ข้อความที่บอกถึง

นี่เป็นคำถามปลายเปิด - ซึ่งฉันต้องขออภัยล่วงหน้า

มีตัวอย่างของข้อความที่ (ดูเหมือน) ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับความซับซ้อนหรือเครื่องทัวริง แต่คำตอบที่จะบอกถึง ?$\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$

ระบบหลักฐานตรรกะประพจน์เรียกว่าล้อมรอบ polynomiallyถ้าทุกซ้ำซาก$\varphi$มีหลักฐานอยู่ในระบบของความยาวพหุนามในความยาวของที่φ$\varphi$

คำสั่ง "มีเป็นที่สิ้นสุดไม่มี polynomially ระบบป้องกันประพจน์" เทียบเท่ากับโดยผลคลาสสิกของคุ้กและ ReckhowจึงหมายถึงP ≠ N P$\mathsf{NP} \neq \mathsf{co}\text-\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

ทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิต (GCT) (เช่นกัน [1]) ยังไม่ได้รับการกล่าวถึง มันเป็นโปรแกรมที่มีความทะเยอทะยานขนาดใหญ่ในการเชื่อมต่อ P vs NP กับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เช่นบทสรุปสั้น ๆ จากการสำรวจการทำความเข้าใจแนวทาง Mulmuley-Sohoni ถึง P vs. NP , Regan:

ความมั่นคงเป็นความคิดที่ไม่เป็นทางการว่า "ไม่วุ่นวาย" และได้พัฒนาเป็นสาขาวิชาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่สำคัญภายใต้อิทธิพลชี้นำของ DA Mumford ท่ามกลางคนอื่น ๆ Ketan Mulmuley และ Milind Sohoni [MS02] สังเกตว่าคำถามมากมายเกี่ยวกับคลาสที่ซับซ้อนนั้นสามารถสร้างขึ้นมาใหม่ได้เป็นคำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของการกระทำของกลุ่มในเวกเตอร์บางตัวในบางพื้นที่ที่เข้ารหัสปัญหาในชั้นเรียนเหล่านี้ การสำรวจนี้อธิบายกรอบของพวกเขาจากมุมมองที่เป็นมุมมองและพยายามประเมินว่าแนวทางนี้เพิ่มพลังใหม่ให้กับการโจมตีในคำถาม P. กับ NP หรือไม่

ยังมีบทสรุปในหัวข้อ "ความหวังใหม่หรือไม่?" ในสถานะของปัญหา P vs NP , Fortnow (2009)

Mulmuley และ Sohoni ได้ลดคำถามเกี่ยวกับการไม่มีอยู่ของอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-Complete ทั้งหมดเป็นคำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมพหุนามเวลา (มีคุณสมบัติบางอย่าง) สำหรับปัญหาเฉพาะ สิ่งนี้ควรให้ความหวังกับเราแม้จะเผชิญกับปัญหา (1) - (3)

อย่างไรก็ตาม Mulmuley เชื่อว่าจะใช้เวลาประมาณ 100 ปีในการดำเนินโครงการนี้หากใช้งานได้จริง

[1] คำอธิบายสไตล์วิกิพีเดียของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต (tcs.se)

ผลลัพธ์ต่อไปนี้โดย Raz (ฟังก์ชันที่เข้าใจยากและขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรคณิตศาสตร์, STOC'08) มุ่งเป้าไปที่ (และไม่ใช่P ≠ N Pโดยตรง) แต่อาจใกล้พอสำหรับ OP:$VP\neq VNP$$P\neq NP$

พหุนามการทำแผนที่คือ( s , R ) -elusive ถ้าทุกพหุนามการทำแผนที่Γ : F s → Fม.ปริญญาR , ภาพ ( ฉ ) ⊄ภาพ ( Γ )$f:\mathbb F^n \to \mathbb F^m$$(s, r)$$Γ : \mathbb F^s → \mathbb F^m$$r$$f$$\not⊂$$Γ$

สำหรับการตั้งค่าต่างๆของพารามิเตอร์ , โครงสร้างที่ชัดเจนของการจับคู่พหุนามที่เข้าใจยากบ่งบอกถึงความแข็งแกร่ง (ไม่เกินชี้แจง) สำหรับขอบเขตทั่วไปของวงจรเลขคณิตทั่วไป$n, m, s, r$

มีความซับซ้อนด้าน / การศึกษาเพิ่มเติมเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่เรียกว่าความซับซ้อนของกราฟที่ศึกษาว่ากราฟที่มีขนาดใหญ่ถูกสร้างขึ้นจากกราฟขนาดเล็กโดยใช้ AND และหรือการดำเนินงานของขอบ Jukna มีการสำรวจความสุข โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้หน่วยของ "กราฟดาว" มีทฤษฎีบทสำคัญให้ดู p20 หมายเหตุ 1.18 (ทฤษฎีบทนั้นแข็งแกร่งกว่าด้านล่างและหมายถึง )$P \ne NP/poly$

เราได้ทราบแล้ว (ทฤษฎีบทที่ 1.7) ว่ากราฟสองฝ่ายกราฟ G ของความซับซ้อนของ มีอยู่; ในความเป็นจริงกราฟเกือบทั้งหมด ในทางตรงกันข้าม Strong Magnification Lemma ก็หมายความว่าแม้แต่ขอบเขตล่างของสำหรับค่าคงตัวเล็ก ๆ โดยพลบนความซับซ้อนของดาวของกราฟที่ชัดเจนS t a r ( G ) = ( n m / log n ) s t a r ( G ) ≥ ( 2 + c ) n c > 0 n × $n × m$$Star(G) = (nm/ \log n)$$Star(G) ≥ (2+c)n$$c > 0$$n×m$กับ m = o ( n )จะมีผลกระทบอย่างมากในความซับซ้อนของวงจร: กราฟดังกล่าวจะให้ฟังก์ชันบูลีนอย่างชัดเจน f G ที่ต้องการวงจรของเลขชี้กำลัง (ในบันทึกหมายเลข$G$$m = o(n)$$f_G$ของตัวแปร) ขนาด! (จำได้ว่าสำหรับฟังก์ชั่นบูลีนแม้ขอบเขตล่างสุดเชิงเส้นยังไม่เป็นที่รู้จัก) โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ากราฟ Gเป็นเช่นนั้นว่าการติดกันของจุดยอดใน Gสามารถกำหนดได้โดยเครื่องจักรทัวริง nondeterministic ความยาวไบนารี l o g 2 nของรหัสของจุดยอด, จากนั้นขอบเขตล่าง S t a r ( G ) ≥ ( 2 + c ) n สำหรับค่าคงตัวขนาดเล็กโดยพล c > 0จะแปลว่า$\log_2 nm$$G$$G$$log_2 n$$Star(G) ≥ (2 + c)n$$c > 0$ P ดังนั้นความซับซ้อนของกราฟของดาวจึงเป็นหนึ่งในปัญหาพื้นฐานที่สุดของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์$P \ne NP$

แล้ว Philip Maymin ล่ะ

" ตลาดมีประสิทธิภาพถ้าหาก P = NP " อ้างสิทธิ์?

$P$$NP$$FP$$FNP$$P$ $=$ $NP$$P$$NP$$1$$FP$$FNP$$FNP$$FP$ $=$ $FNP$$P$ $=$ $NP$