ปัญหาชุดฝาครอบชุดนี้เรียกว่าอะไร

การป้อนข้อมูลเป็นจักรวาล $U$ และครอบครัวของส่วนย่อยของ $U$ , พูด ${\cal F} \subseteq 2^U$ Uเราคิดว่าส่วนย่อยใน ${\cal F}$ สามารถครอบคลุม $U$ คือ $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$ U

ลำดับครอบคลุมเพิ่มขึ้นเป็นลำดับของส่วนย่อยใน ${\cal F}$ พูดที่น่าพอใจ ${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1) $\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$ ,

$\forall i>1$ $\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

ปัญหาคือการหาลำดับการครอบคลุมที่เพิ่มขึ้นของความยาวสูงสุด (นั่นคือสูงสุด ) โปรดทราบว่าลำดับความยาวสูงสุดในที่สุดก็จะต้องครอบคลุมคือ U $|{\cal A}|$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$

ฉันพยายามค้นหาอัลกอริทึมหรืออัลกอริทึมโดยประมาณเพื่อค้นหาลำดับการครอบคลุมที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด ฉันแค่สงสัยว่าชุดของฝาครอบชุดนี้รู้จักกันในนามอะไร ขอบคุณ!

— Cech Cohomology
แหล่งที่มา

คุณต้องการครอบครัวของส่วนย่อยเพื่อครอบคลุมจักรวาลหรือไม่? เพราะแน่นอนว่าคุณอาจมีปัญหาเรื่องชุดฝาครอบที่ยากขึ้นเนื่องจากคุณกำลังมองหาชุดฝาครอบพร้อมคุณสมบัติเพิ่มเติม กล่าวอีกนัยหนึ่งชุดฝาครอบจะช่วยลดปัญหาของคุณ ที่ wiki ของ set cover ก็เป็นผลที่เกิดจากความสามารถในการแปรผันของชุดฝาครอบ

A

$\cal{A}$

U

$\cal{U}$

— แฮร์รี่

เป็นเพียงการสังเกตการณ์ (เล็กเกินกว่าจะตอบได้): เมื่อชุดย่อยของคุณมีขนาดสองแล้วสิ่งที่คุณกำลังมองหาคือป่าที่ทอดยาว

— David Eppstein

อาจไม่ใช่เรื่องใหม่สำหรับ OP แต่เป็นข้อสังเกตเล็กน้อย (1) ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ | U | ไม่ว่าจะเป็นค่าที่ดีที่สุดจะเท่ากับ | U | หรือไม่สามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยอัลกอริทึมโลภที่พยายามลดจำนวนองค์ประกอบที่ครอบคลุม (2) อัลกอริทึมโลภเดียวกันนี้ใช้งานได้หากเซตทั้งหมดใน F มีขนาดที่สองให้ดูความคิดเห็นของ David Eppstein (3) อัลกอริทึมโลภเดียวกันไม่ทำงาน (ถอนหายใจ) โดยทั่วไป ตัวอย่างที่ตอบโต้: F = {{1,2,3}, {1,4,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}}

— Tsuyoshi Ito

ปัญหาไม่ได้ดูเหมือนปัญหาการตั้งค่าเลย ... เหมือนไฮบริดระหว่างการจับคู่และการจับคู่ที่เกิดขึ้นในกราฟสองฝ่าย การปฏิรูปที่เท่าเทียมกันที่ดีคือครอบครัวไม่ดีหากไม่มีองค์ประกอบใดที่ครอบคลุมโดยครอบครัวหนึ่งชุด ปัญหาคือการหาครอบครัวย่อยที่ใหญ่ที่สุดของเช่นนั้นไม่มีอนุวงศ์ที่ไม่ดี

A

${\cal A}$

F

${\cal F}$

A

${\cal A}$

— daniello

@Neal Youngไม่เลวเพราะครอบคลุมด้วยหนึ่งชุดเท่านั้น (คือ )

F

${\cal F}$

b

$b$

{a, b}

$\{a,b\}$

— daniello

คำตอบ:

ที่นี่ฉันแสดงให้เห็นว่าปัญหาคือปัญหาที่สมบูรณ์

เราแปลง CNF เป็นตัวอย่างของปัญหาของคุณดังนี้ สมมติว่าตัวแปรของ CNF มี 'และคำสั่งที่มี ' s ที่<เมตร ให้โดยที่ชุดทั้งหมดในกลุ่มจะแยกออกจากกันอย่างสมบูรณ์ อันที่จริงแล้วและขณะคือชุดของ cardinality ใด ๆ 1 นอกจากนี้ยังแสดงว่าและแก้ไขสำหรับทุกตระกูลที่มีความยาวเพิ่มขึ้นอยู่ภายในซึ่งแสดงโดยสำหรับ $n$ $x_i$ $m$ $C_j$ $n<m$ $U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$ $A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$ $B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$ $Z_i$ $k=2n+1$ $Z=\cup_i Z_i$ $Z_i$ $k$ $Z_{i,l}$ $l=1..k$ Lทุกตัวแปรเราเพิ่มชุดชุดฟอร์มทุกและL} สำหรับทุกประโยคเราเพิ่มหนึ่งชุดเป็นซึ่งมีและสำหรับทุกองค์ประกอบและสำหรับทุกองค์ประกอบ\} $x_i$ $2k$ $\mathcal F$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $C_j$ $\mathcal F$ $Z$ $x_i\in C_j$ $\{a_{i,j}\}$ $\bar x_i\in C_j$ $\{b_{i,j}\}$

สมมติว่าสูตรเป็นที่พอใจและแก้ไขการมอบหมายที่น่าพอใจ จากนั้นเลือกชุดของแบบฟอร์มหรือขึ้นอยู่กับว่าเป็นจริงหรือไม่ เหล่านี้เป็นชุดที่เพิ่มขึ้นตอนนี้เพิ่มชุดสอดคล้องกับข้อ สิ่งเหล่านี้ยังคงเพิ่มขนาดอย่างต่อเนื่อง สุดท้ายเรายังสามารถเพิ่มชุดขึ้นไป (สำหรับแต่ละตัวแปร) เพื่อให้ปกลำดับU $k$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $x_i$ $nk$ $m$ $k$ $U$

ทีนี้สมมติว่าอยู่ในลำดับที่เพิ่มขึ้น ขอให้สังเกตว่าที่มากที่สุดชุดที่สอดคล้องกับสามารถเลือกสำหรับแต่ละx_iดังนั้นหากไม่มีชุดประโยคในลำดับที่เพิ่มขึ้นสามารถเลือกส่วนใหญ่ซึ่งน้อยเกินไป โปรดสังเกตว่าทันทีที่เลือกชุดคำสั่งเราสามารถเลือกได้สูงสุดสองชุดที่สอดคล้องกับแต่ละจำนวนรวมสูงสุดชุด ดังนั้นเราต้องเลือกชุดตัวแปรอย่างน้อยก่อนที่จะเลือกชุดประโยคใด ๆ แต่เนื่องจากเราสามารถเลือกมากที่สุดสำหรับแต่ละนี่หมายความว่าสำหรับแต่ละอย่างที่เราเลือกอย่างน้อย $n(k+1)+m$ $k+1$ $x_i$ $x_i$ $n(k+1)$ $x_i$ $2n$ $n(k-1)$ $k+1$ $x_i$ $1$ เป็น 1 สิ่งนี้จะกำหนด "ค่า" ของตัวแปรดังนั้นเราจึงสามารถเลือกเฉพาะคำสั่ง "true" เท่านั้น $k=2n+1$

อัปเดต: เปลี่ยนค่าจากเป็นตามที่ Marzio ชี้ $k$ $n$ $2n+1$

— domotorp
แหล่งที่มา

คำชี้แจง: ฉันตรวจสอบการก่อสร้างอย่างรวดเร็วสำหรับสูตรที่ไม่น่าพอใจ ( ) แต่ดูเหมือนว่าเราสามารถสร้างลำดับของของ การเพิ่มชุดF ฉันอาจทำผิดพลาด: เรามี ?

x_{1} \land \neg x_{1}

$x_1 \land \neg x_1$

n = k = 1, m = 2

$n=k=1, m=2$

n (k + 1) + m = 4

$n(k+1)+m = 4$

F

$\mathcal F$

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, a_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 1}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

$\mathcal F= \{ \{ a_{1,0}, a_{1,1}, a_{1,2}, z_1 \}, \{ b_{1,0}, b_{1,1}, b_{1,2}, z_1\}, \{ a_{1,1}, z_1 \}, \{ b_{1,2}, z_1 \} \}$

— Marzio De Biasi

รู้ว่าคุณและตัวเองฉันแน่ใจว่าความผิดพลาดเป็นของฉัน ... ฉันคิดว่าเราควรได้รับแต่แน่นอน มันยังคงเป็นปัญหาอยู่ ตกลงฉันเห็นว่าฉันทำผิดพลาดที่ไหนฉันแก้ไขได้ในอีกหนึ่งนาทีขอบคุณ!

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,2},z_1\}\}$

— domotorp

F

$\mathcal F$

x_{i} \land \neg x_{i}

$x_i \land \neg x_i$

k = 2 n + 1

$k = 2n+1$

n (k + 1) + m = 2 n^{2} + 2 n + m

$n(k+1)+m = 2n^2+2n + m$

— Marzio De Biasi

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1},}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2,z_3\},\{a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,2},z_1,z_2,z_3\}\}$

n (k + 1) + m = 6

$n(k+1)+m=6$

5

$5$

$\mathcal{A}$ $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ $\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

$E_1, \ldots, E_m$ $\mathcal{B}$ $E_i$ $\mathcal{B}$ $E_i$

สำหรับทิศทางอื่นมันก็ง่ายเช่นกัน เริ่มต้นจากโซลูชันค้นหาองค์ประกอบที่ครอบคลุมเพียงครั้งเดียวตั้งเป็นชุดสุดท้ายในลำดับเอาชุดนี้ออกแล้วทำซ้ำ QED $\mathcal{A}$

นี่เป็นปัญหาที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ ....

การแจ้งเตือนอย่างรวดเร็ว: ในปัญหาการบรรจุชุดกำหนดกลุ่มของชุดค้นหาชุดย่อยสูงสุดของชุดที่สอดคล้องกับข้อ จำกัด เพิ่มเติมบางอย่าง (พูดว่าไม่มีองค์ประกอบครอบคลุมมากกว่า 10 ครั้ง ฯลฯ )

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

คำตอบนี้เป็นเพียงการพิสูจน์ว่าคำถามนั้นเป็นเรื่องธรรมดาหรือมีอย่างอื่นที่คุณเรียกร้องหรือไม่?

— domotorp

มันระบุไว้ในวิธีที่ง่ายกว่า ไม่มี?

— Sariel Har-Peled

ใช่ฉันเห็นด้วย

— domotorp