รูปแบบของ TQBF นี้ยังคงเป็น PSPACE หรือไม่

การตัดสินใจว่าสูตรบูลีนเชิงปริมาณเช่น

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

ประเมินเสมอว่าเป็นปัญหาคลาสสิกที่สมบูรณ์แบบ PSPACE สามารถดูได้ว่าเป็นเกมระหว่างผู้เล่นสองคนพร้อมการสลับแบบ ผู้เล่นคนแรกตัดสินใจค่าความจริงของตัวแปรเลขคี่และผู้เล่นคนที่สองตัดสินใจค่าความจริงของตัวแปรเลขคู่ ผู้เล่นคนแรกพยายามที่จะทำให้$\varphi$เท็จและผู้เล่นที่สองพยายามที่จะทำให้มันเป็นจริง การตัดสินใจว่าใครมีกลยุทธ์ในการชนะคือ PSPACE-complete

ฉันกำลังพิจารณาปัญหาที่คล้ายกันกับผู้เล่นสองคนคนหนึ่งพยายามสร้างสูตรบูลีน$\varphi$จริงและอีกคนพยายามทำให้เป็นเท็จ ความแตกต่างคือในการย้ายผู้เล่นสามารถเลือกตัวแปรและค่าความจริงสำหรับมัน (ตัวอย่างเช่นในการเคลื่อนที่ครั้งแรกผู้เล่นอาจตัดสินใจตั้งค่า$x_8$เป็นจริงและจากนั้นในการย้ายครั้งต่อไปผู้เล่นสองคนอาจ ตัดสินใจตั้ง$x_3$เป็น false) ซึ่งหมายความว่าผู้เล่นสามารถตัดสินใจที่ของตัวแปร (ของผู้ที่ยังไม่ได้รับมอบหมายค่าความจริง) ที่พวกเขาต้องการที่จะกำหนดค่าความจริงแทนที่จะมีการเล่นเกมในลำดับที่$x_1 , \ldots , x_n$ n

ปัญหาได้รับสูตรบูลีน$\varphi$$n$

มันยังคงเป็น PSPACE ที่สมบูรณ์หรือไม่

มันเป็นเกมที่ความพึงพอใจของเรียงลำดับข้อ จำกัดและมันก็เป็น PSPACE สมบูรณ์และได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็น PSPACE สมบูรณ์เมื่อเร็ว ๆ นี้ ; หลักฐานสามารถพบได้ใน:

Lauri Ahlroth และ Pekka Orponen เกมความพึงพอใจของข้อ จำกัด ที่ไม่ได้สั่ง หมายเหตุการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ระดับ 7464, 2012, pp 64-75

นามธรรม:เราพิจารณาเกมความพึงพอใจข้อ จำกัด ของผู้เล่นสองคนในระบบของข้อ จำกัด บูลีนซึ่งผู้เล่นผลัดกันในการเลือกหนึ่งในตัวแปรที่มีอยู่และตั้งค่าเป็นจริงหรือเท็จโดยมีเป้าหมายในการเพิ่ม (สำหรับผู้เล่น I) หรือย่อเล็กสุด II) จำนวนข้อ จำกัด ที่น่าพอใจ แตกต่างจากเกมการกำหนดค่าตัวแปรประเภท QBF มาตรฐานเราไม่มีคำสั่งในการเล่นตัวแปร สิ่งนี้ทำให้การตั้งค่าเกมเป็นธรรมชาติมากขึ้น แต่ยังควบคุมได้ยากขึ้น เราจัดทำกลยุทธ์พหุนามเวลาการประมาณปัจจัยคงที่สำหรับผู้เล่น I เมื่อข้อ จำกัด คือฟังก์ชันพาริตีหรือฟังก์ชันขีด จำกัด ด้วยขีด จำกัด ที่มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ arity ของข้อ จำกัด นอกจากนี้เรายังพิสูจน์ว่าปัญหาในการพิจารณาว่าผู้เล่นที่ฉันสามารถตอบสนองข้อ จำกัด ทั้งหมดนั้นเป็น PSPACE หรือไม่แม้ว่าจะอยู่ในการตั้งค่าแบบไม่มีการเรียงลำดับ

จากเนื้อหา:

...
ตัวอย่างทั่วไปของเกมความพึงพอใจที่ไม่มีข้อ จำกัด คือGame on Boolean Formulas ( GBF ) ตัวอย่างของเกมนี้กำหนดโดยชุดบูลีน m แบบไม่คงที่$C = \{c_1,...,c_m\}$ บนชุดตัวแปร n ทั่วไป $X = \{x_1,...,x_n\}$. เราอ้างถึงสูตรใน$C$ตามคำสั่งแม้ว่าเราไม่ได้กำหนดให้พวกเขาต้องแยกกัน
...
เกมต่อ$C$ดำเนินการเพื่อให้ผู้เล่นที่จะย้ายเลือกหนึ่งในตัวแปรที่ไม่ได้เลือกไว้ก่อนหน้านี้และกำหนดค่าความจริงให้กับมัน ผู้เล่นที่ฉันเริ่มและเกมจะจบลงเมื่อตัวแปรทั้งหมดได้รับการกำหนดค่า ในรุ่นการตัดสินใจของGBFคำถามคือว่าผู้เล่นที่ฉันมีกลยุทธ์การชนะที่ครอบคลุมซึ่งเธอสามารถทำให้ข้อทั้งหมดพอใจไม่ว่าผู้เล่นที่สองจะทำอะไร ในกรณีที่เป็นบวกเราบอกว่าอินสแตนซ์นั้นเป็นที่พอใจ GBF ..

... ทฤษฎีบทที่ 4 : ปัญหาในการตัดสินใจความพึงพอใจของGBFของสูตรบูลีนคือ PSPACE-complete

EDIT: Daniel Grier's has found out that the result was also settled by Schaefer in the '70s, see his answer on this page for the reference (and upvote it :-). Schaefer proved that the game is still PSPACE-complete even if restricted to positive CNF formulas (i.e. propositional formulas in conjunctive normal form in which no negated variables occur) with at most 11 variables in each conjunction.

It may also be worthwhile to note that this problem was also solved in the 70's by Thomas Schaefer in Complexity of decision problems based on finite two-person perfect-information games. In fact, he proves a slightly stronger result in that the language remains PSPACE-complete even when restricted to positive CNF formulas.

We proved that this game is PSPACE-complete for 5-CNFs but has Linear Time algorithm for 2-CNFs. The previous best result was Ahlroth and Orponen's 6-CNFs.

You can find the conference paper at ISAAC 2018.

Update: Nov, 16, 2019

We proved that the game is tractable for 3-CNFs under some restrictions on 3-CNFs. We also radically conjectured that this game is also tractable under no restrictions on 3-CNFs. You can find the initial version at ECCC.