กระบวนทัศน์ของทฤษฎีบทอัตโนมัติที่พิสูจน์แล้วมีความเหมาะสมในการทำพิธีการสไตล์ปรินชิเปีย

ฉันอยู่ในความครอบครองของหนังสือเล่มหนึ่งซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากปรินชิเปียมาเธอร์เตมาติอา (PM) และลอจิสติกส์เชิงบวกของรัซเซลส์พยายามที่จะทำให้เป็นทางการโดเมนเฉพาะโดยการกำหนดสัจพจน์และทฤษฎีบท กล่าวโดยย่อคือความพยายามที่จะทำเพื่อโดเมนสิ่งที่ PM พยายามทำเพื่อคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับ PM มันถูกเขียนขึ้นก่อนการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ (ATP) เป็นไปได้

ฉันกำลังพยายามที่จะเป็นตัวแทนของสัจพจน์เหล่านี้ในระบบ ATP ที่ทันสมัยและพยายามที่จะอนุมานทฤษฎีบทในขั้นต้นเหล่านั้นที่อนุมานโดยผู้เขียน (ด้วยมือ) ฉันไม่เคยใช้ระบบ ATP มาก่อนและได้รับตัวเลือกมากมาย (HOL, Coq, Isabelle และอื่น ๆ อีกมากมาย) แต่ละคนมีจุดแข็งจุดอ่อนและแอปพลิเคชั่นต่าง ๆ มันยากที่จะตัดสินใจว่าสิ่งใดเหมาะสมสำหรับฉัน วัตถุประสงค์.

พิธีการของผู้เขียนสะท้อน PM อย่างใกล้ชิด มีคลาส (ชุด?) คลาสของคลาสและลำดับชั้นสูงสุด 6 ระดับ มีการสั่งซื้อครั้งแรกและตรรกะการสั่งซื้ออาจสูงกว่า เมื่อพิจารณาถึงการเชื่อมต่อกับ PM ฉันได้ตรวจสอบ Metamath เป็นครั้งแรกเนื่องจากคนอื่น ๆ ได้พิสูจน์ทฤษฎีของ PM ใน MetaMath แล้ว อย่างไรก็ตาม Metamath นั้นเป็นเครื่องยืนยันความถูกต้องไม่ใช่ระบบ ATP

จากการอธิบายระบบต่าง ๆ ของ ATP ฉันเห็นคุณลักษณะหลายอย่างเช่นการใช้งานทฤษฎีประเภทของคริสตจักรทฤษฎีประเภทเชิงสร้างสรรค์ทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณทฤษฎีการตั้งค่าแบบพิมพ์ / ไม่พิมพ์การหักตามธรรมชาติประเภทแลมบ์ดานิค การดำรงอยู่ของความเสมอภาค (หรือไม่) ในระยะสั้นแต่ละระบบดูเหมือนจะใช้ภาษาที่แตกต่างกันมากและจะต้องมีความเหมาะสมสำหรับการทำสิ่งต่าง ๆ อย่างเป็นทางการ ฉันคิดว่าห้องสมุดที่มีอยู่สำหรับการทำคณิตศาสตร์ในรูปแบบไม่เกี่ยวข้องกับจุดประสงค์ของฉัน

คำแนะนำใด ๆ เกี่ยวกับคุณลักษณะที่ฉันควรค้นหาในการเลือก ATP หรือคำแนะนำอื่น ๆ ที่คุณอาจมีหลังจากอ่านคำถามนี้จะได้รับการชื่นชมมาก สำหรับการอ้างอิงนี่คือหน้าตัวอย่างจากหนังสือ น่าเสียดายที่ PM เป็นสัญลักษณ์ของ Peano-Russell

หนังสือ -

"วิธีสัจพจน์เชิงชีววิทยา" (1937), JH Woodger, A. Tarski, WF Floyd

สัจพจน์เริ่มต้นด้วย mereological ตัวอย่างเช่น,

$x$$\alpha$$\alpha$$x$$y$$x$$z$$\alpha$$y$

$$S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$$

อีกครั้งโปรดทราบว่านี่คือสัญกรณ์ Peano-Russell (สัญกรณ์ของปรินชิเปีย)

สัจพจน์ภายหลังนั้นมีเนื้อหาทางชีวภาพเช่น

7.4.2 เมื่อนักเล่นเกมของสมาชิกสองคนของคลาส Mendelian รวมกันเป็นคู่เพื่อสร้างไซโกตความน่าจะเป็นที่จะเกิดการรวมกันของคู่ที่ให้นั้นเท่ากับของอีกคู่

จากสิ่งที่ฉันเข้าใจนี้เป็นสิ่งที่บ่งบอกถึงพันธุศาสตร์ Mendelian

ฉันไม่ใส่เครื่องหมายนี้เนื่องจากมีความยาวสามบรรทัดและสร้างจากเนื้อหาที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้

ตัวอย่างของทฤษฎีบท -

เห็นได้ชัดว่านี่เป็นการตีความที่มีความหมายในพันธุศาสตร์ Mendelian ซึ่งไม่ใช่นักประวัติศาสตร์ด้านชีววิทยาฉันไม่เข้าใจ ในหนังสือเล่มนี้มันถูกอนุมานด้วยมือ

ขอบคุณ!

ปรินชิเปียมาเธมาติกาเป็นการตอบสนองต่อความขัดแย้งต่าง ๆ ที่ค้นพบในตรรกะทางคณิตศาสตร์ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 20 อย่างไรก็ตามผลงานของตัวเองซึ่งมักได้รับการยกย่องอย่างอ้อม ๆ ว่าเป็น 'ผลงานชิ้นเอกที่อ่านไม่ได้' นั้นค่อนข้างเงอะงะและมีการสร้างฐานรากที่ทันสมัยมากขึ้น เพื่ออธิบายคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คุณมีหลายทางเลือก: ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นหนึ่งทฤษฎีประเภทได้รับความนิยมในบางโครงการเป็นส่วนขยายของแคลคูลัสแลมบ์ดา แต่สิ่งที่เข้าใจดีที่สุดและพื้นฐานที่สุดคือทฤษฎีเซต

ทฤษฎีเซตมีหลายสูตรที่แตกต่างกัน Zermelo Frankel ตั้งทฤษฎีด้วยสัจพจน์ของการเลือกเป็นออร์โธดอกซ์ส่วนใหญ่ที่อ้างถึงด้วยความรักโดยผู้ชื่นชอบทฤษฎีเซต ทฤษฎีเซต Tarski-Grothendiek เป็นอีกทฤษฎีหนึ่งที่คล้ายกับซึ่งรวมถึงสัจพจน์ของ Tarski สำหรับเหตุผลเกี่ยวกับหมวดหมู่ขนาดใหญ่ สิ่งเหล่านี้น่าสนใจสำหรับการทวนสอบ แต่ค่อนข้างยากกว่าสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติเพราะสคีสัจพจน์ของการแทนที่ยอมรับจำนวนสัจพจน์ที่ไม่สิ้นสุดซึ่งแสดงถึงความท้าทายสำหรับการดำเนินการ ในขณะที่รากฐานเหล่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับระบบพิสูจน์ยืนยันเช่น Mizar สำหรับทฤษฎีเซต Tarski-Grothendiek และ Metamath สำหรับ$\sf ZFC$$\sf\ ZFC$$\sf ZFC$สำหรับระบบพิสูจน์ทฤษฎีบทจริงมันจะดีถ้ามี axiomatization

รากฐานที่น่าจะเหมาะสมที่สุดก็คือทฤษฎีเซตของ Von Neumann – Bernays – Gödelหรือซึ่งยอมรับ axiomatization ที่ จำกัด โดยการเป็นทฤษฎีสองประเภทที่มี ontology ของคลาสที่เหมาะสมเช่นเดียวกับเซต นอกจากนี้ยังได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นส่วนขยายอนุรักษ์เพื่อให้ทฤษฎีบทใด ๆ ของเป็นทฤษฎีของN B G Z F C N B G Z F $\sf NBG$$\sf NBG$$\sf ZFC$$\sf NBG$$\sf ZFC$. เหตุผลที่ทฤษฎีนี้เหมาะสมที่สุดสำหรับการใช้เหตุผลอัตโนมัติในความเห็นของฉันคือเหตุผลในลำดับแรกซึ่งยอมรับแคลคูลัสพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพเสียงและสมบูรณ์และการ จำกัด axiomatization หมายความว่ามันสามารถใช้กับการแก้ปัญหาลำดับแรกซึ่งทำให้เรา ผลลัพธ์ที่เป็นระเบียบ: หากคำสั่งนั้นสามารถตัดสินใจได้หลักฐานจะถูกค้นพบในที่สุด

ตรรกะเชิงประพจน์ไม่ชัดเจนเพียงพอและตรรกะการสั่งซื้อที่สูงขึ้นในขณะที่แสดงออกมากขึ้นไม่ยอมรับแคลคูลัสพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพเสียงและสมบูรณ์ ตรรกะลำดับแรกที่มีทฤษฎีเซตช่วยให้คุณสามารถแสดงและแมปทฤษฎีตรรกะลำดับที่สูงขึ้นดังนั้นสำหรับฐานรากที่เป็นจุดที่น่าสนใจ ... ยกเว้นความเป็นไปได้ของคำชี้แจงที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ (ขอบคุณGödel) ซึ่งเป็นเหตุผลว่า มักจะอธิบายว่ากึ่ง decidable

Art Quaife ได้ทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้ใน: การพัฒนาอัตโนมัติของทฤษฎีคณิตศาสตร์พื้นฐานซึ่งเขาได้ดำเนินการในตรรกะลำดับแรกในรูปแบบประโยคเพื่อที่จะสามารถใช้งานได้โดยการแก้ปัญหาตามทฤษฎีบท (Otter) และการอ้างอิงที่ยอดเยี่ยมสำหรับการแก้ปัญหา รากฐานของงานประเภทนี้คือการแนะนำเชิงคณิตศาสตร์เบื้องต้นของ Elliott Mendelson$\sf NBG$

ตอนนี้ผู้ช่วยพิสูจน์สมัยใหม่มักจะไม่ค่อยกังวลกับรากฐานจากกระบวนทัศน์ของปรินชิเปียมาโทเมียและมีประโยชน์มากขึ้นสำหรับทฤษฎีที่พิสูจน์การทำงานประจำวันดังนั้นพวกเขาจึงได้รับการสนับสนุนชิ้นส่วนของตรรกะลำดับสูงกว่าการแก้ SAT / SMT แนวทางที่เป็นทางการมากขึ้นและเป็นพื้นฐานน้อยลง แต่ถ้าคุณพยายามทำบางอย่างเช่นPrincipia Mathematica ทฤษฏีการแก้ปัญหาคำสั่งอันดับแรกที่มีทฤษฎีเซตลำดับแรกที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างเห็นได้ชัดเป็นอุดมคติ

สำหรับตัวอย่างของวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติโจมตีปัญหาจากรากฐานเหล่านี้ไซต์พันปัญหาสำหรับทฤษฎีบทผู้ให้บริการ ( TPTP ) มีจำนวนปัญหาที่ดีและคุณจะสังเกตเห็นว่าปัญหาพื้นฐานหลายประการในทฤษฎีจำนวนนั้นถูกก่อตั้งขึ้นในเซตทฤษฎี หากคุณมีเวลาลองดู NUM006-1.p บนเว็บไซต์ของพวกเขานั่นคือการคาดคะเนของ Goldbach คุณสามารถลองใช้งานได้และหากสามารถตัดสินใจได้ก็จะพบข้อพิสูจน์ในที่สุด$\sf NBG$

ทฤษฎีบทในหนังสือของคุณเกือบจะแน่นอนว่าเป็นทฤษฎีบทของเนื่องจากมันถูกเขียนในภาษาของทฤษฎีเซต สัจพจน์ของพันธุศาสตร์ในหนังสือเล่มนั้นเกือบจะแน่นอนจะถูกแสดงเป็นคำจำกัดความของภาควิชาตั้งเป้าหมายวิธีการที่คณิตศาสตร์ Peano เป็นตัวแทนในเป็นคำจำกัดความของ predicates จากนั้นให้คุณทำตามขั้นตอนการแก้ไขใน ATP ใด ๆ เลือกคำสั่งที่คุณต้องการพิสูจน์ลบล้างแปลงเป็นรูปแบบปกติของ Skolem จากนั้นเป็นแบบฟอร์มคำสั่งย่อยและทำตามวิธีแก้ปัญหา เมื่อคุณพบประโยคที่ว่างเปล่าคุณได้พบความขัดแย้งพิสูจน์คำสั่งN B $\sf NBG$$\sf NBG$

งานที่คุณมีอยู่หากคุณต้องการพยายามกำหนดทฤษฎีในแง่ของทฤษฎีเซตคือการค้นหาคำจำกัดความเชิงสัมพันธ์ที่แยกจากทฤษฎีเซตซึ่งจะช่วยให้คุณทำภาคแสดงในแง่ของทฤษฎีเซต อีกตัวอย่างหนึ่งคือนี่คือวิธีที่เรานิยามเลขคณิตของ Peano ในทฤษฎีเซตซึ่งโดยตัวมันเองนั้นไม่มีคำจำกัดความของตัวเลขการเพิ่มการคูณหรือแม้แต่ความเท่าเทียมกัน เป็นตัวอย่างของคำนิยามทางทฤษฎีเซตของความสัมพันธ์เช่นความเท่าเทียมเราสามารถนิยามมันในแง่ของการเป็นสมาชิกเช่น:

∀ ∈ ↔ ∈ $\forall$ xy ( z (z x z y) x = y)$\forall$$\in$$\leftrightarrow$$\in$$\leftrightarrow$

คำเตือนเล็กน้อย: เส้นโค้งการเรียนรู้สำหรับเรื่องนี้สูงชันมาก หากคุณมีความตั้งใจที่จะทำสิ่งนี้คุณอาจพบว่าตัวเองต้องเผชิญกับปัญหาหลายปีก่อนที่จะเข้าใจปัญหาทั้งหมดเช่นเดียวกับประสบการณ์ของฉัน คุณอาจต้องการตรวจสอบทฤษฎีจากวิธีการพื้นฐานน้อยกว่าก่อนที่จะทำหน้าที่อันยิ่งใหญ่ของการฝังไว้ในภาษาพื้นฐานสำหรับทุกสิ่ง คุณไม่จำเป็นต้องให้เหตุผลเกี่ยวกับชุดของยีนที่นับไม่ได้

หลายจุด:

1. เท่าที่ฉันรู้ปรินชิเปียมาเธมาติกาใช้หลักการของทฤษฎีเซตแบบเป็นทางการโดยใช้ตรรกะลำดับแรกที่พิมพ์ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องน่าดึงดูดที่จะใช้สุภาษิตอัตโนมัติอันดับหนึ่งเช่นProver 9หรืออาจเป็นACL2เพื่อทำให้ข้อความของคุณเป็นทางการ อย่างไรก็ตามฉันเห็นสิ่งก่อสร้างเชิงทฤษฎีหลายชุด (เช่น , ) ที่นั่นซึ่งโดยปกติแล้วจะเล่นได้ไม่ดีนักกับ ATP อันดับแรก∩ , $\in$$\cap, \subset$

2. ผู้ช่วยหลักฐานการโต้ตอบที่ทันสมัยทุกคนย่อมมีความหมายที่จะทำให้เป็นทางการและพิสูจน์ข้อความของคุณตามที่ Andrej ได้แนะนำไว้ ในความเป็นจริงเนื่องจากดูเหมือนจะมีงบบางคำรวมถึงเลขคณิตดังนั้นจึงควรใช้ระบบเช่นIsabelle , CoqหรือHOLซึ่งมีทฤษฎีที่กว้างขวางในการรักษาข้อความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ การเน้นเรื่องความทันสมัยไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: มีความก้าวหน้าอย่างมากในการใช้งานมาตั้งแต่ Automath และฉันคิดว่าคุณจะทำสิ่งที่ไม่ดีโดยใช้สิ่งที่ไม่ได้พัฒนามาตั้งแต่ยุค 90 (ถ้าคุณสามารถทำได้ ไปทำงาน!)

3. ท้ายที่สุด ITP และ ATP มีเส้นโค้งการเรียนรู้ที่ค่อนข้างท้าทายและคุณไม่ควรคาดหวังว่าจะสามารถใส่ทฤษฎีบทเหล่านี้ลงในระบบดังกล่าวได้ราวกับว่าคุณกำลังเขียนหลักฐานคาดหวังความคับข้องใจอย่างมากและเสียเวลาโดยเฉพาะในเดือนแรก (ใช่เดือน) คุณต้องทำงานผ่านบทช่วยสอนบางอย่างในตอนแรกก่อนที่จะเข้าสู่การทำพิธีการหลัก$\LaTeX$