ความน่าจะเป็นของการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนที่ต้องการโดยการสุ่มสลับ

ฉันสนใจปัญหาต่อไปนี้ เรากำลังได้รับเป็น input เป็น "เป้าหมายของการเปลี่ยนแปลง"เช่นเดียวกับรายการสั่งซื้อของดัชนี[n-1] จากนั้นเริ่มต้นด้วยรายการ (เช่นการเปลี่ยนแปลงตัวตน) ในแต่ละขั้นตอนเราจะสลับในด้วยองค์ประกอบที่มีความน่าจะเป็นอิสระ1/2ให้เป็นความน่าจะเป็นที่ถูกสร้างขึ้นเป็นเอาท์พุท$\sigma\in S_n$$i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$$L=(1,2,\ldots,n)$$t\in [m]$$i_t^{th}$$L$$(i_t+1)^{st}$$1/2$$p$$\sigma$

ฉันต้องการทราบสิ่งต่อไปนี้:

• กำลังตัดสินใจว่าเป็นสมบูรณ์แบบของหรือไม่$p>0$$NP$
• กำลังคำนวณ$p$ว่า$\#P$หรือไม่
• เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับการประมาณค่า$p$ในค่าคงที่แบบหลายค่า มี PTAS สำหรับสิ่งนี้หรือไม่?

ตัวแปรที่การแลกเปลี่ยนไม่จำเป็นต้องเป็นองค์ประกอบที่อยู่ติดกันก็เป็นที่สนใจเช่นกัน

โปรดทราบว่าไม่ยากที่จะลดปัญหานี้ไปยังเส้นทางที่ไม่ต่อเชื่อม (หรือกับการไหลแบบมัลติซีติตี้ที่มีค่าจำนวนเต็ม) สิ่งที่ฉันไม่รู้คือการลดลงในทิศทางอื่น

อัปเดต:ตกลงตรวจสอบ Garey & Johnson ปัญหาของพวกเขา [MS6] ("การเปลี่ยนแปลงระดับ") เป็นดังนี้ เมื่อป้อนข้อมูลเป็นเป้าหมายการเปลี่ยนแปลงพร้อมกับส่วนย่อย , ตัดสินใจว่าสามารถแสดงออกได้เป็นผลิตภัณฑ์ , ซึ่งแต่ละคนทำสิ่งเล็กน้อย ดัชนีทั้งหมดไม่ได้อยู่ในS_i Garey จอห์นสัน, มิลเลอร์และ Papadimitriou (หลัง paywall โชคไม่ดี) พิสูจน์ให้เห็นว่าปัญหานี้เป็น -hard$\sigma\in S_n$$S_1,\ldots,S_m\in [n]$$\sigma$$\tau_1 \cdots \tau_m$$\tau_i$$S_i$$NP$

หากการแลกเปลี่ยนไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกันฉันเชื่อว่านี่เป็นนัยว่าการตัดสินใจว่าเป็น -hard หรือไม่ การลดลงเป็นเพียงแค่นี้: สำหรับแต่ละตามลำดับเราจะเสนอชุดของ "แลกเปลี่ยน" ที่สอดคล้องกับเครือข่ายการเรียงลำดับที่สมบูรณ์ใน (เช่นความสามารถในการโดยพลการในขณะเดียวกัน อย่างอื่น). จากนั้นจะสามารถแสดงออกได้เป็นหากว่าสามารถเข้าถึงได้เป็นผลิตภัณฑ์ของสัญญาแลกเปลี่ยนเหล่านี้$p>0$$NP$$S_1,S_2,\ldots$$S_i$$S_i$$\sigma$$\tau_1 \cdots \tau_m$

สิ่งนี้ยังคงเปิดทิ้งเวอร์ชัน "ดั้งเดิม" (โดยที่ swaps เป็นองค์ประกอบที่อยู่ติดกันเท่านั้น) สำหรับเวอร์ชั่นการนับ (ที่มีการแลกเปลี่ยนโดยพลการ) มันแนะนำอย่างยิ่งว่าปัญหาควรเป็น - สมบูรณ์ ในกรณีใด ๆ ก็ออกกฎ PTAS เว้นแต่P$\#P$$P=NP$

ฉันคิดว่า p> 0 สามารถตัดสินใจได้ในเวลาพหุนาม

ปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถเกิดขึ้นได้อย่างง่ายดายในขณะที่ปัญหาทางเดินริมขอบซึ่งกราฟพื้นฐานนั้นเป็นกราฟเชิงระนาบซึ่งประกอบด้วยชั้น +1 mแต่ละชั้นแต่ละอันมีจุดยอดnบวกกับจุดยอดm -4 เพื่อเป็นตัวแทนของการแลกเปลี่ยนที่อยู่ติดกัน โปรดทราบว่า planarity ของกราฟนี้ตามมาจากความจริงที่ว่าเราอนุญาตให้มีการสลับที่อยู่ติดกันเท่านั้น

หากฉันไม่เข้าใจผิดนี่เป็นกรณีพิเศษของปัญหาเส้นทางความไม่ต่อเนื่องที่แก้ไขโดย Okamura และ Seymour [OS81] นอกจากนี้ Wagner และ Weihe [WW95] ให้อัลกอริทึมเชิงเส้นสำหรับกรณีนี้

ดูบันทึกการบรรยายของ Goemans [Goe12] ซึ่งให้การแสดงออกที่ดีของทฤษฎีบท Okamura – Seymour และอัลกอริทึมของ Wagner – Weihe

อ้างอิง

[Goe12] Michel X. Goemans เอกสารประกอบการบรรยายขั้นสูง 18.438 Combinatorial เพิ่มประสิทธิภาพบรรยาย 23 สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์, ฤดูใบไม้ผลิ 2555 http://math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81] Haruko Okamura และ Paul D. Seymour กระแสสินค้าหลากหลายในกราฟระนาบ วารสาร Combinatorial ทฤษฎีรุ่น B 31 (1): 75-81 สิงหาคม 1981 http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Dorothea Wagner และ Karsten Weihe อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับพา ธ แบบแยกส่วนขอบในกราฟระนาบ Combinatorica , 15 (1): 135–150, มีนาคม 1995 http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465