เครื่องทัวริงน่าจะเป็นสามารถแก้ปัญหาการหยุดพักหรือไม่

29

คอมพิวเตอร์ที่มีการสุ่มบิตอย่างไม่มีที่สิ้นสุดจะมีประสิทธิภาพมากกว่าคอมพิวเตอร์ที่ไม่มีเครื่อง คำถามคือมันมีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะแก้ปัญหาการหยุดหรือไม่

นั่นคือคอมพิวเตอร์ที่น่าจะเป็นไปได้ที่จะตัดสินว่าโปรแกรมกำหนดค่าหยุดทำงานหรือไม่

ตัวอย่างของคอมพิวเตอร์ที่น่าจะเป็นสิ่งที่ไม่สามารถกำหนดได้: พิจารณาโปรแกรมขนาดเล็ก (ความยาวน้อยกว่ากิโลไบต์) ที่ส่งออกสตริงที่มีความซับซ้อน Kolmogorov มากกว่ากิกะไบต์ ซับซ้อน Kolmogorovของสตริงคือความยาวของโปรแกรมกำหนดค่าสั้นที่สุดที่สร้างสตริงนั้น ดังนั้นโดยนิยามโปรแกรมที่กำหนดขึ้นไม่สามารถสร้างสตริงที่มีความซับซ้อนมากกว่าความยาวของมันเอง อย่างไรก็ตามหากมีกระแสสุ่มบิตอย่างไม่สิ้นสุดโปรแกรมขนาดเล็กสามารถบรรลุภารกิจด้วย 99.99999 ... % สำเร็จโดยเพียงแค่พูดออกมาพูดว่าสุ่ม 10 พันล้านบิตและหวังว่า Kolmogorov ซับซ้อนของบิตเหล่านั้นจะสูงพอ . ดังนั้นการสร้างสายของความซับซ้อนที่เหนือกว่า Kolmogorov อยู่ภายในขอบเขตความเป็นไปได้ของโปรแกรมความน่าจะเป็น แต่ไม่สามารถทำได้สำหรับโปรแกรมที่กำหนดขึ้น

ที่กล่าวว่าฉันสงสัยว่ามันเป็นไปได้ที่จะใช้บิตสุ่มอย่างแท้จริงเลือยตัดโลหะที่ปัญหาการหยุดชะงัก ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมอาจสร้างทฤษฎีบทแบบสุ่มและพิสูจน์ / หักล้าง / ทิ้งพวกมันจนกว่ามันจะรู้พอที่จะพิสูจน์ / หักล้างว่าโปรแกรมที่กำหนดนั้นหยุดการทำงาน

computability randomness turing-machines

— Joey Adams
แหล่งที่มา

3

@downvoter: สิ่งนี้ไม่ควรได้รับการลงคะแนนโดยปราศจากความคิดเห็น

— Dave Clarke

3

อะไรที่จะป้องกันไม่ให้มีการกำหนด TM จากการแจกแจงทุกกรณี? ที่นี่การตรวจสอบการเดาเป็นปัญหาไม่คาดเดาตัวเอง โปรดทราบว่าคุณไม่สามารถพูดได้ว่าคุณมีพลังมากกว่านี้อย่างแน่นอนหากคุณสร้างผลลัพธ์ที่ต้องการโดยมีความน่าจะเป็นเท่านั้น

p < 1

$p<1$

— Raphael

1

"โปรแกรมที่กำหนดขึ้นไม่สามารถสร้างสตริงที่มีความซับซ้อนมากกว่าความยาวของมันเอง" ก็เพียงพอแล้วที่เครื่องกำหนดอื่น ๆ บางอย่างจะแสดงผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่า TM ที่กำหนดขึ้นสามารถจำลองได้ไม่เพียง แต่ความน่าจะเป็น แต่ยังรวมถึง TM แบบ nondeterministic (ด้วยจำนวนทางเลือกโดยพลการ)

— Kaveh

เมื่อวานฉันกำลังจะบอกว่า - ดู Kaveh et al - นี่เป็นคำถามพื้นฐานสำหรับเว็บไซต์นี้ (คำถามเดียวกันสำหรับ NTM เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทุกหลักสูตรทฤษฎีแรก) เนื่องจากมันใช้ความพยายามอย่างมากในการทำให้เป็นไปได้ "probabilistic TM" ฉันดีใจที่ฉันไม่ได้ทำ

— Raphael

1

และดูคำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถาม TCS ที่เกี่ยวข้องก่อนหน้านี้ของฉัน: cstheory.stackexchange.com/questions/1263/ …

— Joseph O'Rourke

22

แก้ไข:ฉันเพิ่งตระหนักถึงบางสิ่งที่ฉันเขียนว่าไร้สาระทั้งหมดขอโทษสำหรับสิ่งนั้น ตอนนี้ฉันเปลี่ยนการพิสูจน์และทำให้คำจำกัดความของเครื่องความน่าจะเป็นที่ฉันใช้แม่นยำยิ่งขึ้น

ฉันไม่รู้ว่าฉันเข้าใจนิยามของเครื่องทัวริงน่าจะเป็นจริงหรือไม่: มันเป็นเครื่องที่มีเทปเพิ่มเติมที่เขียนสตริงที่ไม่สามารถบีบอัดได้ไม่สิ้นสุดและนอกจากนั้นมันทำหน้าที่เหมือนเครื่องกำหนดค่าหรือไม่? ถ้าเราแก้ไขสตริงที่ไม่สามารถบีบอัดคลาสที่เราได้รับดูเหมือนจะไม่น่าสนใจ

ฉันคิดว่าเราสามารถกำหนดเครื่องทัวริงที่น่าจะเป็นได้หลายวิธี ฉันจะใช้คำจำกัดความที่ดูเหมือนเป็นธรรมชาติ (และสำหรับการพิสูจน์ของฉัน;) ลองกำหนดเครื่องที่น่าจะเป็นแบบนั้น: มันจะได้รับเทปเพิ่มเติมซึ่งมีการเขียนสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดเราบอกว่าเครื่องนี้ตัดสินใจภาษาถ้า ทุก ๆจะหยุดและยอมรับด้วยความน่าจะเป็นเมื่อความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้กับสตริงการสุ่มเพิ่มเติมเหล่านั้นและสำหรับทุก ๆจะหยุดและปฏิเสธด้วยความน่าจะเป็น{2} $L$ $x \in L$ $>\frac{1}{2}$ $x \not \in L$ $>\frac{1}{2}$

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าหากมีเครื่องน่าจะเป็นที่แก้ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่องที่กำหนดไว้เราสามารถใช้มันเพื่อสร้างเครื่องที่กำหนดขึ้นซึ่งแก้ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่องที่กำหนด - และเรารู้ว่าเครื่องดังกล่าว ไม่สามารถอยู่ได้ $P$ $H$

สมมติว่ามีอยู่ เราสามารถสร้างเครื่องจักรที่กำหนดค่าได้ซึ่งใช้เป็นอินพุตของเครื่องน่าจะเป็นกับอินพุตซึ่ง $P$ $M$ $R$ $x$

หยุดและยอมรับถ้ายอมรับ (เช่นหยุดและยอมรับในสตริงสุ่มมากกว่าครึ่ง) $R$ $x$ $R$ $x$
หยุดและปฏิเสธถ้าปฏิเสธ (เช่นหยุดและปฏิเสธบนสตริงสุ่มมากกว่าครึ่ง) $R$ $x$ $R$ $x$
ลูปเป็นอย่างอื่น

โดยพื้นฐานแล้วจะใช้สำหรับจำลองบนอินพุตและทุกสตริงจากเป็นส่วนนำหน้าของสตริงบนเทปสุ่มของขณะนี้: $M$ $i \in 1, 2, ...$ $R$ $x$ ${{0,1}}^i$ $R$

ถ้าสำหรับคำนำหน้าความยาวหยุดและยอมรับโดยไม่พยายามอ่านมากกว่าบิตของจากเทปสุ่มหยุดและยอมรับ $>\frac{1}{2}$ $i$ $R$ $i$ $M$
ถ้าสำหรับคำนำหน้าของความยาวที่หยุดและปฏิเสธโดยไม่พยายามอ่านมากกว่าบิตจากเทปสุ่มหยุดและปฏิเสธ $>\frac{1}{2}$ $i$ $R$ $i$ $M$
มิฉะนั้นวิ่งจำลองกับ 1 $M$ $i := i+1$

เราต้องโน้มน้าวตัวเองตอนนี้ว่าถ้ายอมรับ (ปฏิเสธ)กับความน่าแล้วสำหรับบางคนจะยอมรับ (ปฏิเสธ) สำหรับคำนำหน้าของ ความยาวของสตริงสุ่มโดยไม่พยายามอ่านมากกว่าบิตจากเทปสุ่ม มันเป็นเรื่องทางเทคนิค แต่ค่อนข้างง่าย - ถ้าเราถือว่าเป็นอย่างอื่นความน่าจะเป็นที่จะยอมรับ (ปฏิเสธ) เข้าใกล้เมื่อไปหาอนันต์ดังนั้นสำหรับบางคนจะต้องเป็น{2} $R$ $x$ $p >\frac{1}{2}$ $i$ $>\frac{1}{2}$ $i$ $i$ $p >\frac{1}{2}$ $i$ $i$ $p >\frac{1}{2}$

ตอนนี้เราก็กำหนดเครื่องกำหนดของเราแก้ลังเลปัญหา (เช่นการตัดสินใจว่าจะให้เครื่องกำหนดยอมรับคำที่กำหนด ) เป็นx)) โปรดทราบว่าหยุดเสมอเพราะการตัดสินใจภาษาโดยเครื่องที่น่าจะเป็นของเราถูกกำหนดในลักษณะที่หนึ่งในสองสิ่งนี้เกิดขึ้นเสมอ: $H$ $N$ $x$ $H(N,x) = M(P(N,x))$ $M(P(N, x))$

เครื่องหยุดและยอมรับสตริงสุ่มมากกว่าครึ่ง
เครื่องหยุดและปฏิเสธสตริงสุ่มมากกว่าครึ่ง

— Karolina Sołtys
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่ให้รายละเอียดความคิดเห็น "เพิ่งแจกแจง" ของฉัน! ;) ความคิดเห็นทางเทคนิคสองรายการ: ที่หัวข้อย่อยคุณหมายถึงหรือไม่ ในตอนท้ายคุณหมายถึงหรือไม่

> 2^{i - 1}

$>2^{i-1}$

S (Q)

$S(Q)$

— Raphael

1

โปรดทราบว่าหากคุณไม่ต้องการให้ P หยุดชะงักมันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะสร้างเครื่องทัวริงที่กำหนดค่าได้ซึ่งยอมรับถ้าหากเครื่องทัวริงที่กำหนดนั้นหยุดชั่วคราว

— Tsuyoshi Ito

สมมติฐานของคุณคืออะไร คุณไม่สามารถปฏิเสธเครื่องทัวริงที่น่าจะเป็นได้เว้นแต่จะรับประกันว่าจะหยุดในที่สุด

— Tsuyoshi Ito

ความน่าจะเป็นที่หยุดพักจะถูกนำไปใช้กับสตริงเพิ่มเติมและป้อนคำหรืออะไร?

— M. Alaggan

1

@ โมฮัมหมัด ALAGGAN: ไม่ส่วนนั้นถูกต้องตามที่เขียนไว้: ความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้กับสตริงเพิ่มเติมเท่านั้น (ระบุผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ) เนื่องจากเราไม่ได้สมมติว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นใด ๆ บนสตริงอินพุตความน่าจะเป็นเหนือสตริงที่ป้อนนั้นไม่ได้กำหนดไว้อย่างดี แม้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นบนสตริงอินพุตถูกกำหนดความน่าจะเป็นสูงของคำตอบที่ถูกต้องเหนือสตริงอินพุตหมายความว่าอัลกอริทึมนั้นถูกต้องสำหรับอินพุตส่วนใหญ่ซึ่งแตกต่างจากข้อกำหนดปกติของอัลกอริทึม

— Tsuyoshi Ito

14

ขึ้นอยู่กับว่าคุณหมายถึงอะไรโดยอัลกอริธึมที่น่าจะเป็นตัวกำหนดเพรดิเคตบางอย่าง

มีขั้นตอนวิธีการที่น่ารำคาญน่าจะเป็นPดังกล่าวว่าสำหรับการกำหนดเครื่องทัวริงM ,

P ( M ) ยอมรับด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์ถ้าMหยุด
P ( M ) ไม่เคยยอมรับถ้าMไม่หยุดและ
P ( M ) หยุดที่มีความน่าจะเป็น 1 สำหรับทุกM

ดังนั้นอัลกอริทึมความน่าจะเป็นPจะแก้ปัญหาการหยุดชะงักของเครื่องจักรทัวริงที่กำหนดไว้ในแง่นี้ (ที่นี่“ M halts” หมายถึง“ Mหยุดพักที่อินพุตว่าง”)

อย่างไรก็ตามหากคุณเพิ่มความต้องการในวิธีที่เหมาะสมก็ไม่น่าเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่องทัวริงที่กำหนดไว้ได้อีกต่อไป ตัวอย่างเช่น,

หากคุณต้องการP ( M ) ต้องหยุดชะงักเสมอแทนเพียงกับความน่าจะเป็น 1แล้วมันเป็นที่ชัดเจนว่าPสามารถจำลองโดยขั้นตอนวิธีการที่กำหนด (ดูวิกิพีเดียสำหรับคำอธิบายความแตกต่างระหว่าง“ เสมอ” และ“ ด้วยความน่าจะเป็น 1. ”)
หากคุณทำให้ข้อผิดพลาดมีขอบเขตเข้มงวดโดยกำหนดให้P ( M ) หยุดและให้คำตอบที่ถูกต้องโดยมีความน่าจะเป็นอย่างยิ่งมากกว่า 1/2 สำหรับทุก ๆM (นั่นคือคุณไม่สนใจว่าP ( M ) ไม่หยุดหรือหยุดและ ให้คำตอบที่ไม่ถูกต้องในส่วนที่เหลือของกรณี) จากนั้นPสามารถจำลองโดยขั้นตอนวิธีการที่กำหนดโดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่ระบุไว้ในคำตอบของ Karolina Soltys

ดังนั้นอัลกอริธึมความน่าจะเป็นไม่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่องทัวริงที่กำหนดค่าได้ในความรู้สึกเหล่านี้

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ให้อภัยความไม่รู้ของฉัน แต่อะไรคือความแตกต่างระหว่างการหยุด '' เสมอ '' และการหยุด '' ด้วยความน่าจะเป็น 1 ''

— Rob Simmons

1

@ Rob: ฉันคิดว่ามันเป็นจุดที่ยุ่งยาก พิจารณาเครื่องทัวริงที่น่าจะเป็นแบบง่าย ๆ ซึ่งเพียงแค่โยนเหรียญซ้ำ ๆ จนกว่าผลลัพธ์จะออกมาเป็นหัว เครื่องทัวริงนี้หยุดยกเว้นเมื่อการโยนเหรียญทั้งหมดส่งผลให้ก้อย ดังนั้นจึงหยุดด้วยความน่าจะเป็นที่ 1 แต่ก็ไม่ได้หยุดเสมอ

— Tsuyoshi Ito

ฉันพบคำอธิบายของความแตกต่างระหว่าง "เสมอ" และ "กับความน่าจะเป็น 1" ในวิกิพีเดียและฉันเพิ่มลิงก์เดียวกันในคำตอบ

— Tsuyoshi Ito

ถ้าคุณยอมให้ P (M) ล้มเหลวโดยไม่หยุดพักฉันก็ไม่รู้ว่าคุณจะทำแบบจำลองที่กำหนดขึ้นได้อย่างไร ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณใช้การจำลองแบบกำหนดค่าของคุณกับชุดคำนำหน้าความยาว -N บางชุดและหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง <50% ของคำนำหน้าหยุดทำงานและได้รับคำตอบ คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าคำนำหน้าสตริงที่เหลือนั้นต้องการเวลามากกว่าในการส่งคืนคำตอบหรือหากมันติดอยู่ในลูปไม่สิ้นสุดซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเงื่อนไขความล้มเหลว หากอดีตคุณยังคงรอ หากหลังคุณยกเลิกรอบปัจจุบันและเรียกใช้อีกครั้งในส่วนนำหน้าทั้งหมดของความยาว -N + 1

— Mike Battaglia

แต่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินเพราะมันเป็นปัญหาการหยุดชะงัก! เราไม่มีทางรู้ว่าเครื่องจักรทัวริงจะหยุดกับอินพุตเหล่านั้นหรือไม่

— Mike Battaglia

12

$P$ $P$ $P$

ฉันคิดว่านี่เป็นความหมายของความคิดเห็นของราฟาเอล

— มาร์ค
แหล่งที่มา

7

$A\subseteq\mathbb N$ $A$

de Leeuw, K. , Moore, EF, Shannon, CE, และ Shapiro, N. ความสามารถในการคำนวณโดยเครื่องน่าจะเป็น, การศึกษาแบบออโตมาตา, หน้า 183–212 พงศาวดารของการศึกษาคณิตศาสตร์เลขที่ 34. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์, 1956

G. กระสอบ, องศาของความสามารถในการละลาย, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 1963

— Bjørn Kjos-Hanssen
แหล่งที่มา