จำเป็นต้องใช้สีที่แตกต่างจำนวนเท่าใดในการเลือกกราฟให้ต่ำลง?

กราฟเป็น -choosable (เรียกอีกอย่างว่า -list-colorable ) ถ้าสำหรับทุกฟังก์ชั่นที่แมปจุดยอดไปยังชุดของสีมีการกำหนดสีเช่นนั้นสำหรับทุกจุด ,และเช่นว่าสำหรับขอบทั้งหมด ,(w)$k$$k$$f$$k$$c$$v$$c(v)\in f(v)$$vw$$c(v)\ne c(w)$

ทีนี้สมมติว่ากราฟไม่ใช่ -choosable นั่นคือมีอยู่ฟังก์ชั่นจากจุดที่จะ -tuples ของสีที่ไม่ได้มีการกำหนดที่ถูกต้องสีคสิ่งที่ฉันอยากรู้คือต้องการสีทั้งหมดกี่สี? มีขนาดเล็กแค่ไหน? มีจำนวน (อิสระจาก ) เช่นที่เราสามารถรับประกันว่าจะได้พบกับ uncolorableว่าเพียงใช้สีที่แตกต่างกัน?$G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

ความเกี่ยวข้องกับ CS คือถ้ามีอยู่เราสามารถทดสอบ -choosability สำหรับค่าคงที่ในช่วงเวลาเอกซ์โปเนนเชียล (เพียงลอง\ binom {N (k)} {k} ^ nตัวเลือกfและ สำหรับการตรวจสอบแต่ละครั้งว่าสามารถใช้สีได้ในเวลาk ^ nn ^ {O (1)} ) ในขณะที่อาจจำเป็นต้องใช้บางสิ่งบางอย่างที่เติบโตอย่างรวดเร็วเช่นn ^ {kn}$N(k)$$k$$k$$\binom{N(k)}{k}^n$$f$$k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Daniel KrálและJiří Sgall ตอบคำถามของคุณในเชิงลบ จากนามธรรมของกระดาษ:

กราฟถูกกล่าวว่าเป็น -choosable ถ้าจุดยอดสามารถสีจากรายการใด ๆกับ , สำหรับและด้วย\ สำหรับแต่ละเราสร้างกราฟนั่นคือ -choosable แต่ไม่ใช่ -choosable$G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$$3 \le k \le \ell$$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

ดังนั้นไม่อยู่ถ้า3 Králและ Sgall ยังแสดงให้เห็นว่า 4 แน่นอน 1$N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

แดเนียลKrál, Jiří Sgall: ระบายสีกราฟจากรายการที่มีขนาดขอบเขตของสหภาพของพวกเขา วารสารทฤษฎีกราฟ 49 (3): 177-186 (2005)

ในฐานะที่เป็นบิตของการส่งเสริมตนเองที่ไม่มีความละอาย Marthe Bonamy และฉันพบคำตอบที่เป็นลบมากกว่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทที่ 4 ของhttp://arxiv.org/abs/1507.03495ปรับปรุงตามผลลัพธ์ของKrál 'และ Sgall ดังกล่าวในบางกรณี ตัวอย่างที่เราใช้นั้นเป็นกราฟสองส่วนที่สมบูรณ์ซึ่งเราใช้ combinatorics สุดขั้วเพื่อวิเคราะห์พวกมัน

งานได้รับแรงบันดาลใจส่วนหนึ่งจากคำถามล้น TCS นี้