ถ้า P = BQP นี่แปลว่า PSPACE (= IP) = AM หรือไม่

18

เมื่อเร็ว ๆ นี้ Watrous et al ได้พิสูจน์ว่า QIP (3) = PSPACE เป็นผลลัพธ์ที่น่าทึ่ง นี่เป็นผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจสำหรับฉันที่จะพูดน้อยและมันทำให้ฉันคิดถึง ...

ฉันสงสัยว่าจะทำอย่างไรถ้าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์คลาสสิค สิ่งนี้อาจเกี่ยวข้องกับการหารระหว่าง IP และ AM หรือไม่? สิ่งที่ฉันหมายถึงคือ IP นั้นมีลักษณะตามจำนวนโพลิโนเมียลของการโต้ตอบแบบคลาสสิกในขณะที่ AM มีการโต้ตอบแบบคลาสสิก 2 รอบ การจำลองการคำนวณควอนตัมสามารถลดปริมาณการโต้ตอบสำหรับ IP จากพหุนามให้เป็นค่าคงที่ได้หรือไม่?

— Zelah 02
แหล่งที่มา

3

ฉันเปลี่ยน“ PSPACE (IP)” ในชื่อเรื่องเป็น“ PSPACE (= IP)” เพราะ“ A (B)” เป็นวิธีที่ใช้กันน้อยกว่าในการแสดงคลาส“ ”

A^{B}

$A^B$

— Tsuyoshi Ito

2

โดยวิธีการอย่างเคร่งครัดพูดผมคิดว่าสัญชาตญาณของคุณจะขึ้นอยู่กับทิศทาง QIP (3) ⊇PSPACEซึ่งเป็นที่รู้จักในปี 1999: Watrous 2003 , arxiv.org/abs/cs.CC/9901015 ในความเป็นจริงนั่นเป็นบทความแรกที่กล่าวถึงการพิสูจน์เชิงควอนตัม

— Tsuyoshi Ito

18

เป็นคำถามที่ดีมาก! คำตอบสั้น ๆ : ไม่มีความหมายเหมือน เป็นที่รู้จักกัน; แต่นั่นไม่ได้หมายความว่ามันไม่คุ้มค่าที่จะพิสูจน์ ...

P = B Q P \Rightarrow ผม P = A M

$\mathsf{P} = \mathsf{BQP} \Rightarrow \mathsf{IP} = \mathsf{AM}$

แม้ว่าฉันจะบอกว่าการค้นหาความหมายเช่นนั้นดูเหมือนไม่น่าเป็นไปได้ ฉันคิดว่าข้อความของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงควอนตัมมากคือในขณะที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมไม่ใช่ยาครอบจักรวาลสำหรับการแก้ปัญหาที่ยากพวกเขาสามารถมีพลังมากกว่าคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมในบางสถานการณ์

ตัวอย่างเช่นในความซับซ้อนของแบบสอบถามอัลกอริทึมควอนตัมสามารถแก้ปัญหาบางอย่างได้อย่างคลาสสิกที่พิสูจน์ไม่ได้เมื่ออินพุตถูกสัญญาว่าจะปฏิบัติตามโครงสร้างระดับโลกที่ดี เช่นอัลกอริธึมของชอร์ขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมเพื่อค้นหาช่วงเวลาที่ไม่รู้จักของฟังก์ชันที่สัญญาว่าจะเป็นระยะอย่างรวดเร็ว ในทางกลับกันอัลกอริธึมการสืบค้นควอนตัมไม่ได้แข็งแกร่งกว่าคลาสสิกมากเกินไปสำหรับการแก้ปัญหาที่ไม่มีโครงสร้างพิเศษที่สมมติขึ้นในอินพุต (ดูการสำรวจของ Buhrman และ de Wolf เกี่ยวกับความซับซ้อนของการสืบค้นสำหรับจุดสุดท้ายนี้)

ในทำนองเดียวกันฉันคิดว่าผลลัพธ์บอกเราไม่ใช่ว่าการโต้ตอบนั้นอ่อนแออย่างไม่คาดคิด (แม้ว่า ) แต่การคำนวณควอนตัมนั้นแข็งแกร่งอย่างคาดไม่ถึงโดยเฉพาะในบริบทของการมีปฏิสัมพันธ์กับผู้พิสูจน์ที่ไร้ขีด จำกัด $\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

— Andy Drucker
แหล่งที่มา

16

ฉันเห็นด้วยกับสิ่งที่ Andy เขียนไว้และฉันต้องการ "คำตอบ" นี้เพื่อแสดงความคิดเห็นต่อคำตอบของเขา แต่เห็นได้ชัดว่านานเกินไปสำหรับความคิดเห็น ...

อย่างไรก็ตามมันอาจจะมีประโยชน์ที่จะพูดอะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับลักษณะของการคำนวณควอนตัม (หรือข้อมูลควอนตัม) ที่อนุญาตให้มีการควบคุม PSPACE ใน QIP (3) การพิสูจน์ที่เป็นที่รู้จักของการบรรจุนี้ไม่ได้ติดตามความสามารถของผู้ตรวจสอบในการคำนวณฟังก์ชันที่เกิดขึ้นในการคำนวณเชิงพหุนามควอนตัม คำอธิบายที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือการพิสูจน์ให้ใช้วิธีการเฉพาะที่ผู้ตรวจสอบสามารถจัดการกับควอนตัมที่ยุ่งเหยิงระบุว่ามันใช้ร่วมกับผู้ตรวจสอบ หากผู้ตรวจสอบไม่สามารถจัดการข้อมูลควอนตัมได้หรือถ้ามันสามารถจัดการกับสถานะที่ยุ่งเหยิงอย่างน่าอัศจรรย์ได้อย่างแข็งแกร่งกว่าทฤษฎีข้อมูลควอนตัมที่อนุญาต

ดังนั้นในมุมมองของฉันการบรรจุ PSPACE ใน QIP (3) ไม่ได้พูดถึงความสัมพันธ์ระหว่าง AM และ PSPACE

— John Watrous
แหล่งที่มา

11

คำตอบของ John Watrous และ Andy Drucker นั้นยอดเยี่ยมสำหรับการทำความเข้าใจปัญหาที่เกี่ยวข้อง

ฉันจะเพิ่มคำตอบของแอนดี้ว่าไม่เพียง แต่จะไม่มีใครรู้ถึงความหมายดังกล่าว แต่การแสดงความหมายดังกล่าวนั้นต้องใช้เทคนิคที่ไม่เกี่ยวข้อง (ซึ่งโดยหลักแล้วมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น Lance Fortnow และ John Rogers [1] สร้าง oracle ที่แต่ไม่มีที่สิ้นสุด (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งนั่นหมายถึงในโลกนี้) $P = BQP$ $PH$ $PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

เรารู้ว่าไม่ได้ให้ความสัมพันธ์อีกต่อไป แต่มันจะเปิดออก ฉันไม่ทราบว่าผลลัพธ์ของ Fortnow - Rogers แสดงให้เห็น (หรือสามารถขยายออกไปแสดง) ว่าการอนุมานดังกล่าวจะต้องใช้เทคนิคที่ไม่ใช่ algebrizing $IP = PSPACE$

[1] L. Fortnow และ J. Rogers ข้อ จำกัด ของความซับซ้อนในการคำนวณควอนตัม วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ, 59 (2): 240-252, 1999. ฉบับพิเศษสำหรับเอกสารที่คัดสรรจากการประชุม IEEE ครั้งที่ 13 เรื่องความซับซ้อนในการคำนวณ นอกจากนี้ยังมีที่นี่

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

6

คำตอบอื่น ๆ นั้นยอดเยี่ยมและนี่ไม่ได้หมายถึงการแทนที่หรือขัดแย้งใด ๆ ของพวกเขาเพียงเพื่อให้สัญชาตญาณว่าทำไม P = BQP ไม่จำเป็นต้องหมายความถึงความเท่าเทียมกันระหว่างควอนตัมและระบบการพิสูจน์เชิงโต้ตอบแบบดั้งเดิม อย่างไรก็ตามตอนนี้เรารู้แล้วว่า QIP = IP ต้องขอบคุณงานของ Jain, Ji, Upadhyay และ Watrous ดังนั้นฉันจึงไม่พยายามที่จะอ้างว่าความเท่าเทียมดังกล่าวไม่เคยเกิดขึ้น

ถ้าเราเพียงสมมติว่า P = BQP เราจะเรียนรู้บางอย่างเกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจที่สามารถตอบได้โดยแบบจำลองควอนตัมและคลาสสิก มันไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองนั้นเหมือนกัน ข้อแตกต่างที่สำคัญคือคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถประมวลผลสถานะในการทับซ้อนซึ่งหมายความว่าอินพุตและเอาต์พุตของพวกเขาไม่จำเป็นต้องถูก จำกัด ให้อยู่ในสถานะคลาสสิก นี่เป็นความแตกต่างที่สำคัญมากระหว่างควอนตัมและโมเดลคลาสสิกเนื่องจากควอนตัมอินพุต / เอาท์พุตทำให้สามารถสอบถามออราเคิลกับการทับซ้อนแบบคลาสสิกของรัฐหรือเพื่อสื่อสารควอนตัมฯ (ซึ่งอาจมีคำอธิบายคลาสสิก อันที่จริงแล้วออราเคิลนั้นมีอยู่จริงซึ่งการแยก BQP ออกจาก P และการสื่อสารแบบควอนตัมนำไปสู่การลดความซับซ้อนของการสื่อสารสำหรับปัญหาต่าง ๆ ดังนั้น,

ด้วยเหตุผลนี้คำถามที่ว่า P = BQP ไม่ใช่ปัจจัยในการตัดสินใจว่าแบบจำลองควอนตัมและคลาสสิกนั้นมีความเท่าเทียมกันในสถานการณ์ที่ใช้ประโยชน์จากแบบสอบถามการสื่อสาร / พยากรณ์หรือไม่

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา