การคูณจำนวนเต็มเมื่อหนึ่งจำนวนเต็มได้รับการแก้ไข

ให้เป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ของขนาดบิต$A$$n$

หนึ่งรายการได้รับอนุญาตให้ประมวลผลจำนวนเต็มนี้ล่วงหน้าตามความเหมาะสม

ด้วยจำนวนเต็มบวกขนาดบิตบวกความซับซ้อนของการคูณคืออะไร?$B$$m$$AB$

โปรดทราบว่าเรามีอัลกอริทึม แบบสอบถามที่นี่คือว่าเราสามารถใช้\ epsilon = 0โดยอะไรที่ฉลาดกว่านี้ไหม?$(\max(n,m))^{1+\epsilon}$$\epsilon=0$

แม้ว่ามันจะไม่ใช่อัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพที่สุดเสมอไป แต่คำถามนี้มีความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดกับโซ่เพิ่มเติม อัลกอริทึมใด ๆ สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็วโดยการเพิ่มเชนจะแปลเป็นอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณโดยการเติมซ้ำ (แน่นอนว่าการเพิ่มแต่ละครั้งจะเป็นการดำเนินการ ) Contrariwise เป็นอัลกอริทึมด่วนสำหรับการคำนวณสำหรับใด ๆ ที่นำไปสู่อัลกอริทึมด่วนสำหรับการคำนวณแต่แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบของการเพิ่มโซ่ ยังคงดูเหมือนว่าเป็นสถานที่ที่ยอดเยี่ยมในการเริ่มต้น ดูhttp://en.wikipedia.org/wiki/Addition_chainหรือดูฉบับที่ 2 จาก$A$$f(B) = AB$$O(n)$$AB$$B$$A$The Art Of Computer Programmingสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

เพื่อขยายแนวคิดของ Steven Stadnicki เราสามารถสร้างอัลกอริธึมไร้เดียงสาที่ทำได้ดีกว่าการคูณเมทริกซ์อย่างรวดเร็วโดยใช้การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง

เรานับจำนวนของคนใน หากน้อยกว่าครึ่งหนึ่งเป็นบิตเราจะสร้างรายการที่เชื่อมโยงของตำแหน่งของพวกเขา ในการคูณเราเพียงแค่เลื่อนไปทางซ้ายโดยแต่ละตำแหน่งในรายการ (คูณด้วยบิตนั้นที่เป็นตัวแทน) และเพิ่มผลลัพธ์$A$$B$

หากมากกว่าครึ่งหนึ่งของบิตเป็นบิตเราจะทำเช่นเดียวกันกับข้างบน แต่เราใช้ศูนย์แทนการเติมรายการของตำแหน่ง แนวคิดคือเราจะลบผลรวมนี้จากผลรวมที่จะได้รับจากการคูณด้วยจำนวนทั้งหมด เพื่อให้ได้ผลรวมของทุกตัวเราเปลี่ยนตามจำนวนบิตในและลบจากนี้ จากนั้นเราสามารถลบผลรวมของเราที่ได้รับจากรายการที่เชื่อมโยง$B$$A$$B$

เราสามารถเรียกได้ว่าอัลกอริทึมเชื่อมโยงรายชื่อไร้เดียงสา เวลาทำงานของมันคือในกรณีที่แย่ที่สุด แต่ในกรณีทั่วไปซึ่งเร็วกว่า DFT สำหรับขนาดเล็ก.$O(n^2)$$O(|B| \sqrt{\frac{|A|}{2\pi}})$$|A|$

ในการใช้แนวคิดของรายการอย่างเหมาะสมเราใช้การหารและการพิชิต เราแบ่งครึ่งและค้นหาขนาดของรายการที่เกี่ยวข้องโดยใช้อัลกอริทึมไร้เดียงสา หากพวกเขามากกว่า 5 เราจะเรียกอัลกอริทึมไร้เดียงสาอีกครั้งในครึ่งที่มากกว่า 5 จนกว่าเราจะจัดการแบ่งครึ่งทั้งหมดให้เหลือน้อยกว่าห้า (นี่เป็นเพราะเราสามารถลดได้ถึง 4 การลบ)$A$

ยิ่งไปกว่านั้นเรายังปรับปรุงอัลกอริทึมการแบ่งและพิชิตของเรา เราย้ำผ่านชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการแตกแขนง, การเลือกที่ดีที่สุดอย่างโลภ การประมวลผลล่วงหน้านี้ใช้เวลาประมาณเดียวกับการคูณจริง

หากเราได้รับอนุญาตให้มีอิสระอย่างไม่มีที่สิ้นสุดด้วยการประมวลผลล่วงหน้าเราจะแก้ไขอัลกอริธึมการแบ่งและพิชิตที่เหมาะสมที่สุดสำหรับทุกสาขาอย่างเหมาะสมที่สุด สิ่งนี้ต้องใช้เวลาในกรณีที่เลวร้ายที่สุด แต่มันควรจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดโดยการเพิ่มวิธีการลูกโซ่$O(2^{|A|})$

ฉันกำลังคำนวณค่าที่แน่นอนกว่าสำหรับอัลกอริทึมด้านบน

กระดาษที่เรียกว่าการคูณด้วยค่าคงที่คือ sublinear ( PDF ) ให้อัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการเปลี่ยน / เพิ่มโดยที่คือขนาดของค่าคงที่ .$\mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right)$$n$

โดยพื้นฐานแล้วมันทำงานโดยการหาค่าบิตในค่าคงที่การเลื่อนและการเพิ่มจำนวนที่จะถูกคูณเฉพาะสำหรับบิตเหล่านั้นในค่าคงที่ (เช่นการคูณแบบยาวสำหรับไบนารีซึ่งบิตในจำนวนด้านล่างที่จะคูณ ด้านบนจะไม่ถูกเลื่อนและเพิ่มในขณะที่บิตหมายถึงด้านบนจะถูกเลื่อนและเพิ่ม) อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ยังคงเป็นเพราะอาจมีบิตในค่าคงที่$1$$1$$0$$1$$\mathcal{O}\left(n\right)$$\mathcal{O}(n)$ $1$

จากนั้นกระดาษจะพูดถึงการเปลี่ยนการแทนค่าตัวเลขของค่าคงที่เป็นระบบเลขฐานสองฐานที่เห็นได้ชัดว่า non- -bit เป็น sparser หากการแปลงเสร็จสิ้นอย่างถูกต้อง (มันเป็นระบบตัวเลขที่ซ้ำซ้อนมาก) พวกเขาคำนวณว่ามันเบาบางแค่ไหน จำนวนของบิตที่ไม่เป็นศูนย์จะถูก จำกัด ให้น้อยกว่าดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการเพิ่มจำนวนย่อย อย่างไรก็ตามมันยังคงการดำเนินงานจริงเนื่องจากต้นทุนของการเพิ่มแต่ละครั้ง (โดยที่คือขนาดของ ค่าคงที่และคือขนาดของจำนวนอื่น ๆ )$0$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}\left(\frac{nm} {\log n}\right)$$\mathcal{O}(m)$$n$$m$

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามของคุณใช่มีผลลัพธ์ที่คล้ายกันกับการคูณเมทริกซ์ - เวกเตอร์ซึ่งคุณจะได้รับเร่งความเร็วถ้ามันคงที่ แต่แน่นอนว่าการเร่งความเร็วนี้ทำได้แค่การเพิ่มความไร้เดียงสาแบบยาวและมีอัลกอริธึมการคูณที่ดีกว่าคุณสามารถทำได้ อัลกอริทึมนี้$\log n$$\mathcal{O}\left(\frac{n^2} {\log n}\right)$

ตามที่แนะนำโดย Matt Groff คุณอาจสนใจเข้าร่วมชุมชนฝึกหัดเพื่อหาแรงบันดาลใจ (หรือถ้าในสถานการณ์ของคุณอยู่ในความกว้างบิตของ CPU ปัจจุบัน) แท้จริงแล้วปัญหาของการคูณจำนวนเต็มโดยค่าคงที่ได้รับการพิจารณาโดยนักเขียนคอมไพเลอร์และนักออกแบบวงจรจำนวนมากแม้ว่าพวกเขามักจะสนใจในตัวคูณทวีคูณน้อยกว่า (คูณใช้ shift เพิ่มและลบ หนึ่งในการอ้างอิงต้นที่ฉันรู้คือ (ฉันได้เรียนรู้จากแฮกเกอร์ดีไลท์มาตรา 8.4):$n$

Bernstein, R. (1986), การคูณด้วยค่าคงที่จำนวนเต็ม ซอฟต์แวร์: การปฏิบัติและประสบการณ์ 16: 641–652 ดอย: 10.1002 / spe.4380160704

งานที่ทันสมัยมากขึ้นโดย Vincent Lefèvreสามารถพบได้ที่นี่ (โปรดดูงานติดตามผลของเขา) และเขายังบันทึกโครงการ CMU เกี่ยวกับการสังเคราะห์วงจรที่มีประสิทธิภาพ (ดูเอกสารอ้างอิงที่นั่น) โครงการหลังพิจารณาการคูณพร้อมกันโดยชุดของค่าคงที่

ป.ล. ฉันขอแนะนำให้คุณพิจารณาเปลี่ยนชื่อผู้ใช้เป็นสิ่งที่จดจำได้

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำถามหรือไม่ แต่ผลลัพธ์เบื้องต้นต่อไปนี้อาจเป็นที่สนใจ กำหนดหมายเลขธรรมชาติคงที่การดำเนินงานสามารถรับรู้ได้โดยลำดับหุ่นยนต์โดยที่ถูกเขียนในรูปแบบไบนารีย้อนกลับ (นั่นคือบิตที่สำคัญน้อยที่สุดก่อน) จำนวนของรัฐของหุ่นยนต์คือที่คือพลังที่ใหญ่ที่สุดของหารkตัวอย่างเช่นการดำเนินการได้รับการรับรู้โดยหุ่นยนต์ต่อไปนี้ $k$$n \to kn$$n$$k/2^r$$2^r$$2$$k$$n \to 6n$

ยกตัวอย่างเช่นและดังนั้นในไบนารีกลับเขียนเป็นและ (ทางเลือกที่ดีฉันรู้ ... ) เป็น01101010001กำลังประมวลผลรายการบนหุ่นยนต์นี้ให้เส้นทาง $185 = 1 + 8 + 16 + 32 + 128$$6 \times 185 = 1110 = 2 + 4 + 16 + 64 + 1024$$185$$10011101$$1110$$01101010001$$\color{red}{10011101}$

$$\xrightarrow{\color{green}0} 0 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}1} 1 \xrightarrow{\color{red}0\mid \color{blue}1} 0 \xrightarrow{\color{red}0\mid \color{blue}0} 0 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}1} 1 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}0} 2 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}1} 2 \xrightarrow{\color{red}0\mid \color{blue}0} 1 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}0} 2 \xrightarrow{\color{green}{01}}$$ ซึ่งจะช่วยให้การส่งออกที่ถูกต้อง{} ประเภทของหุ่นยนต์ตามลำดับผมใช้ที่นี่ถูกเรียกsubsequentialโดย Schutzenberger: ที่คุณสามารถดูมีคำนำหน้าเริ่มต้น (สีเขียว) และฟังก์ชั่นการส่งออกขั้ว$\color{blue}{01101010001}$(เช่นสีเขียว) สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมวิธีคำนวณเครื่องตามลำดับนี้อย่างเป็นระบบดูลิงค์นี้