ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับขนาดของวงจร nondeterministic

เป็นที่รู้จักกันว่าขนาดต่ำสุดของ -circuits คอมพิวเตอร์ฟังก์ชั่นความเท่าเทียมกันตรงเท่ากับ(n-1) การพิสูจน์ขอบเขตล่างขึ้นอยู่กับวิธีการกำจัดเกท$U_2$$3(n-1)$

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันสังเกตเห็นว่าวิธีการกำจัดประตูทำงานได้ดีสำหรับ nondeterministicวงจรและเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับขนาดของ nondeterministicวงจรที่คำนวณฟังก์ชันพาริตี้$U_2$$3(n-1)$$U_2$

(หมายความว่าการคำนวณแบบ nondeterministic นั้นไม่มีประโยชน์ในการคำนวณ parity โดย -circuits และไม่สามารถลดขนาดจากดังนั้นวงจรขั้นต่ำไม่เปลี่ยนจากกรณีที่กำหนดขึ้น)$U_2$$3(n-1)$

คำถามของฉันมีสองต่อไปนี้:

(1) นี่คือผลลัพธ์ใหม่หรือผลลัพธ์ที่ทราบหรือไม่

(2) โดยทั่ว ๆ ไปมีบางส่วนที่ทราบผลของขอบเขตล่างสำหรับขนาดของวงจร nondeterministic (รวมถึงสูตรวงจรความลึกคงที่และอื่น ๆ ) ด้วยบิตอินพุต nondeterministic ไม่ จำกัด (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ nondeterminism ไม่ จำกัด ) สำหรับความชัดเจน ฟังก์ชั่น?

คำอธิบายเพิ่มเติม (27 พฤศจิกายน 2014)

ในคำถามที่สองฉันตั้งใจว่าฉันอยากจะรู้โดยเฉพาะว่านี่เป็นขอบเขตล่างแบบไม่ขึ้นต้นครั้งแรกสำหรับขนาดของวงจร nondeterministic (รวมถึงสูตรวงจรความลึกคงที่และอื่น ๆ ) ด้วย nondeterminism แบบไม่ จำกัด สำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนหรือไม่ ฉันรู้ว่ามีผลบางอย่างถ้า nondeterminism มี จำกัด ดังต่อไปนี้

[1] Hartmut Klauck: ขอบเขตล่างสำหรับการคำนวณด้วย Nondeterminism ที่ จำกัด การประชุม IEEE ด้านความซับซ้อนในการคำนวณ 1998: 141-

[2] Vikraman Arvind, KV Subrahmanyam, NV Vinodchandran: ความซับซ้อนของการตรวจสอบแบบสอบถามของโปรแกรมโดยวงจรความลึกคงที่ ISAAC 1999: 123-132

คำตอบบางส่วนสำหรับคำถามที่สอง:

• ชี้แจงขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับฟังก์ชั่นอย่างชัดเจนสำหรับการเรียนใด ๆ ที่มี 3 CNF ไม่ได้แปลลงในขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการชี้แจงไม่นิยมไม่ จำกัด เพราะสามารถเปลี่ยนวงจรที่มีขนาดใดเป็น nondeterministic 3 CNF ขนาดกับไม่นิยม ,$S$$O(S)$$S$
• แม้ว่าคุณต้องการ non-น้อยกว่า S แต่ก็ยังสามารถทำได้ถ้าฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร (ตัวอย่างเช่น parity) เนื่องจากเราสามารถแบ่งสูตรขนาดออกเป็นแนะนำตัวแปรใหม่และสูตรผลลัพธ์จะเป็นขนาด (แม้ว่าค่าคงที่ในจะมีขนาดใหญ่)$B_2$$S$$S/100$$S/100$$O(S)$$O()$
• สำหรับ nondeterminism ที่ จำกัด (แต่เพิ่มขึ้น) แน่นอนหนึ่งสามารถใช้ขอบเขตเก่าที่ดี (ตัวอย่างเช่นขอบเขตล่างของ Hastad ของ exponentialสำหรับพาริตียังคงเป็นเลขชี้กำลังหาก nondeterminism น้อยกว่า : เพียงระบุบิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับ nondeterminism และใช้ OR ใหญ่ของสูตรที่ได้)$2^{n^{1/d}}$$n^{1/d}$

คำตอบบางส่วนสำหรับคำถามแรก:

• ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับฉัน :) มันน่าสนใจที่จะเห็นหลักฐาน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณจะเปลี่ยนค่าสำหรับตัวแปรที่มีอยู่ได้อย่างไร)