ความสัมพันธ์ที่เป็นอันหนึ่งอันเดียวกันสำหรับทฤษฎีของ cateogries กับแนวคิดโครงกระดูก

ว่าฉันทำงานในทฤษฎีประเภท homotopyและวัตถุการศึกษาของฉันเป็นหมวดหมู่ทั่วไป

ความเท่าเทียมกันที่นี่ได้รับจาก functorsและ ซึ่งให้ความสมดุลของหมวดD} มี isomorphisms ตามธรรมชาติและเพื่อให้ functor นี้และ "inverse" functor จะถูกแปลงเป็น functor หน่วย$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

ตอนนี้univalenceเกี่ยวข้องกับการเทียบเคียงกับเอกลักษณ์ประเภทของทฤษฎีประเภทเจตนาฉันเลือกที่จะพูดคุยเกี่ยวกับหมวดหมู่ เนื่องจากฉันจัดการกับหมวดหมู่เท่านั้นและสิ่งเหล่านั้นเทียบเท่าหากพวกเขามีโครงกระดูกแบบ isomorphic ฉันจึงสงสัยว่าฉันสามารถแสดงความจริงที่เป็นเอกภาพในแง่ของการส่งผ่านไปยังโครงกระดูกของหมวดหมู่${\bf C}={\bf D}$

หรือมิฉะนั้นฉันสามารถกำหนดประเภทของตัวตนคือการแสดงออกทางสีหน้า ในทางที่บอกว่า "มีโครงกระดูก (หรือ isomorphi) และและทั้งคู่มีค่าเท่ากัน "?${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(ในข้างต้นฉันพยายามตีความทฤษฎีประเภทในแง่ของแนวคิดที่ง่ายต่อการนิยาม - แนวคิดทางทฤษฎีหมวดหมู่ฉันคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้เพราะในทางศีลธรรมมันดูเหมือนว่าฉันว่าสัจพจน์ "แก้ไข" ทฤษฎีประเภทเจตนาโดยการเข้ารหัสยากหลักการสมดุลที่มีอยู่แล้วส่วนหนึ่งของธรรมชาติของการกำหนดประเภทงบทฤษฎีเช่นระบุวัตถุเพียง แต่ในแง่คุณสมบัติสากล.)

ฉันแนะนำคุณให้รู้จักกับบทที่ 9ของหนังสือ HoTT โดยเฉพาะอย่างยิ่งในหมวดหมู่ที่กำหนดไว้ในวิธีดังกล่าวว่าวัตถุ isomorphic มีค่าเท่ากันให้ดูนิยาม 9.1.6 ดังที่ตัวอย่างที่ 9.1.15ชี้ให้เห็นว่าไม่มีความคิดที่สมเหตุสมผลเกี่ยวกับ "skeletality" ใน HoTT สิ่งนี้เป็นเช่นนี้เพราะความเท่าเทียมกันนั้นอ่อนแอมากจนแปลว่า "isomorphic" แล้ว

นอกจากนี้ทฤษฎีบท 9.4.16 ยังกล่าวอีกว่า

ทฤษฎีบทที่ 9.4.16: ถ้าและเป็นหมวดหมู่ฟังก์ชัน (กำหนดโดยอุปนัยเกี่ยวกับ functor ตัวตน) เป็นความเท่าเทียมกันของประเภท$A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

ทฤษฎีบทบอกเราว่าความจริงของ Univalence Axiom ทำให้เราฝันถึงนักทฤษฎี cateory: หมวดที่เท่ากันนั้นเท่ากัน

คุณถามว่าคุณสามารถลดสัจพจน์ Univalence เป็นข้อความเกี่ยวกับหมวดหมู่ได้หรือไม่ ความพยายามในการใช้โครงกระดูกจะไม่ทำงานเพราะไม่มีวิธีที่ดีในการพูดว่า "โครงกระดูก" เราสามารถถามได้ว่าทฤษฎีบท 9.4.16 แสดงถึงสัจพจน์ของ Univalence หรือไม่ นี่จะไม่เป็นอย่างที่ฉันเห็นเพราะหมวดหมู่มี -type (groupoid) ของวัตถุและ -type (set) ของ morphisms ดังนั้นทฤษฎีบท 9.4.16 จึงมีบางอย่างเช่น สัจพจน์ Univalence สำหรับ 1 ประเภทเท่านั้น$1$$0$