ความซับซ้อนของการแยกภาษาปกติเป็นไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท

ได้รับการแสดงออกปกติ , จะมีผู้ใดขอบเขตที่ไม่น่ารำคาญกับขนาดของไวยากรณ์บริบทที่เล็กที่สุดสำหรับ ? $R_1, \dots, R_n$ $R_1 \cap \cdots \cap R_n$

fl.formal-languages regular-language context-free

— แม็กซ์
แหล่งที่มา

??? พยายามนึกภาพสิ่งนี้ มีเคล็ดลับหรือไม่? จุดตัดของ

เป็นปกติ สามารถหา DFA ที่น้อยที่สุด (นับรัฐ wrt) ผ่านวิธีการมาตรฐานซึ่งก็เป็น CFG

R_{n}

$R_n$

— vzn

@vzn: คุณพูดถูก ปัญหาคือว่า DFA นี้และดังนั้น CFG อาจมีขนาดใหญ่มาก ฉันสงสัยว่าถ้าใครสามารถใช้พลังพิเศษของ CFG เพื่อรับคำอธิบายที่กระชับยิ่งขึ้นของการแยก

— สูงสุด

การคาดเดาไม่ได้ สงสัยว่า CFL ทุกตัวที่รับรู้ (เช่นเทียบเท่ากับ) RL ไม่ได้ใช้สแต็กหรือสามารถแปลงเป็นหนึ่งที่ไม่เพิ่มขึ้นในรัฐและขั้นต่ำเช่น PDA (นับรัฐ wrt) มีขนาดเล็กที่สุด DFA ไม่เคยได้ยิน / เห็นหลักฐานนี้ มันอาจจะไม่ยาก เป็นคำถามที่ง่ายจะมีใด ๆ PDA ที่ตระหนักถึง RL ที่มีขนาดเล็กกว่า DFA หรือไม่? คิดว่าไม่

— vzn

@vzn: การคาดเดาที่มีประโยชน์ แต่เท็จให้

เป็นส่วนหนึ่งของภาษา Dyck ในสองประเภทของวงเล็บที่ความลึกสูงสุดคือการทำรังk

มี CFG คือ

ขนาด

แต่น้อย DFA (แม้ผมคิดว่าน้อยที่สุด NFA) มีขนาด

)

L_{k}

$L_k$

k

$k$

L_{k}

$L_k$

O (k)

$O(k)$

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Max

ภาษา Dyckเป็น CFL แต่ไม่ใช่ RLs ... ? แต่เห็นไหมว่าคุณกำลังจำกัดความลึกในการซ้อนสูงสุด ... ดังนั้นคุณสามารถสร้างภาษาเดียวกันกับทางแยก RL ได้หรือไม่? อะไรคือข้อพิสูจน์ว่า DFA ที่น้อยที่สุดมีขนาดใหญ่? คือ

รัฐ ? คุณไม่ได้กำหนดเกณฑ์ขั้นต่ำหรือที่อื่น ๆ & เอารัฐเป็นกรณีธรรมชาติ แต่มันไม่ได้เป็นเพียงคนเดียว

O (2^{k})

$O(2^k)$

— vzn

คำตอบ:

นี่เป็นคำถามที่ดีมากและตั้งอยู่ในความสนใจของฉัน ฉันดีใจที่คุณถามมันว่า Max

ให้ DFA ของที่มีมากที่สุดรัฐแต่ละคนจะได้รับ มันจะดีถ้ามี PDA ที่มีสถานะย่อยเป็นทวีคูณที่ยอมรับการแยกภาษา DFA อย่างไรก็ตามฉันขอแนะนำว่า PDA ดังกล่าวอาจไม่มีอยู่จริง $n$ $O(n)$

พิจารณาภาษาที่ใช้ทำสำเนา ทีนี้ จำกัด ไว้ที่การคัดลอกสายอักขระความยาว n

พิจารณาอย่างเป็นทางการว่า -copy $n$ $:=$ } $\{ xx \, | \, x \in \{0,1\}^{n}\}$

เราสามารถเป็นตัวแทนของคัดลอกเป็นจุดตัดของ DFA ของขนาดที่มากที่สุด )แต่มีขนาดเล็กที่สุด DFA ที่ยอมรับคัดลอกมีรัฐ $n$ $n$ $O(n)$ $n$ $2^{\Omega(n)}$

ในทำนองเดียวกันถ้าเรา จำกัด ตัวเราให้เป็นตัวอักษรแบบไบนารีสแต็กฉันก็สงสัยว่า PDA ที่เล็กที่สุดที่รับ -copy นั้นมีสถานะเป็นจำนวนมาก $n$

PS รู้สึกอิสระที่จะส่งอีเมลถึงฉันถ้าคุณต้องการที่จะหารือเพิ่มเติม :)

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

ฉันไม่คิดว่าจะมีขอบเขตล่างหรือบนที่ไม่สำคัญ
สำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าให้พิจารณาภาษาสำหรับแน่นอน ขนาดของไวยากรณ์ที่ไม่ใช้บริบทที่เล็กที่สุดคือลอการิทึมในขนาดของนิพจน์ทั่วไปของในขณะที่ขนาดของออโตมาตาเล็กที่สุดสำหรับนั้นเป็นเชิงเส้นตรงในขนาดของRegex ของความแตกต่างของเลขชี้กำลังนี้ยังคงเหมือนเดิมหากเราตัดกับภาษาอื่น ๆ สำหรับขอบเขตบนให้พิจารณาภาษาที่ประกอบด้วยอย่างแน่นอน $L_1 = \{ a^{2^k} \}$ $k$ $L_1$ $L_1$ $L_1$ $L_1$
$L_2$ deBruijn ลำดับของความยาวnมันเป็นที่รู้จักกันว่าขนาดของไวยากรณ์ที่เล็กที่สุดสำหรับเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดคือ $n$ $L_2$ ดังนั้นความแตกต่างของหุ่นยนต์ "ที่เล็กที่สุด" สำหรับเป็นเพียงปัจจัยลอการิทึมข้อเสนอ 1 ใน $O\left( \frac{n}{\log n} \right)$ $L_2$

D. Hucke, M. Lohrey, E. Noeth สร้าง Grammars ต้นไม้ขนาดเล็กและวงจรขนาดเล็กสำหรับสูตรเพื่อแสดงใน FSTTCS 2014

ขอบเขตล่างหรือบนทั่วไปที่ไม่สำคัญจะขัดแย้งกับผลลัพธ์เหล่านั้นเนื่องจากสิ่งที่เป็นจริงสำหรับจุดตัดของภาษาจะต้องเป็นจริงสำหรับจุดตัดของภาษา $n$ $1$

— john_leo
แหล่งที่มา

หมายเหตุเกี่ยวกับขนาดของไวยากรณ์ที่เล็กที่สุดสำหรับ deBruijn-Sequence เดียวนั้นค่อนข้างน่าสนใจ คุณช่วยกรุณาอ้างอิงได้ไหม ขอขอบคุณ.

— Michael Wehar

นอกจากนี้ฉันอาจเข้าใจผิด แต่ดูเหมือนว่าคุณจะระบุปัญหาสำหรับนิพจน์ทั่วไปเดียว (แทนที่จะเป็นผลิตภัณฑ์ของนิพจน์ทั่วไป) หรือไม่

— Michael Wehar

@MichaelWehar อือฉันพิจารณาเพียงนิพจน์ทั่วไปเดียวเท่านั้น เพราะถ้ามันควรจะเป็นจริงสำหรับการตัดกันของ

ภาษาแล้วมันจะต้องเป็นจริงสำหรับการตัดกันเล็กน้อย ฉันไม่ทราบวิธีการปรับคำถามเพื่อแยกกรณีเหล่านี้ออก ฉันได้เพิ่มการอ้างอิงควรจะทำอย่างนั้นทันทีขอโทษ

n

$n$

— john_leo

ขอขอบคุณ! คุณสามารถอธิบายตัวอย่างเฉพาะได้ นี่คือคำกล่าวง่ายๆที่นำไปสู่การดำรงอยู่ของตัวอย่างดังกล่าว ให้ n รับ มีความยาวสตริง 2 ^ n n นอกจากนี้ยังมีเครื่องทัวริงไม่เกิน 2 ^ n เครื่องที่มีสถานะ n / log (n) มากที่สุด ดังนั้นบางสตริง x ของความยาว n ซึ่งไม่มีเครื่องทัวริงที่น้อยกว่า n / log (n) สถานะยอมรับภาษา {x} ดังนั้น {x} จึงได้รับการยอมรับจาก DFA ที่มี n state และไม่สามารถยอมรับโดย PDA ที่มีสถานะน้อยกว่า n / log (n)

— Michael Wehar

ให้ฉันตัดสินใจเกี่ยวกับ Michael เป็นครั้งที่สองนี่เป็นคำถามที่น่าสนใจ แนวคิดหลักของไมเคิลสามารถนำมารวมกับผลลัพธ์จากวรรณกรรมได้ดังนั้นจึงให้ขอบเขตล่างที่คล้ายกันกับการพิสูจน์ที่เข้มงวด

ฉันจะอ้างถึงขอบเขตของขนาด CFG ในแง่ของจำนวนทั้งหมดของสัญลักษณ์ตัวอักษรในการแสดงออกปกติขอหมายเลขนี้จะแสดงโดยk(ดังที่ john_leo ตั้งข้อสังเกตเราจะไม่พบขอบเขตที่มีประโยชน์ใด ๆ ในแง่ของจำนวนนิพจน์ทั่วไปที่มีส่วนร่วมในทางแยก) $n$ $k$

ทั้ง OP และ Michael ไม่จำเป็นต้องพูดถึงเรื่องนี้ แต่ขอบเขตบนของ (ตามจำนวนสถานะ) สำหรับการแปลงจุดตัดของนิพจน์ทั่วไปเป็น NFA สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย สำหรับเร็กคอร์ดนี่คือ: แปลงนิพจน์ทั่วไปเป็น Glushkov ออโตมาตาซึ่งไม่ใช่การส่งคืนทั้งหมด จากนั้นใช้การสร้างผลิตภัณฑ์เพื่อรับ NFA สำหรับจุดตัดของภาษาเหล่านี้ (ฉันคิดว่าหนึ่งสามารถปรับปรุงขอบเขตเป็น $2^{k+1}$ $2^k+1$ หรือดังนั้น) state NFA สามารถถูกแปลงเป็นไวยากรณ์เชิงเส้นขวา (ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของ CFG) ขนาด $s$ $O(s^2)$ (ถ้าเราวัดขนาดไวยากรณ์เป็นจำนวนรวมของสัญลักษณ์บนด้านขวามือซ้ายและโปรดักชั่น) จึงทำให้ขนาด )แน่นอนว่าขอบเขตนี้ฟังดูน่ากลัวหากคุณมีแอปพลิเคชันที่ใช้งานได้จริง การพยายามพิสูจน์ขอบเขตที่ดีขึ้นโดยใช้ความซับซ้อนของการเปลี่ยนผ่าน nondeterministic แทนความซับซ้อนของรัฐที่ควบคุมไม่ได้สำหรับการประเมินขนาดของ NFA อาจคุ้มค่ากับความพยายาม $O(4^{k})$

อีกส่วนหนึ่งกำลังค้นหาภาษาพยานที่สามารถแสดงออกได้อย่างชัดเจนว่าเป็นจุดตัดของการแสดงออกปกติ แต่ก็เป็นเรื่องยุ่งยากที่จะอธิบายด้วย CFG (ที่นี่เราจำเป็นต้องสร้างขอบเขตล่างของขนาดของ CFG ทั้งหมดที่สร้างภาษาซึ่งสามารถมีได้ไม่ จำกัด จำนวนมาก) อาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้ให้ขอบล่าง $2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$

พิจารณาภาษาที่ จำกัดที่หมายถึงการพลิกกลับของWแล้วสามารถแสดงเป็นจุดตัดของต่อไปนี้ $L_n = \{\,ww^Rw \in \{a,b\}^*\mid |w|=n\,\}$ $w^R$ $w$ $L_n$ การแสดงออกปกติ: $2n+1$

สำหรับ $r_i = (a+b)^ia(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^*+(a+b)^ib(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^*$ ; $1\le i \le n$
, สำหรับ $s_i = (a+b)^*a(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^i+(a+b)^*b(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^i$ ; $1\le i \le n$
$\ell = (a+b)^{3n}$

$k$ $O(n^2)$

$L_n$ $2^n/(2n) = 2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$ $2$ $n$ $n^n/(2n)$ ; แต่การโต้แย้งดำเนินไปพร้อมกับการแก้ไขที่ชัดเจน

ถึงกระนั้นช่องว่างขนาดใหญ่ยังคงอยู่ระหว่าง $O(4^n)$ และขอบเขตล่างดังกล่าวข้างต้น

อ้างอิง:

V. Arvind, Pushkar S. Joglekar, Srikanth Srinivasan วงจรเลขคณิตและ Hadamard ของพหุนาม , FSTTCS 2009, Vol. LIPIcs 4 แห่ง, หน้า 25-36
มีเหตุมีผลมาร์ติน; Leiß, Hans (2009) " ถึง CNF หรือไม่กับ CNF? รุ่นที่มีประสิทธิภาพ แต่นำเสนอได้ของอัลกอริทึม CYK " Informatica Didactica 8.

— Hermann Gruber
แหล่งที่มา