ขั้นต่ำของการกระจายตัวของเวกเตอร์หน่วยทั้งหมดของความแปรปรวนของผลคูณจุดของเวกเตอร์คืออะไร?

ฉันกำลังพยายามที่จะหาการกระจายมากกว่าเวกเตอร์สุ่มพูดบนมิติหน่วยทรงกลม (ที่ ) ที่ช่วยลดภายใต้ข้อ จำกัด 0 $n$ $x_1,\ldots, x_n$ $k$ $n > k$ $\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$ $\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

ฉันพยายามกระจายบางและเกือบทุกคนมีความแปรปรวน $1/k$ kตัวอย่างเช่นทั้งการแจกแจงที่แต่ละพิกัดของแต่ละ $x_i$ เป็นอิสระและเลือกอย่างสม่ำเสมอจาก $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$ และการจัดจำหน่ายซึ่งในแต่ละ $x_i$ เป็นเวกเตอร์เครื่องแบบอิสระใน $k$ หน่วยมิติทรงกลมมีความแปรปรวน $1/k$ k

เป็นที่ $1/k$ แปรปรวนต่ำสุดในหมู่กระจายทั้งหมดหรือไม่

reference-request randomized-algorithms

— Peng
แหล่งที่มา

คุณสนใจเรื่องขอบเขตแค่ไหน? นั่นคือขอบเขตล่างของ 1 / 100k ที่ใช้ได้เฉพาะกับ n> 100k จะน่าสนใจหรือไม่

— daniello

@daniello คุณหมายถึงขอบเขตล่างของ 1 / ck สำหรับ n> ck โดยที่ c คงที่บ้างไหม? จะพิสูจน์ได้อย่างไร?

— peng

x_{i}

$x_i$

E [| x_{i} |] = 1

$E[|x_i|] = 1$

@deniello ฉันตั้งใจจะให้เวกเตอร์ทั้งหมดเป็น "หน่วย" .. ขออภัยฉันลืมที่จะทำให้เป็นมาตรฐานในเวกเตอร์ "เกาส์เซียน" หลังจากการทำให้เป็นมาตรฐานมันจะเหมือนกับเวกเตอร์ชุด ขอบคุณสำหรับการชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดนี้

— peng

ฉันจะนำเสนอปัญหาที่เทียบเท่า แต่ดูง่ายกว่าและแสดงขอบเขตล่างของ ( n / k - 1) / ( n −1) ~~ฉันยังแสดงการเชื่อมต่อกับปัญหาเปิดในข้อมูลควอนตัม~~ [แก้ไขในการแก้ไขที่ 3: ในการแก้ไขก่อนหน้านี้ฉันอ้างว่าลักษณะที่แน่นอนของกรณีที่ขอบเขตล่างที่แสดงด้านล่างมีแนวโน้มที่จะเป็นเรื่องยากเพราะคำถามที่คล้ายกันในกรณีที่ซับซ้อนประกอบด้วยปัญหาเปิดเกี่ยวกับ SIC-POVMs ข้อมูลควอนตัม อย่างไรก็ตามการเชื่อมต่อกับ SIC-POVM นี้ไม่ถูกต้อง สำหรับรายละเอียดดูในส่วน“ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องกับ SIC-POVMs ในข้อมูลควอนตัม” ด้านล่าง]

สูตรเทียบเท่า

อันดับแรกตามที่ได้อธิบายไว้แล้วในคำตอบของ daniello โปรดทราบว่า Var ( x _i^Tx _j ) = E [( x _i^Tx _j ) ² ] - E [ x _i^Tx _j ] ² = E [( x _i^Tx _j ) ² ] ดังนั้นในส่วนที่เหลือของคำตอบที่เราลืมเกี่ยวกับความแปรปรวนและแทนที่จะลดสูงสุด_{ฉัน ≠ J} E [( x _ฉัน^Tx _J ) ² ]

ต่อไปเมื่อเราตัดสินใจว่าเป้าหมายของเราคือการลดขนาดสูงสุด_{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ] เราสามารถเพิกเฉยต่อข้อ จำกัด ที่ E [ x _i^Tx _j ] = 0 นี่เป็นเพราะถ้าเรามีการสุ่ม เวกเตอร์หน่วยx ₁ , …, x _n , จากนั้นเราสามารถลบล้างแต่ละอันอย่างอิสระด้วยความน่าจะเป็น 1/2 เพื่อให้ได้ E [ x _i^Tx _j ] = 0 โดยไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุด_{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j) ² ]

ยิ่งกว่านั้นการเปลี่ยนฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จาก max _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ] เป็น (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ] ไม่เปลี่ยนค่าที่เหมาะสม อันหลังเป็นอย่างมากที่สุดในอดีตเพราะค่าเฉลี่ยอยู่ที่มากที่สุดสูงสุด อย่างไรก็ตามเราสามารถสร้างค่าของ E [( x _i^Tx _j ) ² ] สำหรับตัวเลือกที่แตกต่างกันของ ( i , j ) ( i ≠j ) เท่ากับโดยอนุญาตให้nเวกเตอร์x ₁ , …, x _nสุ่ม

ดังนั้นสำหรับnและkใด ๆค่าที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาที่ถามคือเท่ากับขั้นต่ำของ (1 / ( n ( n − 1))) ∑ _{ฉัน ≠ j} E [( x _ฉัน^Tx _j ) ² ] โดยที่x ₁ , ... , x _nเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในℝ ^kเป็นค่า

อย่างไรก็ตามตามเส้นตรงของความคาดหวังฟังก์ชันวัตถุประสงค์นี้จะเท่ากับค่าที่คาดหวัง E [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{ฉัน ≠ j} ( x _ฉัน^Tx _j ) ² ] เนื่องจากค่าต่ำสุดคือค่าเฉลี่ยมากที่สุดจึงไม่จำเป็นต้องพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นอีกต่อไป นั่นคือค่าที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาข้างต้นเท่ากับค่าที่เหมาะสมของสิ่งต่อไปนี้:

เลือกหน่วยเวกเตอร์x ₁ , ... , x _n ∈ℝ ^kเพื่อลด (1 / ( n ( n -1))) Σ _{ฉัน ≠ J} ( x _ฉัน^Tx _J ) 2

ขอบเขตล่าง

การใช้สูตรที่เทียบเท่านี้เราจะพิสูจน์ว่าค่าที่เหมาะสมคืออย่างน้อย ( n / k - 1) / ( n −1)

สำหรับ1≤ ฉัน ≤ nให้X _ฉัน = x _ฉัน x _ฉัน^ทีได้รับการจัดอันดับที่ 1 โปรเจ็กเตอร์ที่สอดคล้องกับหน่วยเวกเตอร์xฉันจากนั้นจะถือว่า ( x _i^Tx _j ) ² = Tr ( X _i X _j )

Let Y = Σ _ฉัน Xฉันจากนั้นก็ถือได้ว่าΣ _{ฉัน ≠ เจ} Tr ( X _ฉัน X _J ) = Σ _{ผม , เจ} Tr ( X _ฉัน X _J ) - n = Tr ( Y ² ) - n

ความไม่เท่าเทียมกัน Cauchy - Schwarz แสดงถึงว่า Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / kและดังนั้น ∑ _{ฉัน ≠ j} Tr ( X _ฉัน X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ² / k - n โดยการหารด้วยn ( n −1) เราได้รับว่าค่าวัตถุประสงค์อย่างน้อย ( n / k - 1) / ( n −1)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อn = k +1 คำตอบของ daniello จะอยู่ภายใน 2 ส่วนจากค่าที่เหมาะสม

ข้อ จำกัด ล่างนี้บรรลุได้เมื่อใด

บรรลุนี้ผูกไว้ที่ต่ำกว่า ( n / k - 1) / ( n -1) เทียบเท่ากับการทำY = ( n / k ) ฉัน ฉันไม่ทราบลักษณะที่แน่นอนเมื่อบรรลุ แต่มีเงื่อนไขเพียงพอ:

เมื่อn = k +1 สามารถทำได้โดยการพิจารณาเวกเตอร์ยูนิตk +1 ซึ่งเป็นk -simplex ปกติที่กึ่งกลางที่จุดกำเนิดการปรับปรุงจาก 2 / ( k ( k +1)) ในคำตอบของ daniello กับ 1 / k ที่ดีที่สุด² .
เมื่อnมีหลายkมันเป็นอย่างชัดเจนสำเร็จได้โดยการแก้ไขพื้นฐาน orthonormal ของℝ ^kและการกำหนดแต่ละเวกเตอร์พื้นฐานเพื่อn / kของโวลต์₁ , ... , V n
โดยทั่ว ๆ ไปกว่ากระสุนนัดสุดท้ายถ้ามันสามารถบรรลุได้ด้วยตัวเลือกkและทั้งn = n ₁และn = n _{2 2}มันก็สามารถบรรลุได้สำหรับkและn = n ₁ + n ₂เดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันจะสำเร็จได้ถ้าn = k + ขที่และขเป็นจำนวนเต็มความพึงพอใจ≥ ข ≥0

แม้ว่าฉันจะยังไม่ได้ตรวจสอบรายละเอียด แต่ดูเหมือนว่าการออกแบบทรงกลม 2 แบบใด ๆจะช่วยแก้ปัญหาให้ถึงขอบเขตที่ต่ำกว่านี้

การเชื่อมต่อกับ SIC-POVMs ไม่ถูกต้องในข้อมูลควอนตัม

ในการแก้ไขก่อนหน้านี้ฉันกล่าวว่า:

ฉันสงสัยว่าการตอบคำถามนี้เป็นคำถามที่ยากมาก เหตุผลก็คือว่าถ้าเราแทนพิจารณาซับซ้อนปริภูมิเวกเตอร์ℂ ^kคำถามนี้มีความเกี่ยวข้องกับปัญหาที่เปิดในข้อมูลควอนตัม

แต่ความสัมพันธ์นี้ไม่ถูกต้อง ฉันจะอธิบายว่าทำไม

ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น

เลือกหน่วยเวกเตอร์x ₁ , …, x _n ∈ℂ ^kเพื่อย่อ (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} | x _i^*x _j | ² .

ขอบล่างด้านบนมีเท่ากันในเวอร์ชันที่ซับซ้อนนี้ พิจารณากรณีที่n = k ²ในรุ่นที่ซับซ้อน จากนั้นขอบเขตล่างจะเท่ากับ 1 / ( k +1)

จนถึงตอนนี้มันถูกต้อง

ชุดของk ²เวกเตอร์หน่วยx ₁ , ... , x _{k ²} ∈ℂ ^kบรรลุขอบเขตล่างเรียกว่าSIC-POVMในมิติk ,

ส่วนนี้ไม่ถูกต้อง SIC-POVM คือชุดของเวกเตอร์หน่วยk ²x ₁ , …, x _n ∈ℂ ^kที่ | x _i^*x _j | ² = 1 / ( k +1) สำหรับทุกฉัน ≠ เจ โปรดทราบว่าที่นี่ต้องการที่จะต้องถือสำหรับทุกคู่ฉัน ≠ เจไม่เพียงเฉลี่ยมากกว่าทุกคู่ฉัน ≠ เจ ในส่วน "สูตรเทียบเท่า" เราแสดงความเท่าเทียมกันระหว่างการลดขนาดสูงสุดและลดค่าเฉลี่ยให้น้อยที่สุด แต่สิ่งนี้เป็นไปได้เพราะx ₁, ... , x _nถูกตัวแปรสุ่มการเวกเตอร์หน่วยมี ที่นี่x ₁ , …, x _nเป็นเพียงเวกเตอร์หน่วยดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้กลอุบายแบบเดียวกันได้

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

$v_1, v_2, \ldots, v_k$ $\{1,2,\ldots,k+1\}$ $x_i = x_j = v_1$ $x_t$ $t \notin \{i,j\}$ $v_2, \ldots, v_k$ $t \in \{1,\ldots,k+1\}$ $x_i$ $-x_i$ $\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$ $x_a$ $x_b$ $\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$ $(x_a \cdot x_b)^2 = 1$ $\{a,b\} = \{i,j\}$ $\frac{1}{k+1 \choose 2}$ $(x_a \cdot x_b)^2 = 0$ . ดังนั้นเราจึงมีสำหรับทุก ๆ , : $a$ $b$

V a r [x_{a} \cdot x_{b}] = E [(x_{a} \cdot x_{b})^{2}] = \frac{1}{(\binom{k + 1}{2})}

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2] = \frac{1}{k+1 \choose 2}$

สัญชาตญาณของฉันคือว่ามันแย่ (เล็ก) เท่าที่ได้รับ แต่ฉันไม่มีหลักฐาน สิ่งที่น่าสนใจกว่าคือโครงสร้างนี้ดูเหมือนจะพังทลายลงสำหรับ n >> k และเมื่อต้องเลือกอย่างอิสระ (อาจมาจากการกระจายที่ต่างกัน) $x_i$

— daniello
แหล่งที่มา