แบบที่สุด "ไม่ใช่" ทัวริง; หนึ่งที่สามารถเท่านั้นถูกตีความโดยเครื่องทัวริง ภาษาเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชั่นทั้งหมดจากธรรมชาติถึงธรรมชาติและไม่จำเป็นต้องเป็น isomorphic (นั่นอาจเป็นภาษาที่สุด A และ B มีอยู่เช่นว่ามีฟังก์ชัน F ที่ A สามารถคำนวณ แต่ B ไม่สามารถ) Agda สามารถแปลความหมายของระบบ Godel T และ Agda นั้นเป็นภาษาที่รวมกันดังนั้นภาษาที่ดีที่สุดควรจะมีพลังมากกว่าที่ระบบ T ของ Godel จะดูเหมือน สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าภาษาดังกล่าวจะมีประสิทธิภาพเท่ากับ agda อย่างน้อย (แม้ว่าฉันจะไม่มีหลักฐาน แต่เป็นลางสังหรณ์)

มีงานวิจัยใดที่ทำในหลอดเลือดดำนี้หรือไม่? ผลลัพธ์ใดบ้างที่ทราบ (คือภาษาที่รู้จักกันดีที่สุด)

โบนัส: ฉันกังวลว่ามีกรณีทางพยาธิวิทยาที่ไม่สามารถคำนวณฟังก์ชั่นที่ระบบ T ของ Godel ยังสามารถตีความได้โดยเครื่องทัวริงเท่านั้นเพราะมันช่วยให้คำนวณฟังก์ชันแปลก ๆ ได้ เป็นกรณีนี้หรือเราสามารถรู้ว่าภาษาดังกล่าวจะสามารถคำนวณอะไรก็ได้ที่ระบบ T ของ Godel สามารถคำนวณได้?

นี่เป็นคำถามที่พูดไม่ดีดังนั้นมาทำความเข้าใจก่อนกัน ฉันจะทำมันในรูปแบบของทฤษฎีการคำนวณ ดังนั้นฉันจะใช้ตัวเลขแทนสตริง: ชิ้นส่วนของซอร์สโค้ดคือตัวเลขแทนที่จะเป็นสตริงของสัญลักษณ์ มันไม่สำคัญหรอกคุณอาจแทนที่ด้วยs t r i n gด้านล่าง$\mathbb{N}$$\mathtt{string}$

ให้จะเป็นฟังก์ชั่นการจับคู่$\langle m, n\rangle$

ให้เราบอกว่าภาษาการเขียนโปรแกรมได้รับจากข้อมูลต่อไปนี้:$L = (P, ev)$

1. decidableชุดของ "โปรแกรมที่ถูกต้อง" และ$P \subseteq \mathbb{N}$
2. คำนวณและบางส่วนฟังก์ชั่น N$ev : P \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

ความจริงที่ว่าสามารถถอดรหัสได้หมายความว่ามีแผนที่ที่คำนวณได้ทั้งหมดv a l i d : N → { 0 , 1 }เช่นนั้นv a l i d ( n ) = $P$$valid : \mathbb{N} \to \{0,1\}$ P อย่างไม่เป็นทางการเรากำลังบอกว่าเป็นไปได้ที่จะบอกได้ว่าสตริงที่กำหนดเป็นโค้ดที่ถูกต้องหรือไม่ ฟังก์ชั่น e vเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับนักแปลสำหรับภาษาของเรา: e v ( m , n ) ใช้งานโค้ด mในอินพุต n - ผลลัพธ์อาจไม่ได้กำหนด$valid(n) = 1 \iff n \in P$$ev$$ev(m,n)$$m$$n$

ตอนนี้เราสามารถแนะนำคำศัพท์บางคำ:

1. ภาษาคือผลรวมถ้าเป็นฟังก์ชั่นรวมสำหรับm ∈ Pทั้งหมด$n \mapsto ev(m,n)$$m \in P$
2. ภาษาตีความภาษาL 2 = ( P 2 , e v 2 )หากมีu ∈ P 1เช่นนั้นe v 1 ( u , ⟨ n , m ⟩ ) ≃ e v 2 ( n , m )สำหรับทุกคนn ∈ $L_1 = (P_1, ev_1)$ $L_2 = (P_2, ev_2)$$u \in P_1$$ev_1(u, \langle n, m \rangle) \simeq ev_2(n, m)$$n \in P$และ N นี่มึงเป็นแบบจำลองสำหรับL 2ดำเนินการในL 1 นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันเป็นโปรแกรมสากลสำหรับL 2$m \in \mathbb{N}$$u$$L_2$$L_1$$L_2$

คำจำกัดความอื่น ๆ ของ " interprets L 2 " นั้นเป็นไปได้ แต่ขออย่าให้ฉันเข้าใจ$L_1$$L_2$

เราบอกว่าและL 2เทียบเท่ากันหากพวกเขาตีความซึ่งกันและกัน$L_1$$L_2$

มี "ภาษาที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด" ของทัวริงเครื่องจักร (ซึ่งคุณเรียกว่า "เครื่องทัวริง") ซึ่งn ∈ Nเป็นการเข้ารหัสของเครื่องทัวริงและφ ( n , m )คือ ฟังก์ชันที่คำนวณได้บางส่วนที่ "รันเครื่องทัวริงเข้ารหัสโดยnบนอินพุตm " ภาษานี้สามารถขัดจังหวะภาษาอื่น ๆ ทั้งหมดเนื่องจากเราต้องการให้e vคำนวณได้$T = (\mathbb{N}, \varphi)$$n \in \mathbb{N}$$\varphi(n,m)$$n$$m$$ev$

คำจำกัดความของภาษาการเขียนโปรแกรมของเรานั้นผ่อนคลายมาก เพื่อให้สิ่งต่อไปนี้ผ่านไปให้เราต้องการอีกสามเงื่อนไข:

• $L$ implements the successor function: there is $succ \in P$ such that $ev(succ,m) = m+1$ for all $m \in \mathbb{N}$,
• $L$ implements the diagonal function: there is $diag \in P$ such that $ev(diag,m) = \langle m, m \rangle$ for all $m \in \mathbb{N}$,
• $L$ is closed under composition of functions: if $L$ implements $f$ and $g$ then it also implements $f \circ g$,

A classic result is this:

Theorem: If a language can interpret itself then it is not total.

Proof. Suppose $u$ is the universal program for a total langauge $L$ implemented in $L$, i.e., for all $m \in P$ and $n \in \mathbb{N}$,

$$ev(u, \langle m, n \rangle) \simeq ev(m, n).$$ As successor, diagonal, and $ev(u, {-})$ are implemented in $L$, so is their composition $k \mapsto ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$. There exists $n_0 \in P$ such that $ev(n_0, k) \simeq ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$, but then $$ev(u, \langle n_0, n_0\rangle) \simeq ev(n_0, n_0) \simeq ev(u, \langle n_0, n_0 \rangle) + 1$$ As there is no number equal its own successor, it follows that $L$ is not total or that $L$ does not interpret itself. QED.

Observe that we could replace the successor map with any other fixpoint-free map.

Here is a little theorem which I think will clean up a misunderstanding.

Theorem: Every total language can be interpreted by another total language.

Proof. Let $L$ be a total language. We get a total $L'$ which interprets $L$ by adjoining to $L$ its evaluator $ev$. More precisely, let $P' = \{\langle 0, n\rangle \mid n \in P\} \cup \{\langle 1, 0\rangle\}$ and define $ev'$ as

$$ev'(\langle b, n \rangle, m) = \begin{cases} ev(n,m) & \text{if $b = 0$},\\ ev(m_0, m_1) & \text{if $b = 1$ and $m = \langle m_0, m_1 \rangle$} \end{cases}$$ Obviously, $L'$ is total because $L$ is total. To see that $L'$ can simulate $L$ just take $u = \langle 1, 0\rangle$, since then $ev'(u, \langle m, n\rangle) \simeq ev(m, n)$, as required. QED.

Exercise: [added 2014-06-27] The language $L'$ constructed above is not closed under composition. Fix the proof of the theorem so that $L'$ satisfies the extra requirements if $L$ does.

In other words, you never need the full power of Turing machines to interpret a total language $L$ – a slightly more powerful total language $L'$ suffices. The language $L'$ is strictly more powerful than $L$ because it interprets $L$, but $L$ does not interpret itself.

Any language which is not Turing complete can not write an interpreter for it self.

This statement is incorrect. Consider the programming language in which the semantics of every string is "Ignore your input and halt immediately". This programming language is not Turing complete but every program is an interpreter for the language.