คณิตศาสตร์ของ Reals สามารถนำไปใช้กับการคำนวณที่นับได้ในระดับใด

มีทฤษฎีบททั่วไปที่จะระบุด้วยการฆ่าเชื้อที่เหมาะสมว่าผลลัพธ์ที่รู้จักกันมากที่สุดเกี่ยวกับการใช้ตัวเลขจริงสามารถนำมาใช้จริง ๆ เมื่อพิจารณาเฉพาะ reals ที่คำนวณได้? หรือมีลักษณะที่เหมาะสมของผลลัพธ์ที่ยังคงใช้ได้เมื่อพิจารณาเฉพาะ reals ที่คำนวณได้? คำถามด้านคือว่าผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับ reals ที่คำนวณได้สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องพิจารณาจริงทั้งหมดหรืออะไรที่ไม่คำนวณ ฉันกำลังคิดถึงแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ แต่คำถามของฉันไม่ได้ จำกัด อยู่แค่นั้น

ที่จริงแล้วฉันคิดว่ามีลำดับชั้นของการคำนวณที่สอดคล้องกับลำดับชั้นของทัวริง (ถูกต้องหรือไม่) จากนั้นยิ่งใจลอยมีทฤษฎีนามธรรมของจริง (ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คำศัพท์ควรจะ) ซึ่งจำนวนของผลลัพธ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจะนำไปใช้กับจำนวนจริงแบบดั้งเดิม แต่ยัง reals คำนวณและ ถึงระดับใด ๆ ของลำดับชั้นของทัวริงของ reals ที่คำนวณได้ถ้ามี

จากนั้นคำถามของฉันอาจจะกล่าวได้ว่า: มีลักษณะของผลลัพธ์ที่จะนำไปใช้ในทฤษฎีนามธรรมของ reals เมื่อพวกเขาได้รับการพิสูจน์สำหรับ reals แบบดั้งเดิม และสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้ได้โดยตรงในทฤษฎีนามธรรมโดยไม่คำนึงถึง reals ดั้งเดิม

ฉันสนใจที่จะเข้าใจว่าทฤษฎีเหล่านี้แตกต่างกันอย่างไรและเมื่อไหร่

ป.ล. ฉันไม่ทราบว่าจะตอบคำถามนี้ได้ที่ไหน ฉันตระหนักว่าคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ reals ได้รับการสรุปโดยทั่วไปกับโทโพโลยี ดังนั้นอาจเป็นได้ว่าคำตอบสำหรับคำถามของฉันหรือบางส่วนนั้นสามารถพบได้ที่นั่น แต่อาจมีมากกว่านั้น

ตัวเลขจริงอาจจะมีลักษณะในสองวิธีให้เราทำงานร่วมกับArchimedean Cauchy สมบูรณ์ข้อมูลสั่งซื้อ (เราต้องระวังนิดหน่อยว่าเราพูดสิ่งนี้อย่างไรดูคำนิยาม 11.2.7และDefintion 11.2.10ของหนังสือ HoTT )

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ถูกต้องในtoposใด ๆ(แบบจำลองของตรรกะปรีชาลำดับสูงกว่า):

ทฤษฎีบท:มีสนามอาร์คิมิดีนที่สมบูรณ์แบบใน Cauchy และในความเป็นจริงมีสองฟิลด์ดังกล่าวที่เป็นมาตรฐาน isomorphic

ยิ่งไปกว่านั้นในintuitionistic ตรรกศาสตร์ (เพื่อไม่ให้สับสนกับintuitionism ) เราสามารถทำการวิเคราะห์ที่แท้จริง (ลำดับและข้อ จำกัด อนุพันธ์อนุพันธ์อินทิกรัลอินทิกรัลต่อเนื่องสม่ำเสมอต่อเนื่อง ฯลฯ ) ซึ่งเป็นสิ่งที่ถูกต้องใน topos ถ้าเราใช้ topos ของเซตเราจะได้รับการวิเคราะห์ตามปกติ โดยการเลือก topos ที่แตกต่างกันเราจะได้รับการวิเคราะห์ที่แตกต่างกัน - และมี topos ที่ให้ผลตอบแทนที่แม่นยำและการคำนวณที่แท้จริง

หลักสูตรนี้เป็นtopos ที่มีประสิทธิภาพซึ่งจำนวนจริงเป็น reals ที่คำนวณได้ (พูดอย่างคลุมเครือเหตุผลสำหรับสิ่งนี้คือ topos ที่มีประสิทธิภาพถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่ทุกสิ่งในนั้นคำนวณได้โดยอัตโนมัติ) คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือ

คำจำกัดความการก่อสร้างและทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงความจริงจะถูกแปลโดยอัตโนมัติไปเป็นคำจำกัดความการสร้างและทฤษฎีบทเกี่ยวกับ reals ที่คำนวณได้เมื่อเราตีความมันใน topos ที่มีประสิทธิภาพ

ยกตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท "ทุกแผนที่ต่อเนื่องบรรลุ supremum ของมัน" คือ intuitionistically ใช้ได้ เมื่อเราตีความมันใน topos ที่มีประสิทธิภาพเราจะได้เวอร์ชั่นที่สอดคล้องกันสำหรับแผนที่ที่คำนวณได้บน reals ที่คำนวณได้ซึ่งมีการคำนวณอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอ$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

คุณยังถามเกี่ยวกับ "ความแตกต่าง" ระหว่างการวิเคราะห์จริงและรุ่นที่คำนวณได้ คำตอบก็คือผลลัพธ์ที่ขึ้นอยู่กับกฎของการยกเว้นตรงกลางหรือสัจพจน์ของการเลือก (แม้ว่าตัวเลือกที่นับได้ก็โอเค) ไม่ได้เป็นสัญชาตญาณดังนั้นจึงไม่สามารถตรวจสอบได้ใน topos ที่มีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตามเราควรทราบว่าการวิเคราะห์ส่วนใหญ่สามารถกระทำได้โดยสัญชาตญาณ

topos ที่มีประสิทธิภาพเป็นเพียงหนึ่งในtoposes realizabilityมากมาย เมื่อเราตีความการวิเคราะห์เชิงสัญชาตญาณในการรับความเป็นจริงอื่น ๆ toposes เราได้รับแบบจำลองทางเลือกของการคำนวณจำนวนจริงรวมถึงการคำนวณด้วย oracles ที่คุณอ้างถึง "ญาติ Kleene ฟังก์ชั่น realizability topos" (อะไรก็ตามที่) ให้เรียกว่าประเภทที่สองในการคำนวณ reals reals แผนที่คำนวณการทำงานในทุก reals ไม่ใช่แค่การคำนวณ

ฉันพยายามอธิบายสิ่งนี้ครั้งเดียวในบันทึกย่อ"ความสามารถในการเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์คำนวณและเชิงสร้างสรรค์"และก่อนหน้านั้นในปริญญาเอกของฉัน วิทยานิพนธ์