Kolmogorov ซับซ้อนหรือไม่

ขอให้เราแก้ไขการเข้ารหัสของเครื่องจักรทัวริงและเครื่องจักรทัวริงสากล U ที่อินพุต (T, x) เอาท์พุทอะไรก็ตามที่เอาต์พุต T บนอินพุต x (อาจทำงานได้ตลอดไป) กำหนดความซับซ้อนของ Kolmogorov ของ x, K (x), ตามความยาวของโปรแกรมที่สั้นที่สุด, p, เช่นนั้น U (p) = x

มี N แบบนั้นหรือไม่สำหรับทุก n> N มี x กับ K (x) = n หรือไม่?

สังเกต. หากเรากำหนดเครื่องจักรทัวริงสากลด้วยวิธีอื่นคำตอบอาจเป็นลบ ตัวอย่างเช่นลองพิจารณา U ที่อินพุต (T, x) จำลอง T บน x หากความยาวของ (T, x) หารด้วย 100 และไม่ทำอะไรเลย หนึ่งสามารถปรับเปลี่ยนตัวอย่างนี้ได้หลายวิธีเพื่อให้ได้รับตัวอย่างเคาน์เตอร์สำหรับคำจำกัดความต่าง ๆ ของเครื่องจักรทัวริงสากล

เป็นเพียงความคิดเห็นเพิ่มเติมที่ไม่มีข้อมูลเชิงลึก: บางทีคุณสามารถโกงการเข้ารหัสของเครื่องจักรทัวริงและสร้างการเข้ารหัสแบบเทียมที่นำไปสู่ความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่เกินจริง:

• $0$หมายถึงเครื่องทัวริงที่ส่งออก (1 state TM);$0$
• $0p$แสดงถึงเครื่องทัวริงที่ส่งออก (จำนวนที่แสดงโดยสตริงสตริงบวกหนึ่ง) มันเป็นเพียงรุ่น "ซิป" โดยนัยของ TM decidable ที่เอาต์พุต ;$p+1$$p$$p+1$
• $1p$แสดงถึงเครื่องทัวริง th ในการแจงนับมาตรฐาน (การแจงนับสามารถข้าม TM ที่มีอยู่แล้วพร้อมกับและ )$p+1$$0$$0p$

universal TM ที่สอดคล้องกันในอินพุตตรวจสอบค่าของหากเป็นดังนั้นมันจะแสดงผลลัพธ์มิฉะนั้นจะจำลอง TM (เมื่อเป็นสตริงว่าง) โปรดทราบว่าฝังอินพุต$bx$$b$$0$$x+1$$M_{x+1}$$M_0$$x$$M_{x+1}$

สำหรับสตริงทั้งหมด , ; และสำหรับมีสตริงที่มีความยาวแต่มีเพียงโปรแกรมที่มีความยาวที่สามารถแสดงได้โดยใช้การเข้ารหัส ; และมีเพียงโปรแกรมที่มีความยาวซึ่งสามารถแทนได้โดยใช้การเข้ารหัส ; ดังนั้นอย่างน้อยสตริง ของความยาวไม่สามารถแสดงด้วยโปรแกรมของความยาว ; แต่แน่นอนว่ามันสามารถแสดงด้วยโปรแกรม$x$$1 \leq K(x) \leq |x|+1$$n \geq 1$$2^{n}$$n$$2^{n-1}-1$$< n$$1p$$2^{n}-1$$n$$1p$$x'$$n$$1p$$\leq n$$0x'$ความยาว (เราไม่ต้องกังวลหากยังมีโปรแกรมที่มีความยาวเท่ากันที่สร้างขึ้นมา)$n+1$$1p$$n+1$

เราสามารถสรุปได้ว่าสำหรับทั้งหมดจะมีสตริงเช่นนั้น (ดังนั้น K นี้โดยเฉพาะจึงมีค่ามาก)$n > 1$$x', |x'|=n$$K(x') = n+1$