ความซับซ้อนของตัวหารร่วมมาก (gcd)

พิจารณาปัญหาการนับต่อไปนี้ (หรือปัญหาการตัดสินใจที่เกี่ยวข้อง): กำหนดจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่เข้ารหัสในไบนารีคำนวณตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของพวกเขา (gcd) คลาสที่ซับซ้อนที่สุดที่เล็กที่สุดปัญหานี้มีอยู่ในอะไร? คุณสามารถให้การอ้างอิงได้หรือไม่?

ในคำถามนี้ฉันไม่ได้สนใจเรื่องขอบเขตเชิงเส้นตายในเวลาทำงาน แต่เป็นการเรียนที่ซับซ้อน ปัญหาใน AC หรือไม่ สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่โกหกใน AC0 หรือไม่ คลาสความซับซ้อนอื่น ๆ ภายใน P ที่เกี่ยวข้องที่นี่คืออะไร

— เฟลิกซ์บรูเออร์
แหล่งที่มา

@Joe: การตีความของฉันคือผู้ถามมีความสนใจว่าภาษา {(x, y, i) | i-th บิตของ gcd (x, y) คือ 1} อยู่ใน NC, AC0 เป็นต้น แต่การชี้แจงโดยผู้ถามจะเป็นประโยชน์

— Tsuyoshi Ito

ใช่ถ้อยคำของ Tsuyoshi เกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจคือสิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจ - ขอโทษสำหรับความกำกวม อย่างไรก็ตามโปรดอย่ามุ่งเน้นไปที่คลาสความซับซ้อนที่ฉันแนะนำเพราะฉันไม่รู้ว่าคลาสความซับซ้อนใดที่เกี่ยวข้องกันที่นี่ ฉันอยากรู้เกี่ยวกับคลาสความซับซ้อนที่ไม่น่าสนใจซึ่งเป็นส่วนย่อยของ P (หรือ FP, resp.) ที่มี gcd

— เฟลิกซ์บรูเออร์

ฉันอยากรู้เกี่ยวกับกรณีของจำนวนเต็ม Gaussian ค้นหา google ด่วนแสดงวิธีการปรับอัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบดั้งเดิม แต่ไม่มีใครพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขธรรมชาติและจำนวนเต็มแบบเกาส์เซียน อัลกอริทึม gcd ใด ๆ กับจำนวนธรรมชาติทำให้เรามีอัลกอริทึมเหนือจำนวนเต็มแบบเกาส์เซียนที่มีความซับซ้อนเดียวกันหรือไม่? (ฉันไม่มีแอปพลิเคชันนี่คือความอยากรู้อย่างแท้จริง) นอกจากนี้ยังมีอัลกอริธึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณ GCD ด้วยเวลาทำงานที่ต่ำกว่าที่คาดไว้หรือไม่

— Ross Snider

ดูเพิ่มเติมที่cstheory.stackexchange.com/questions/2708/ …

— Zsbán Ambrus

ลิงก์ที่ถูกต้อง: mathoverflow.net/questions/44684/… . ขอบคุณสำหรับคำเตือน Kaveh

— Zsbán Ambrus

คำตอบ:

นี่เป็นคำถามเปิดที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อน: ไม่ทราบว่าสามารถคำนวณ GCD ใน NC ได้หรือไม่และไม่ทราบว่าการคำนวณ GCD เป็น P-complete อัลกอริทึมแบบขนานที่ดีที่สุดจะมีเวลาทำงานแบบขนานเชิงเส้นย่อยหนึ่งอัลกอริทึมดังกล่าวเกิดขึ้นเนื่องจาก Sorenson:

J. Sorenson อัลกอริทึม GCD ที่รวดเร็วสองรายการ วารสารอัลกอริทึม 2537

ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดมันก็ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าใครจะตัดสินได้ว่าจำนวนเต็มสองตัวนั้นค่อนข้างสำคัญใน NC หรือไม่

— John Watrous
แหล่งที่มา

ขอบคุณนั่นคือสิ่งที่ฉันอยากรู้! อย่างไรก็ตามถ้ามีคนรู้จักเซตย่อยที่ไม่น่าสนใจอื่น ๆ ของ P ที่ทราบว่ามี gcd โปรดแจ้งให้เราทราบ

— เฟลิกซ์บรูเออร์

การทดสอบว่าเลขจำนวนเต็มสองตัวนั้นค่อนข้างไพร์มนั้นยังเปิดอยู่ตามการอ้างอิงนี้: จำกัด เฉพาะการคำนวณแบบขนานหน้า 231 ปัญหา B.5.7

— Robin Kothari

การอ้างอิงล่าสุดคือ: Sorenson, Jonathan P. “ อัลกอริทึม GCD แบบขนานเวลาแบบสุ่มที่ขนานกันสำหรับ EREW PRAM” ตัวประมวลผลข้อมูล 110, ไม่มี 5 (กุมภาพันธ์ 2010): 198-201 linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0020019009003640

— เฟลิกซ์บรูเออร์

ค่อนข้างสายในวัน แต่ต่อไปนี้กระดาษโดย Allender, Saks, Shparlinski พิสูจน์ให้เห็นว่า (ในขอบเขตที่ต่ำกว่าอื่น ๆ ) ที่ GCD ไม่ได้อยู่ในหรือสำหรับสำคัญ ๆหน้า $\mathsf{AC}^0$ $\mathsf{AC}^0[p]$ $p$

— samid
แหล่งที่มา

ดูเพิ่มเติมได้ที่: cstheory.stackexchange.com/questions/8000/…

— SamiD

บทความนี้ตีพิมพ์ในปี 2007 กล่าวว่าจำนวนเต็ม GCD อยู่ใน NC

แก้ไข: การยืนยันอาจเป็นเท็จ ตรวจสอบความคิดเห็น

— Apoorv Gupta
แหล่งที่มา

กระดาษไม่เคยเผยแพร่มันถูกโพสต์บนเว็บไซต์ของผู้เขียนเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้นผู้เขียนเองก็ดูเหมือนจะไม่เชื่อว่าบทความปี 2007 ของเขานั้นถูกต้องในขณะที่เขาแสดงปัญหาที่เปิดอยู่ในเอกสารในภายหลังของเขา ( cs.cornell.edu/courses/CS6820/2012sp/Handouts/Sedjelmaci09.pdf )

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ไม่ทราบว่า ขอบคุณที่ชี้นำ

— Apoorv Gupta

ฉันไม่คิดว่าคำตอบแบบนี้ควรจะถูกลดระดับลง

— Alessandro Cosentino